Inferencia Estadística para Parámetros Binomiales, Resúmenes de Probabilidad

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Facultad de Matem´aticas

Departamento de Estad´ıstica e

Investigaci´on Operativa

TRABAJO FIN DE GRADO

Tablas de

Contingencia

Inmaculada Mill´an D´ıaz

Sevilla, Septiembre 2017

´Indice general

• 1. Introducci´on: Variables Categ´oricas
  • 1.1. Clasificaci´on de las Variables Categ´oricas
  • 1.2. Distribuciones para Datos Categ´oricos
  • 1.3. Inferencia Estad´ıstica para Datos Categ´oricos
    • 1.3.1. Inferencia Estad´ıstica para Par´ametros Binomiales
    • 1.3.2. Inferencia Estad´ıstica para Par´ametros Multinomiales
• 2. Descripci´on de Tablas de Contingencia
  • 2.1. Estructura de Probabilidad para Tablas de Contingencia
  • 2.2. Tipos de Estudios
  • 2.3. Tablas Estratificadas
• 3. Inferencia para Tablas de Contingencia
  • 3.1. Intervalos de Confianza
  • 3.2. Test de Independencia en Tablas de Doble Entrada
  • 3.3. Test de Independencia para Muestras Peque˜nas
• 4. Tablas de Contingencia y R

Cap´ıtulo 1

Introducci´on: Variables

Categ´oricas

Una variable categ´orica tiene una escala de medida que consiste en un conjunto de categor´ıas. Por ejemplo, la ideolog´ıa pol´ıtica, que a menudo se mide como liberal, moderada o conservadora.

El desarrollo de m´etodos para variables categ´oricas fue estimulado por estudios de investigaci´on en las ciencias sociales y biom´edicas, aunque no est´an restrin- gidas a estas ´areas. Aparecen de forma frecuente en las ciencias del compor- tamiento (ej. tipo de enfermedad mental, con las categor´ıas de esquizofrenia, depresi´on y neurosis), gen´etica (ej. tipo de alelo heredado por una descenden- cia) o educaci´on (ej. respuesta de los estudiantes frente a una pregunta de un examen, con las categor´ıas de correcto e incorrecto). Ocurren en otros campos como las ciencias de la ingenier´ıa o el control de calidad industrial.

1.1. Clasificaci´on de las Variables Categ´oricas

Podemos distinguir las variables categ´oricas entre variables de repuesta y va- riables explicativas. Por ejemplo, los modelos de regresi´on describen como var´ıa la variable de respuesta frente a los distintos valores de la variable explicativa. Como ocurre con el precio de una vivienda seg´un sus metros cuadrados o su localizaci´on.

Las variables categ´oricas tienen dos tipos principales de escala. Las varia-

8 1.1. CLASIFICACI ON DE LAS VARIABLES CATEG ´ ORICAS´

bles que tienen categor´ıas sin un ordenamiento natural se llaman nomina- les. Como por ejemplo la afiliaci´on religiosa (Cat´olica, Protestante, Jud´ıa, Musulmana,.. .), el modo de transporte (coche, bicicleta, autob´us, metro,.. .) o el tipo favorito de m´usica (cl´asica, jazz, pop, rock,.. .). Para variables nomina- les, el orden de las categor´ıas es irrelevante. El an´alisis estad´ıstico no depende de dicho ordenamiento. Muchas variables categ´oricas tienen categor´ıas ordenadas. Estas variables son´ llamadas ordinales. Algunos ejemplos son el tama˜no de un coche (subcom- pacto, compacto, mediano o grande), la clase social (alta, media o baja) o la condici´on de un paciente (buena, normal o grave). Las variables ordinales tie- nen categor´ıas ordenadas, pero las distancias entre las distintas categor´ıas son desconocidas. Aunque una persona categorizada como moderada es m´as libe- ral que una persona categorizada como conservadora, ning´un valor num´erico describe cu´anto m´as liberal es una persona. Una variable intervalo es aquella que tiene distancias num´ericas entre dos va- lores cualesquiera. Por ejemplo, el nivel de presi´on arterial, los ingresos anuales o el tiempo de vida funcional de un electrodom´estico. La forma en la que se mide una variable determina su clasificaci´on. Por ejem- plo, “educaci´on” es una variable nominal cuando se mide s´olo como escuela privada o p´ublica; es una variable ordinal cuando se mide por el grado m´as alto alcanzado, usando las categor´ıas de ninguno, escuela secundaria, grado, m´aster o doctorado; o es una variable intervalo cuando se mide por el n´umero de a˜nos estudiados, usando los n´umeros enteros 0,1,2,...

Las variables se clasifican como continuas o discretas seg´un el n´umero de valores que puedan tomar. La medida real de todas las variables se produce de forma discreta, debido a las limitaciones de precisi´on en los instrumentos de medida. La clasificaci´on continua-discreta, en la pr´actica, distingue entre variables que toman muchos valores y variables que toman pocos valores. Por ejemplo, los estad´ısticos a menudo tratan variables discretas que tienen un gran n´umero de valores (tales como las puntuaciones de un examen) como variables continuas.

Las variables nominales son cualitativas —las distintas categor´ıas difieren en cualidad, no en cantidad. Las variables intervalo son cuantitativas —los dis- tintos niveles tienen diferentes caracter´ısticas de inter´es. La posici´on de las variables ordinales es difusa en esta clasificaci´on aunque se suelen clasificar co- mo cuantitativas asignando puntuaciones num´ericas a las distintas categor´ıas.

10 1.3. INFERENCIA ESTAD´ISTICA PARA DATOS CATEG ORICOS´

p(n 1 , n 2 ,... , nc− 1 ) =

n! n 1 !n 2!... nc!

πn 1 1 π 2 n 2... πn c c (1.1)

Como E(nj ) = nπj y var(nj ) = nπj (1 − πj ) la distribuci´on marginal de cada nj es una binomial con par´ametros n y πj. Estas variables no son´ independientes puesto que cov(ni, nj ) = −nπiπj.

3. Distribuci´on de Poisson:

A veces los datos de recuento no resultan de un n´umero fijo de ensayos. Por ejemplo, si y = n´umero de muertes debidas a un accidente automovil´ıstico en Italia durante la pr´oxima semana, no hay l´ımite superior n fijo para y. Dado que y debe ser un n´umero entero no negativo, su distribuci´on debe colocar su masa en ese rango. La distribuci´on m´as simple es la de Poisson. Sus probabilidades dependen de un s´olo par´ametro, la media μ. La funci´on de masa de probabilidad de Poisson es:

p(y) =

e−μμy y!

, y = 0, 1 , 2 ,...

Satisface E(Y ) = var(Y ) = μ. La distribuci´on de Poisson se utiliza para los conteos de sucesos que ocurren aleatoriamente en el tiempo o en el espacio, cuando los resultados en periodos o regiones disjuntas son independientes.

1.3. Inferencia Estad´ıstica para Datos

Categ´oricos

La elecci´on de la distribuci´on para la variable respuesta es s´olo un paso del an´alisis de los datos. En la pr´actica, esta distribuci´on tiene los valores de los par´ametros desconocidos.

En esta secci´on veremos m´etodos para hacer inferencia sobre los par´ametros.

Funci´on de Probabilidad y Estimador de M´axima Verosimilitud

Para la estimaci´on de los par´ametros usaremos la m´axima verosimilitud. Bajo condiciones de regularidad d´ebil los estimadores de m´axima verosimilitud tie-

CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ON: VARIABLES CATEG ´ ORICAS´ 11

nen propiedades deseables. Tienen distribuciones normales para grandes mues- tras, son asint´oticamente consistentes, convergiendo al par´ametro cuando n aumenta, y son asint´oticamente eficientes, produciendo errores est´andar pa- ra muestras grandes no mucho m´as grandes que los de los otros m´etodos de estimaci´on.

Dado los datos, para una distribuci´on de probabilidad elegida, la funci´on de verosimilitud es la probabilidad de esos datos tratados como una funci´on del par´ametro desconocido. El estimador de m´axima verosimilitud es el valor del par´ametro que maximiza esta funci´on. Este es el valor del par´ametro bajo el cual los datos observados tienen la mayor probabilidad de ocurrencia. El valor del par´ametro que maximiza la funci´on de verosimilitud tambi´en ma- ximiza el logaritmo de esa funci´on. Es m´as f´acil maximizar el logaritmo de verosimilitud ya que es una suma en lugar de un producto de t´erminos.

Al par´ametro lo denotamos por β y a su estimador de m´axima verosimilitud por βˆ. La funci´on de verosimilitud es (β) y el logaritmo de la funci´on de verosimilitud es L(β) = log[(β)].

Para muchos modelos L(β) tiene una forma c´oncava y βˆ es el punto en el cual la derivada es igual a 0. El estimador de m´axima verosimilitud es entonces la soluci´on de la ecuaci´on ∂L(β)/∂β = 0.

Cuando β es multidimensional se denota por β, y βˆ es la soluci´on de un conjunto de ecuaciones de verosimilitud.

Dado SE (standard error) denota el error est´andar de βˆ, y cov( βˆ) la matriz de covarianza asint´otica de βˆ. Bajo condiciones de regularidad, cov( βˆ) es la inversa de la matriz de informaci´on.

El elemento (j,k) de la matriz de informaci´on es:

− E

∂^2 L(β) ∂βj ∂βk

Los errores est´andar son las ra´ıces cuadradas de los elementos diagonales de la inversa de la matriz de informaci´on. Cuanto mayor es la curvatura del logaritmo de la verosimilitud, menores ser´an los errores est´andar. Es razonable dado que la gran curvatura implica que el logaritmo de la verosimilitud disminuye r´apidamente a medida que β se aleja de βˆ; por lo tanto los valores tendr´ıan m´as probabilidades de ocurrir si β toma un valor cercano a βˆ.

CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ON: VARIABLES CATEG ´ ORICAS´ 13

Construcci´on de los Intervalos de Confianza

En la pr´actica es m´as informativo construir intervalos de confianza para los par´ametros que probar hip´otesis sobre sus valores. Un intervalo de confian- za resulta de invertir un contraste de hip´otesis. Por ejemplo, un intervalo de confianza al 95 % para β es el conjunto de β 0 para los cuales el contraste H 0 : β = β 0 tiene un p-valor mayor que 0.05.

Para α ∈ (0, 1), zα denota el percentil 100(1 − α) % de la distribuci´on normal est´andar, es decir, zα verifica P (Z > zα) = α, donde Z ∼ N(0,1). Los intervalos de confianza al 100(1−α) % basados en el uso de la normalidad asint´otica usan zα/ 2. Por ejemplo, z0.025 = 1.96 para una confianza del 95 %.

De forma similar χ^2 df(α) es el percentil 100(1 − α) % de una distribuci´on χ^2 con df grados de libertad.

El intervalo de confianza de Wald es el conjunto de β 0 para los cuales | βˆ − β 0 | / SE < zα/ 2. Esto da el intervalo βˆ ± zα/ 2 (SE).

El intervalo de confianza basado en la raz´on de verosimilitudes es el conjunto de β 0 para los cuales -2(L(β 0 ) − L( βˆ)) < χ^21 (α). Recalcamos que χ^21 (α) = z α/^22.

Cuando βˆ tiene una distribuci´on normal el logaritmo de la funci´on de vero- similitud tiene una forma parab´olica. Para muestras peque˜nas con datos ca- teg´oricos, βˆ puede estar lejos de la normalidad y el logaritmo de la funci´on de verosimilitud puede estar lejos de una curva sim´etrica parab´olica. Esto tambi´en puede ocurrir con muestras de moderadas a grandes cuando un modelo contie- ne muchos par´ametros. En estos casos la inferencia basada en la normalidad asint´otica de βˆ puede tener un rendimiento inadecuado.

1.3.1. Inferencia Estad´ıstica para Par´ametros

Binomiales

En este apartado presentaremos pruebas e intervalos de confianza para el par´ametro binomial π, basado en y ´exitos en n ensayos independientes.

La funci´on de masa de probabilidad era: p(y) =

(n y

πy(1 − π)n−y. Los coefi-

cientes

(n y

no influyen sobre donde ocurre el m´aximo con respecto a π. Un equivalente al logaritmo de la verosimilitud ser´ıa:

14 1.3. INFERENCIA ESTAD´ISTICA PARA DATOS CATEG ORICOS´

L(π) = log[πy(1 − π)n−y] = y log(π) + (n − y) log(1 − π)

Derivando con respecto a π:

∂L(π) ∂π

y π

n − y 1 − π

y − nπ π(1 − π)

Igualando esto a 0 obtenemos la ecuaci´on de verosimilitud, cuya soluci´on es el estimador de m´axima verosimilitud ˆπ = y/n, la proporci´on muestral de ´exitos para los n ensayos.

Se tiene que:

E

∂^2 L(π) ∂π^2

n π(1 − π)

Por tanto, el error est´andar de ˆπ es σ(ˆπ) =

π(1 − π) n

Adem´as, dado que E(Y ) = nπ y ˆπ = Y /n, la media es E(ˆπ) = π.

Consideremos ahora H 0 : π = π 0. El estad´ıstico de Wald es:

zW =

πˆ − π 0 SE

πˆ − π 0 √ πˆ(1 − πˆ)/n

Usa el error est´andar evaluado en ˆπ.

Una prueba de significaci´on simplemente indica si un valor particular de π es probable. Es mejor usar un intervalo de confianza para determinar el rango de valores probables.

Invertir el estad´ıstico de prueba de Wald da el intervalo de valores de π 0 para los cuales |zW | < zα/ 2 , es decir:

ˆπ ± zα/ 2

ˆπ(1 − ˆπ) n

16 1.3. INFERENCIA ESTAD´ISTICA PARA DATOS CATEG ORICOS´

derivando L(π) con respecto a πj da la ecuaci´on de verosimilitud:

∂L(π) ∂πj

nj πj

nc πc

La soluci´on de m´axima verosimilitud satisface ˆπj /πˆc = nj /nc. Ahora,

j

π ˆj = 1 =

ˆπc

j nj

nc

πˆcn nc

As´ı que ˆπc = nc/n y entonces ˆπj = nj /n ∀j. Los estimadores de m´axima verosimilitud de {πj } son las proporciones de la muestra.

Estad´ıstico Chi-Cuadrado de Pearson

La prueba de Pearson eval´ua si los par´ametros multinomiales son iguales a ciertos valores espec´∑ ıficos. Consideramos H 0 : πj = πj 0 , j = 1,.. .,c, donde

j πj^0 = 1. Cuando^ H^0 es cierto, los valores esperados de^ {nj^ }, llamadas frecuencias esperadas, son μj = nπj 0 , j = 1,.. .,c.

Pearson propuso el estad´ıstico:

X^2 =

j

(nj − μj )^2 μj

Diferencias mayores de {nj − μj } producen valores grandes de X^2.

Si X 02 denota el valor observado de X^2 , el p-valor es el valor bajo la hip´otesis nula de P (X^2 ≥ X 02 ). Esto es igual a la suma de las probabilidades multino- miales de todos los vectores de conteo con X^2 ≥ X 02.

Para muestras grandes, X^2 tiene aproximadamente una distribuci´on chi-cuadrado con c − 1 grados de libertad. El p-valor est´a aproximado por P

χ^2 c− 1 ≥ X 02

donde χ^2 c− 1 denota una variable aleatoria chi-cuadrado con c − 1 grados de libertad.

CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ON: VARIABLES CATEG ´ ORICAS´ 17

Estad´ıstico Chi-Cuadrado de Raz´on de Verosimilitudes

Una prueba alternativa para par´ametros multinomiales usa el test de raz´on de verosimilitudes. El n´ucleo de la verosimilitud multinomial es (1.3). Bajo H 0 la verosimilitud es m´axima cuando ˆπj = πj 0. En un caso general, el m´aximo se obtiene cuando ˆπj = nj /n. La raz´on de verosimilitudes es igual a:

j (πj^0 )

nj ∏ j (nj^ /n)

nj

El estad´ıstico de raz´on de verosimilitudes es:

G^2 = −2 log Λ = 2

nj log (nj /nπj 0 )

Cuanto mayor sea el valor de G^2 , mayor ser´a la evidencia contra H 0.

En el caso general, el espacio de par´∑ ametros est´a formado por {πj } sujeto a

j πj^ = 1 con dimensionalidad^ c−1. Para^ n^ grande,^ G

(^2) tiene aproximadamente

una distribuci´on chi-cuadrado con c − 1 grados de libertad.

Cuando H 0 es cierta, X^2 y G^2 tienen distribuciones asint´oticas chi-cuadrado con c − 1 grados de libertad. De hecho, son asint´oticamente equivalentes ya que X^2 − G^2 converge en probabilidad a cero. Cuando H 0 es falsa, tienden a crecer proporcionalmente a n.

Para c fijo, a medida que n aumenta, la distribuci´on de X^2 converge a una chi-cuadrado m´as r´apidamente que la de G^2. La aproximaci´on chi-cuadrado es generalmente pobre para G^2 cuando n/c < 5. Cuando c es grande, puede ser decente para X^2 para n/c tan peque˜no como 1 si la tabla no contiene frecuencias esperadas muy peque˜nas y moderadamente grandes.

Cap´ıtulo 2

Descripci´on de Tablas de

Contingencia

En este cap´ıtulo hablaremos de tablas que muestran relaciones entre variables categ´oricas. Tambi´en definiremos par´ametros que resumen su asociaci´on. Nos centraremos en variables binarias, las cuales tienen dos categor´ıas.

Primero, introduzcamos una terminolog´ıa b´asica y notaci´on.

2.1. Estructura de Probabilidad para Tablas

de Contingencia

Una tabla de contingencia es una de las formas m´as comunes de resumir datos categ´oricos. En general, el inter´es se centra en estudiar si existe alguna asocia- ci´on entre una variable fila y otra variable columna y/o calcular la intensidad de dicha asociaci´on.

Sean X e Y dos variables categ´oricas de respuesta, X con I categor´ıas e Y con J categor´ıas. Un sujeto puede venir clasificado en una de las I × J categor´ıas, que es el n´umero posible de categor´ıas que existe. Las respuestas (X,Y ) de un sujeto elegido aleatoriamente de alguna poblaci´on tiene una distribuci´on de probabilidad. Una tabla rectangular que tiene I filas para las categor´ıas de X y J columnas para las categor´ıas de Y muestra esta distribuci´on.

Cuando las casillas de la tabla contienen las frecuencias observadas, la tabla se

20 2.1. ESTRUCTURA DE PROBABILIDAD PARA TABLAS DE CONTINGENCIA

denomina tabla de contingencia, t´ermino que fue introducido por Karl Pearson en 1904.

Una tabla de contingencia (o tabla de clasificaci´on cruzada), con I filas y J columnas se denomina tabla I × J.

Por ejemplo, se considera la distribuci´on conjunta de dos variables y la corres- pondiente tabla de contingencia en una muestra de pacientes de un hospital. Se tiene la siguiente tabla:

X: Se toma aspirina o placebo (I=2).

Y : No se sufre un ataque card´ıaco o bien se sufre y es mortal o no (J=3).

Infarto de Miocardio Ataque Mortal Ataque No Mortal No Ataque Placebo 18 171 10. Aspirina 5 99 10.

Cuadro 2.1: Clasificaci´on Cruzada de Uso de Aspirina y Ataque Card´ıaco.

El Cuadro 2.1, una tabla de contingencia 2 × 3, relaciona el uso de aspirina y los ataques al coraz´on. Esto fue un estudio aleatorizado sobre si la ingesta regular de aspirina reduce la mortalidad por enfermedad cardiovascular. Los pacientes del hospital tomaban una tableta de apirina o placebo. El estudio era ciego, los pacientes no sab´ıan si tomaban aspirina o no. De los 11.034 pacientes que tomaron placebo, 18 sufrieron un ataque mortal al coraz´on, mientras que de los 11.037 pacientes que tomaron aspirina, 5 sufrieron un ataque fatal al coraz´on.

Distribuci´on Conjunta

Si πij denota la probabilidad de que (X,Y ) ocurra en la casilla de la fila i y la columna j, la distribuci´on de probabilidad {πij } es la distribuci´on conjunta de X e Y.

La distribuci´on conjunta viene dada por:

πij = P (X = i, Y = j) con i = 1,... , I y j = 1,... , J