Pr`actica 22, GDC-Grup A, 07/08
Superf´ıcies reglades
Les superf´ıcies reglades s´on superf´ıcies que admeten parametritzacions de la forma
−→
x(s, v) = α(s) + v−→
w(s)
on α:I→R3´es una corba, que podem suposar parametritzada per la seua longitud d’arc,
i−→
w:I→R3´es un camp de vectors unitaris al llarg de la corba α.
L’objectiu de la pr`actica ´es demostrar algunes propietats sobre aquestes superf´ıcies i
calcular, en alguns casos, les curvatures de Gauss i mitjana.
(1) Demostra que una superf´ıcie reglada no t´e punts el·l´ıptics. (Ajuda: g= 0.)
(2) Demostra que K(s, v) = 0 si i nom´es si det(−→
t(s),−→
w(s),−→
w0(s)) = 0.
(3) A partir d’ara suposarem que −→
w0(s)6= 0 i que els vectors −→
t(s) i −→
w0(s) s´on orto-
gonals. Demostra que aleshores
K=−λ2
(λ2+v2)2,
on λ=det(−→
t(s),−→
w(s),−→
w0(s))
||−→
w0(s)||2.
(Ajuda: Primer s’ha de justificar que existeix λ(s) tal que −→
t(s)∧−→
w(s) =
λ(s)−→
w0(s).)
(4) Comprovarem que el resultat anterior es pot aplicar a l’hiperboloide d’un full
definit per l’equaci´o x2+y2−z2= 1.
Demostra que ´es una superf´ıcie reglada amb
α(s) = (cos s, sin s, 0) i −→
w(s) = 1
√2(−sin s, cos s, 1).
Comprova que −→
t(s) i −→
w0(s) s´on ortogonals.
Calcula la curvatura de Gauss.
(5) Calcula les curvatures de Gauss i mitjana quan −→
w(s) = −→
t(s). En aquest cas la
superf´ıcie s’anomena desenvolupable tangencial i no ´es regular en els punts amb
v= 0. (H(s, v) = −|vκ(s)|τ(s)
1+v2κ2(s).)
(6) ´
Idem quan −→
w(s) = −→
b(s).
(7) Finalment, tamb´e quan −→
w(s) = τ(s)−→
t(s)−κ(s)−→
b(s).
1