superficies cuadráticas ejercicios, Apuntes de Cultura Científica

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2?? 2 2 2 2 2 2 SUPERFICIES CUADRÁTICAS Introducción: La presente monografía tiene como objetivo identificar las superficies cuadráticas y reconocer su presencia en la naturaleza, así como mostrar ejemplos visuales de la aplicación de éstas en diferentes ámbitos del desarrollo humano. Debemos precisar que no se da una definición rigurosa de superficie, más bien intuitiva. Superficie? Se llama superficie al conjunto de puntos del espacio euclidiano tridimensional cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de la forma F? x, y, z?? 0. Aunque la ecuación anterior expresa una relación entre tres variables, no siempre será así, por ejemplo:? La ecuación y? 2 , representa un plano en 3 La ecuación x? y? 1, representa un cilindro en 3 También debemos aclarar que la ecuación F? x, y, z?? 0 no siempre representa una superficie. Así tenemos x? y? z? 1? 0 que no tiene solución en 3 Podemos decir heurísticamente que: visto desde cerca los alrededores de un punto de una superficie estos se parecen al plano cartesiano. O también, podemos imaginar a una superficie como un plano deformado.? Se llama superficie cuadrática o cuádrica, aquella cuya ecuación es de la forma: Ax +By +Cz +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0 Donde, al menos uno de los seis primeros coeficientes A, B, C, D, E y F es diferente de cero.

x2 y 2 z 2 Superficies Cuadráticas Las superficies cuadráticas se clasifican en: ?Elipsoides. ?Paraboloides. ?H iperboloides. ?Conos. ?Cilindros. Identificación de las superficies cuadráticas Para identificar una cuádr ica tenemos varias opciones. Por ejemplo: Cuando los tres coeficientes D, E y F son nulos simultánamente el eje o los ejes de la superficie son paralelos a los ejes coordenados. En estas circunstancias, los signos de los coe icientes A, B y C permiten hacer una pre- identific ción de la superficie: Si A, B y C tienen el mismo si gno, la ecuación representará un elipsoide cuandodichos v lores sean diferentes; sin embargo si son igu al s, repre entará a una esfera*. Elipsoide Esfera *los gráficos mostrados en este paper han sido creados con el software científico MATHEMATICA 7.0 EL ELIPSOIDE: La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los ejes cartesianos, es: 2? 2? 2? 1 , donde a? 0, b? 0 y c? 0 s on a b c las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y, z, y determinan la forma del elipsoide. Si lo res son iguales, se trata de una esfera. Gráficamente se tiene: Lic. Ellis R. Hidalgo M. 2 Piura, Mayo 2013

2 2 2 1 2 Superficies Cuadráticas Ejemplo: Clasificar y dibujar la superficie cuya ecuación cuadrática es x? 4 y? 6z? 1. Solución: Debemos empezar dándole forma a los coeficientes, para poner la ecuación en la for ma canónica: x 2? 4 y 2? 6 z 2? 1 x 2 y 2 z 2? 1? 1? 1 4 6 a últim a ecuación tiene la forma canónica de un elipsoide elíptico, donde a? 1, b? 1 y c? 16 , cuya gráfica se muestra, observar que en la proyección sobre e plano XY, el eje mayor de la elipse está sobre e eje X. Un vistazo al mundo: Arquitecturas maravillosas!!!? La forma natural de los hu vos e s un elipsoide.? La estructura arquitectónica corresponde al Centro Naciona l de las Artes Escénicas (Pekín, China-2007), se trata en realidad de un espacio en forma elipsoidal de 12 000 m con capacidad para 5 butacas. A su vez el edificio está rodeado por un lago artificial. Lic. Ellis R. Hidalgo M. 3 Piura, Mayo 2013

y 2 x 2 y 2 z 2? Superficies Cuadráticas Un vistazo al mundo: A quitect ras maravillosas!!!? Las copas d e champagne nos dan una idea “digestible” de un paraboloide.? Las antenas parabólicas son un claro ejempl o de la aplicación que tienen los paraboloides. Puesto que, se demuestra que todos los rayos son reflejado s hacia el foco de la parábola generatriz. De igual modo son usados en los faros de los automóviles , en las linternas. EL PARABOLOIDE HIPERBÓLICO: La ecuación de un paraboloide hiperbólico con vértice en e l origen de coordenadas, también es conocido como “la silla de montar” por su parecido a una montura, tiene por ecuación: z? 2? 2 , donde a? 0 y b? 0. b a Análogamente se tendrán los paraboloides hiperbólicos: x? 2 ? 2 c Lic. Ellis R. Hidalgo M. 5 y? z 2 x2 c2 a 2 Nota: Observar que hay tres variantes más. Piura, Mayo 2013

Superficies Cuadráticas Un vistazo al mndo: Arquitecturas maravillosas!!!? Algunas empresas se basan en atr activas geometrías para registrar su marca.? La estructura arquitectónicacorrespo de al L’Oce nograp ic (El oceanográfico), que se halla en la ciudad de Ciudad de las Artes y las Ciencias (Valencia – España 20

2. donde se representa los diferentes hábitats marinos (d mares y o éanos), de aproximadamente unos 100 000 m². HIPERBÓLOIDES: El hiperboloide es la superficie de revolución (al igual que el elipsoide y el para boloide circular) generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simet ría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas. Para entenderlo mejor, s e considera a continuación el caso de la hipérbola y? 1 x de referencia, si lo giramos alrededor del eje transv ersal (azul), se obtiene el hiperboloide de una hoja. Pero, si lo hacemos rar respecto al eje conjugado (rojo), tendrá dos hojas. y x Lic. Ellis R. Hidalgo M. 6 Piura, Mayo 2013

?????? 2 2 2????? 1 Superficies Cuadráticas EL HIPERBÓLOIDE DE UNA HOJA: La ecuación de un hiperboloide de una hoja, con eje sobre el eje z tiene por ecuación: x2 y 2 z 2 a 2 b2 c 2? 1 , donde a? 0, b? 0 y c? 0 Análogamente se tendrán los hiperboloides: x2 y 2 z 2 a 2 b2 c2? 1 ;? x2 y 2 z 2 a 2 b2 c 2? 1 Nota: Obsérv ese que el eje está definido por la variable con coeficiente negativo. Ejemplo: Clasificar y dibujar la supe rficie cuya ecuación es 2 x? 6 y? 4 z? 12? 0. Solución: Debemos empezar escribiendo su ecuación en forma canón ca: 2 x2? 6 y 2? 4 z 2? 12? 0 x2 y 2 z 2 6 2 3 x2 y 2 z 2 6 2 3

. Ellis R. Hidalgo M.? 1? 0 dividiendo entre 12 pasando? ?1? al otro miembro Piura, Mayo 2013 7

???????????? Superficies Cuadráticas La última ecuación tiene la forma canónica de un hipe rboloide de una hoja, donde a? 6, b? 2 y c? 3 EL HIPERBÓLOIDE DE DOS HOJAS: La ecuación de un hiperboloide d e dos hoja, con eje sobre el eje z tiene por ecuación: x2 y 2 z 2 a 2 b2 c2? ?1 , donde a? 0, b? 0 y c? 0 Análogamente se tendrán los hiperboloides de dos hojas: x2 y 2 z 2 a 2 b2 c2? ?1 ; x2 y 2 z 2 a 2 b2 c 2? 1 Ej emplo: Clasificar y dibujar la superficie cuya ecuación cuadrática es 2x2? 6 y2? 4 z 2? 12? 0. Solución : Debemos empezar escribiendo su ecuación en forma canónica: 2 x 2? 6 y 2? 4 z 2? 12? 0 x 2 y 2 z 2 6 2 3 x 2 y z 2 6 2 3 y 2 x2 z 2 2 6 3 Lic. lis R. Hidalgo M.? 1? 0? ?1? 1 8 dividiendo entre 12 multiplicando por? ?1? ordenando Piura, Mayo 2013