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402 Bloque IV. Probabilidad
1. Reglas de integración
Aplica la teoría
Piensa y calcula
Calcula mentalmente:
a) La probabilidad de que al sacar una bola, sea roja.
b) La probabilidad de que al sacar dos bolas sin devolución, la primera sea roja y la segunda azul.
R
A R A
Solución:
a)
2 b)^
Unidad 15.
Probabilidad. Distribución binomial y normal
1 De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se ex traen al azar, sucesivamente y sin devolución, dos bolas. a) Haz el diagrama de árbol que representa el experi mento. b) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea negra, condicionada a que la primera ha sido blanca.
Solución: a)
3 B
2 N
4 B
2 N
2/
B
2 B
2 N
3 B
1 N
3/
B
1/
N
2/
N
4 B
1 N
3 B
1 N
4 B
4/
B
1/
N
B = «Sacar bola blanca» N = «Sacar bola negra»
b) P ( N/B ) =
2 Lanzamos dos monedas de un euro al aire: a) Haz el diagrama de árbol. b) Calcula la probabilidad de sacar dos caras.
Solución: a)
1/
1/
C
C CC
1/2 X CX
1/
X
C XC
1/2 X XX
1/
C = «Sacar cara» X = «Sacar cruz»
b) P ( C > C ) =
2 ·^
2 =^
3 De una baraja española de 40 cartas se extraen dos de ellas con devolución. Determina:
a) La probabilidad de que las dos sean copas. b) La probabilidad de que la segunda sea de oros, condi cionado a que la primera haya sido de copas. c) La probabilidad de que las dos sean figuras. d) La probabilidad de que la segunda sea figura, condi cionado a que la primera haya sido un as.
Solución: C = «Sacar copas» O = «Sacar oros» F = «Sacar figura» A = «Sacar as»
15.Probabilidad. D i s t r i b u c i ó n binomialynormal 403
a) P ( C > C ) =
40 =^
40 =^
b) P ( O / C ) = P ( O ) =
Los sucesos son independientes al ser con devolución.
c) P ( F > F ) =
40 =^
40 =^
d) P ( F / A ) = P ( F ) =
2. Teoremas de probabilidad
4 Considérese una urna que contiene 2 bolas rojas y 4 blancas. Si de la urna se sacan dos bolas sin devolu ción, calcula la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color y que al menos una de las bolas sea blanca.
Solución: R = «Sacar bola roja» B = «Sacar bola blanca»
1 R
4 B
2 R
4 B
1/
R^1 R
3 B
1/
R
2/
B
4/
B
2 R
3 B
1 R
3 B
4 B
2/
R
3/
B 2 R 2 B
- Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total: P ( R > R ) + P ( B > B ) =
- Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total: P ( R > B ) + P ( B > R ) + P ( B > B ) = 1 3
5 Un barco cubre diariamente el servicio entre dos puertos. Se sabe que la probabilidad de accidente en día sin niebla es 0,005, y en día de niebla, 0,07. Un cierto día de un mes en el que hubo 18 días sin niebla y 12 con niebla se produjo un accidente. Calcula la probabilidad de que el accidente haya sido en un día sin niebla.
Solución: N = «Día con niebla» A = «Producirse un accidente»
12/
18/
N
A NA
A NA
A NA 0,
A NA
0, N
Se aplica el teorema de Bayes:
P ( N
/ A )
P ( N
> A )
P ( A )
6 Se extrae una carta de una baraja española de 40 car tas. Si la carta extraída es un rey, nos dirigimos a la urna I; en caso contrario, a la urna II. A continuación, extraemos una bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras y el de la urna II es de 6 bolas blancas y 4 negras.
Halla:
a) La probabilidad de que la bola extraída sea blanca y de la urna II.
b) La probabilidad de que la bola extraída sea negra.
Solución: R = «Sacar rey» B = «Sacar bola blanca» N = «Sacar bola negra»
Aplica la teoría
Piensa y calcula
En una familia con dos hijos la probabilidad de que sean los dos varones es 1/4 y de que sean las dos mujeres es 1/4. Calcula la probabilidad de que en una familia con dos hijos ambos tengan el mismo sexo.
Solución: 1 4
15.Probabilidad. D i s t r i b u c i ó n binomialynormal 405
10 Un estudiante que prepara oposiciones domina 80 temas de los 100 de que consta el temario. Para el examen se eligen dos temas al azar, y el opositor puede dominar los dos, uno o ninguno.
Haz la distribución de probabilidad.
Solución: N.º de temas pi 0 0, 1 0, 2 0,
4. Distribución binomial
11 Calcula mentalmente: a) 1! b) 5!
c) ( 4
0 )^
d) ( 7
Solución: a) 1 b) 120 c) 1 d) 7
12 Halla, utilizando la calculadora: a) 8! b) 13!
c) (
4 )^
d) (
Solución: a) 40 320 b) 6 227 020 800 c) 210 d) 252
13 La probabilidad de que un jugador de baloncesto enceste una canasta de 3 puntos es 0,6. Si tira a la cesta 4 veces, calcula la probabilidad de que enceste 3
Solución: a) x ≡ Número de encestes. b) B (4; 0,6)
c) P ( x = 3) = (
3 )^
· 0,6^3 · 0,4 = 0,
14 Un 5 % de las piezas producidas en un proceso de fabricación resultan defectuosas. Halla la probabilidad de que en una muestra de 20 piezas elegidas al azar haya exactamente dos piezas defectuosas.
Solución: a) x ≡ Número de piezas defectuosas. b) B (20; 0,05)
c) P ( x = 2) = ( 20
2 )^
· 0,05^2 · 0,95^18 = 0,
Aplica la teoría
Piensa y calcula
Un jugador encesta con probabilidad 1/3. Calcula la probabilidad de que al tirar dos veces enceste:
a) dos veces; b) una vez; c) ninguna vez;
Solución:
a)
b)
c)
5. Distribuciones de frecuencia y probabilidad continuas
Piensa y calcula
Calcula mentalmente el área comprendida entre el eje X y la recta y =
x en el intervalo [0, 3] Y
X
y =^43 x
Solución: Área = 6 u^2
406 Bloque IV. Probabilidad
15 Demuestra que la siguiente función es de densidad y calcula P (3 ≤ x ≤ 4)
f ( x ) =
—^1
si x ∈ [2, 6] 4 0 si x ∉ [2, 6]
Solución: Y
X
1/
1
2 6
a) f ( x ) ≥ 0 para todo valor del dominio. b) El área comprendida entre el eje X y la función f ( x ) en el dominio es el área de un rectángulo: 4 · 1/4 = 1 Como se verifican las características a) y b), es una función de densidad.
P (3 ≤ x ≤ 4) = 1 ·
4 =^
16 Demuestra que la siguiente función es de densidad y calcula P (1 ≤ x ≤ 2)
f ( x ) =
- —^ x
- 1 si x ∈ [0, 2] 2 0 si x ∉ [0, 2]
Solución:
Y
X
1
2
a) f ( x ) ≥ 0 para todo valor del dominio.
b) El área comprendida entre el eje X y la función f ( x ) en el dominio es el área de un triángulo: 2 · 1 2
Como se verifican las características a) y b), es una función de densidad.
P (1 ≤ x ≤ 2) =
2 =^
17 Calcula la función de distribución de una variable aleatoria cuya función de densidad es:
f ( x ) =
— si x ∈ [1, 7] 6 0 si x ∉ [1, 7]
Solución: x 1 2 3 4 5 6 7 P ( x ≤ xi ) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1
F ( x ) =
0 si x ≤ 1 x – 1 6 si 1^ <^ x^ <^7 1 si x ≥ 7 Y
X
1
2
1 7
18 Una variable aleatoria tiene la siguiente función de distribución:
F ( x ) =
0 si x < 0 x x + 2 si^ x^ ≥^0
Calcula P ( x ≤ 10) y P (8 ≤ x ≤ 10)
Solución: P ( x ≤ 10) = F (10) =
12 =^
P (8 ≤ x ≤ 10) = F (10) – F (8) =
Aplica la teoría
408 Bloque IV. Probabilidad
7. La binomial se aproxima a la normal
Piensa y calcula
En una función de distribución se estudia la probabilidad de la variable aleatoria número de hijas de las familias con dos descendientes. Calcula mentalmente P ( x = 1) y P (0,5 < x < 1,5)
Solución: 1 4 y
24 El 5 % de los libros prestados en una biblioteca de un centro escolar son técnicos. Si se toman los últimos 500 préstamos, calcula la probabilidad de que se hayan prestado entre 25 y 30 libros técnicos.
Solución: a) x ≡ Número de libros prestados. b) B (500; 0,05) c) P (25 ≤ x ≤ 30)
- Se decide si se puede normalizar: np = 500 · 0,05 = 25 > 5 nq = 500 · 0,95 = 475 > 5 Se puede aproximar a una normal. - Se normaliza: μ = np = 500 · 0,05 = 25
σ = √ npq = √500 · 0,05 · 0,95 = 4,
B (500; 0,05) ⇒ N (25; 4,87)
- Se corrige la continuidad y se tipifica: P (25 ≤ x ≤ 30) ⇒ P (24,5 ≤ x ≤ 30,5) =
= P ( 24,5 – 25
≤ z ≤ 30,5 – 25
4,87 )^
= P (– 0,10 ≤ z ≤ 1,13) = = P ( z ≤ 1,13) – P ( z ≤ – 0,10) = = P ( z ≤ 1,13) – [1 – P ( z ≤ 0,10)] = 0,
25 Se lanza una moneda 500 veces. Calcula la probabili dad de que salgan a lo sumo 260 caras.
Solución: a) x ≡ Número de caras. b) B (500; 0,5) c) P ( x ≤ 260)
- Se decide si se puede normalizar: np = 500 · 0,5 = 250 > 5 nq = 500 · 0,5 = 250 > 5 Se puede aproximar a una normal. - Se normaliza: μ = np = 500 · 0,5 = 250
σ = √ npq = √500 · 0,5 · 0,5 = 11,
B (500; 0,5) ⇒ N (250; 11,18)
- Se corrige la continuidad y se tipifica: P ( x ≤ 260) ⇒ P ( x ≤ 260,5) =
= P ( z ≤ 260,5 – 250
11,18 )^
= P ( z ≤ 0,94) = 0,
26 Se sabe que entre los enfermos diabéticos la proba bilidad de superar un infarto es del 20 %. Si se tienen 200 pacientes, calcula la probabilidad de que al menos 50 superen el infarto.
Solución: a) x ≡ Número de pacientes. b) B (200; 0,2) c) P ( x ≥ 50)
- Se decide si se puede normalizar: np = 200 · 0,2 = 40 > 5 nq = 200 · 0,8 = 160 > 5 Se puede ajustar a una normal. - Se normaliza: μ = np = 200 · 0,2 = 40
σ = √ npq = √200 · 0,2 · 0,8 = 5,
B (200; 0,2) ⇒ N (40; 5,66)
- Se corrige la continuidad y se tipifica: P ( x ≥ 50) ⇒ P ( x ≥ 49,5) =
= P ( z ≥ 49,5 – 40
5,66 )^
= P ( z ≥ –1,68) =
= 1 – P ( z ≤ 1,68) = 0,
27 Se lanza un dado 130 veces. Calcula la probabilidad de que salga al menos 18 veces el número 4
Solución: a) x ≡ Número de cuatros. b) B (130; 0,17) c) P ( x ≥ 18)
- Se decide si se puede normalizar: np = 130 · 0,17 = 22,1 > 5 nq = 130 · 0,83 = 107,9 > 5 Se puede ajustar a una normal. - Se normaliza: μ = np = 130 · 0,17 = 22,
σ = √ npq = √130 · 0,17 · 0,83 = 4,
B (130; 0,17) ⇒ N (22,1; 4,28)
- Se corrige la continuidad y se tipifica:
P ( x ≥ 18) ⇒ P ( x ≥ 17,5) = P ( z ≥ 17,5 – 22,
4,28 )^
= P ( z ≥ – 1,07) = P ( z ≤ 1,07) = 0,
Aplica la teoría
15.Probabilidad. D i s t r i b u c i ó n binomialynormal 409
Ejercicios y problemas
1 El 2 % de unas bombillas de bajo consumo de una deter minada marca son defectuosas. Si se venden en lotes de 25 bombillas, calcula la probabilidad de que haya como máximo dos defectuosas.
❏✘^ 0,
2 Un jugador de baloncesto encesta un 95 % de las veces. Si realiza 7 lanzamientos, ¿cuál es la probabilidad de que falle alguno?
❏✘^ 0,
3 Se sabe que un medicamento produce mejoría en dos de cada tres enfermos. Si se administra en 7 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que mejoren 4 pacientes?
❏✘^ 0,
4 En una tienda se estima que el tiempo que tarda en venderse un determinado tipo de vasos sigue una dis tribución normal de 50 días de media y una desviación típica de 8 días. Calcula la probabilidad de que un juego de vasos se venda antes de 35 días.
❏✘^ 0,
5 En un test se mide cierta habilidad específica. Las pun tuaciones se distribuyen siguiendo una normal con media 100 puntos y desviación típica de 25 puntos. Calcula la puntuación que delimita el grupo que tiene el 20 % de las puntuaciones más altas. Redondea el resul tado a una puntuación entera.
❏✘^121
6 El 50 % de los préstamos que concede un banco son para vivienda, el 30 % para industria y el 20 % para con sumo. Un estudio asegura que no se pagan el 20 % de los préstamos para vivienda, el 15 % de los préstamos para industria y el 70 % de los préstamos para consumo. Se elige al azar un préstamo. Calcula la probabilidad de que se pague.
❏✘^ 0,
7 Una tienda de trajes de caballero trabaja con tres sas tres. Un 5 % de los clientes atendidos por el sastre A no queda satisfecho, tampoco el 8 % de los atendidos por el sastre B ni el 10 % de los atendidos por el sastre C. El 55 % de los arreglos se encargan al sastre A, el 30 % al sastre B y el 15 % restante al C. Calcula la probabilidad de que si un cliente no ha quedado satisfecho, le haya hecho el arreglo el sastre A.
❏✘^ 0,
8 Un restaurante dispone de 20 mesas. La dirección del restaurante ha observado que el 8 % de las reservas de mesas para cenar se anulan a última hora. Por esta razón se admiten 22 reservas para una misma noche. Calcula la probabilidad de que el restaurante no pueda satisfacer todas las solicitudes.
❏✘^ 0,
9 Un grupo de alumnos de 2.º de Bachillerato va de excursión al campo el próximo domingo. Desafortuna damente, en las noticias del tiempo han predicho que lloverá ese día. Se sabe, de predicciones anteriores, que cuando llueve, las noticias del tiempo predicen lluvia el 90 % de las veces. Mientras que cuando no llueve, pre dicen lluvia un 10 % de las veces. Si sabemos que en la zona a la que van los alumnos llueve el 5 % de los días, ¿cuál es la probabilidad de que llueva ese domingo?
❏✘^ 0,
Preguntas tipo test
15.Probabilidad. D i s t r i b u c i ó n binomialynormal 411
Ejercicios y problemas propuestos
33 En un supermercado, el 70 % de las compras las realizan las mujeres; de las compras realizadas por estas, el 80% supera los 12 €, mientras que de las compras realizadas por hombres solo el 30 % supera esa cantidad. a) Elegido un tique de compra al azar, ¿cuál es la proba bilidad de que supere los 12 €? b) Si se sabe que el tique de compra supera los 12 €, ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer?
Solución: M = «Compra realizada por una mujer» S = «Compra superior a 12 €»
0,
0,
M
0,8 S 0,
S
V
0,3 S 0,
S
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total: P ( S ) = 0,56 + 0,09 = 0, b) Se aplica el teorema de Bayes:
P ( S / M ) =
34 Se estima que solo un 20 % de los que compran acciones en Bolsa tienen conocimientos bursátiles. De ellos, el 80 % obtienen beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles, solo un 10 % obtienen beneficios. Se desea saber: a) El tanto por ciento de los que compran acciones en Bolsa que obtienen beneficios. b) Si se elige al azar una persona que ha comprado ac ciones en Bolsa y resulta que ha obtenido beneficios, ¿cuál es la probabilidad de que tenga conocimientos bursátiles?
Solución: C = «Tienen conocimientos bursátiles» B = «Obtienen beneficios»
0,
0,
C
B 0,
B
0,
B 0,
B
0, C
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total: P ( B ) = 0,16 + 0,08 = 0,24 ⇒ 24 % b) Se aplica el teorema de Bayes: P ( C / B ) =
35 En una universidad existen tres facultades: A , B y C. En A hay matriculadas 150 chicas y 50 chicos; en B , 300 chicas y 200 chicos; y en C , 150 chicas y 150 chicos. a) Calcula la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, sea chico. b) Si un estudiante elegido al azar resultara ser chico, ¿cuál es su facultad más probable?
Solución: A = «Ser de la universidad A » B = «Ser de la universidad B » C = «Ser de la universidad C » V = «Ser chico» M = «Ser chica»
A 1/
C
B 1/
3/
150 M
50 V
M
V^ 1/
3/
1/
300 M
200 V
M
V^ 1/
3/
2/
150 M
150 V
M
V^ 3/
1/
1/
200 A
500 B
300 C
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total: P ( V ) =
b) Se aplica el teorema de Bayes:
P ( A / V ) =
2/5 =^
P ( B / V ) =
P ( C / V ) =
La universidad más probable es la B
3. Distribuciones de frecuencia
y probabilidad discretas
36 Una variable x tiene una distribución de probabilidad dada por la siguiente tabla:
xi 1 2 3 4 6 pi 2 9
Calcula: a) P ( x = 7) b) P ( x > 3) c) La media. d) La desviación típica.
Solución: a) P ( x = 7) = 0 b) P ( x > 3) =
c) μ = 3 d) σ = 1,
412 Bloque IV. Probabilidad
37 Se considera el experimento de lanzar dos dados de seis caras numerados y sumar los números que se obtienen. a) Halla la función de probabilidad. b) Halla sus parámetros.
Solución:
xi pi 2 1/ 3 2/ 4 3/ 5 4/ 6 5/ 7 6/ 8 5/ 9 4/ 10 3/ 11 2/ 12 1/
a) μ = 7 b) σ = 2,
38 Una variable x tiene una distribución de probabilidad dada por la siguiente tabla:
xi 1 2 3 4 5 6 pi 3 19
k (^) 2 19
a) Calcula el valor de k b) Representa la función de probabilidad. c) Calcula la media. d) Calcula la desviación típica.
Solución:
a)
b) (^) Distribución de probabilidad 0, 0, 0, 0, 0, 0,
1 2 3 4 5 6 0,
Probabilidades
c) μ = 3,
d) σ = 1,
4. Distribución binomial
39 Un examen tipo test tiene diez preguntas con cuatro respuestas cada una. Si un alumno responde aleatoria mente, ¿qué probabilidad tiene de contestar bien a más de tres preguntas?
Solución: a) x ≡ Número de respuestas acertadas. b) B (10, 1/4) c) P ( x > 3) P ( x > 3) = 1 – P ( x ≤ 3) = 1 – 0,7759 = 0,
40 Considera una caja que contiene 4 bolas rojas y 2 bolas negras. Se selecciona una bola al azar, se anota su color y se devuelve a la caja. Esta actividad se repite diez veces. Encuentra la probabilidad de observar una bola roja seis veces.
Solución: a) x ≡ Número de bolas rojas. b) B (10, 2/3) c) P ( x = 6)
P ( x = 6) = (
6 )^ (^
6
4 = 0,
41 En un centro aprobaron Lengua el 80% de los alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que, de un grupo de 8 alum nos elegidos al azar, solo dos hayan suspendido Lengua?
Solución: a) x ≡ Número de alumnos suspensos. b) B (8; 0,2) c) P ( x = 2)
P ( x = 2) = (
2 )^
· 0,2^2 · 0,8^6 = 0,
42 Si el 20 % de las piezas producidas por una máquina son defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defec tuosas?
Solución: a) x ≡ Número de piezas defectuosas. b) B (4; 0,2) c) P ( x ≤ 2) P ( x ≤ 2) =
0 )^
· 0,2^0 · 0,8^4 + (
1 )^
· 0,2 · 0,8^3 + (
0 )^
· 0,2^2 · 0,8^2 =
414 Bloque IV. Probabilidad
49 Calcula en una N (16, 2) las siguientes probabilidades: a) P ( x ≤ 18) b) P ( x ≥ 14) c) P (15 ≤ x ≤ 17) d) P (17 ≤ x ≤ 18)
Solución:
a) P ( z ≤
2 )^
= P ( z ≤ 1) = 0,
b) P ( z ≥
2 )^
= P ( z ≥ – 1) = P ( z ≤ 1) = 0,
c) P ( 15 – 16
≤ z ≤ 17 – 16
2 )^
= P (–0,5 ≤ z ≤ 0,5) =
= P ( z ≤ 0,5) – P ( z ≤ – 0,5) = P ( z ≤ 0,5) – 1 + P ( z ≤ 0,5) = = 2 · P ( z ≤ 0,5) – 1 = 0,
d) P ( 17 – 16
≤ z ≤ 18 – 16
2 )^
= P (0,5 ≤ z ≤ 1) =
= P ( z ≤ 1) – P ( z ≤ 0,5) = 0,
7. La binomial se aproxima a la normal
50 Halla la probabilidad de que al lanzar una moneda 12 veces salgan al menos 5 caras.
Solución: a) x ≡ Número de caras. b) B (12; 0,5) c) P ( x ≥ 5)
- Se decide si se puede normalizar: np = 12 · 0,5 = 6 > 5 nq = 12 · 0,5 = 6 > 5 Se puede aproximar a una normal. - Se normaliza: μ = np = 12 · 0,5 = 6
σ = √ npq = √12 · 0,5 · 0,5 = 1,
B (12; 0,5) ⇒ N (6; 1,73)
- Se corrige la continuidad y se tipifica:
P ( x ≥ 5) ⇒ P ( x ≥ 4,5) = P ( z ≥ 4,5 – 6
1,73 )^
P ( z ≥ – 0,87) = P ( z ≤ 0,87) = 0,
51 En un test de 120 preguntas de verdadero o falso, halla la probabilidad de acertar al menos 40 respuestas.
Solución: a) x ≡ Número de respuestas. b) B (120; 0,5)
c) P ( x ≥ 40)
- Se decide si se puede normalizar: np = 120 · 0,5 = 60 > 5 nq = 120 · 0,5 = 60 > 5 Se puede aproximar a una normal. - Se normaliza: μ = np = 120 · 0,5 = 60
σ = √ npq = √120 · 0,5 · 0,5 = 5,
B (120; 0,5) ⇒ N (60; 5,48)
- Se corrige la continuidad y se tipifica:
P ( x ≥ 40) ⇒ P ( x ≥ 39,5) = P ( z ≥
5,48 )^
P ( z ≥ – 3,74) = P ( z ≤ 3,74) = 0,
52 Se sabe que una máquina produce un 5 % de piezas defectuosas. Calcula la probabilidad de que sean defec tuosas en una muestra de 500 piezas:
a) A lo sumo 30
b) Entre 30 y 50
Solución: a) x ≡ Número de piezas defectuosas. b) B (500; 0,05) c) P ( x ≤ 30) y P (30 ≤ x ≤ 50)
- Se decide si se puede normalizar: np = 500 · 0,05 = 25 > 5 nq = 500 · 0,95 = 475 > 5 Se puede aproximar a una normal. - Se normaliza: μ = np = 500 · 0,05 = 25
σ = √ npq = √500 · 0,05 · 0,95 = 4,
B (500; 0,05) ⇒ N (25; 4,87)
- Se corrige la continuidad y se tipifica:
P ( x ≤ 30) ⇒ P ( x ≤ 30,5) = P ( z ≤
4,87 )^
= P ( z ≤ 1,13) = 0,
- Apartado b) P (30 ≤ x ≤ 50) ⇒ P (29,5 ≤ x ≤ 50,5) =
= P ( 29,5 – 25
≤ x ≤ 50,5 – 25
4,87 )^
= P (0,92 ≤ z ≤ 5,24) = P ( z ≤ 5,24) – P ( z ≤ 0,92) = = 1 – 0,8212 = 0,
15.Probabilidad. D i s t r i b u c i ó n binomialynormal 415
Ejercicios y problemas propuestos
53 Halla la probabilidad de obtener dos bolas azules al extraer dos bolas de una urna que contiene 5 bolas rojas y 5 azules cuando el experimento se hace: a) Con devolución. b) Sin devolución.
Solución: A = «Sacar bola azul» R = «Sacar bola roja» a)
5 R 5 A
5 R 5 A
1/
R^5 R
5 A
5 R
5 A
1/
R
1/
A
1/
A
5 R
5 A
5 R
5 A
1/
R
1/
A 5 R 5 A
P ( A > A ) =
2 ·^
2 =^
b)
4 R 5 A
5 R 5 A
1/
R^4 R
4 A
3 R
5 A
4/
R
1/
A
5/
A
5 R
4 A
4 R
4 A
5/
R
4/
A 5 R 3 A
P ( A > A ) =
54 Calcula la probabilidad de obtener dos reyes al extraer dos cartas con devolución de una baraja española de 40 cartas.
Solución: R = «Extraer rey»
P ( R > R ) =
10 ·^
10 =^
55 Se lanza un dado de quinielas dos veces. Calcula la pro babilidad de sacar: a) Dos unos. b) Una X , condicionado a que ha salido un dos.
Solución:
1/
1/
1/
X
X
X
X
a) P (1 > 1) =
b) P ( X /2) =
56 Calcula la probabilidad de obtener dos números que sumen 5 al lanzar al aire dos dados.
Solución: 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
S = «Sacar dos números que sumen 5» P ( S ) =
57 Halla la probabilidad de obtener dos cartas de bastos al extraer con devolución dos cartas de una baraja espa ñola de 40 cartas.
Solución: B = «Sacar bastos» P ( B > B ) =
58 Considera dos cajas con bolas de colores:
- La caja A contiene 4 bolas rojas, 1 bola blanca y 3 bolas negras. La caja B contiene 8 bolas rojas, 1 bola blanca y 7 bolas negras.
- Considera un experimento en dos etapas: primero se lanza un dado y luego se selecciona una bola de una de las cajas A o B. La caja se selecciona dependiendo del resultado observado al lanzar el dado. Si el resul tado al lanzar el dado está en el conjunto {1, 2, 3, 4}, entonces se selecciona al azar una bola de la caja A. De otra manera, se selecciona al azar una bola de la caja B
Calcula la probabilidad: a) De sacar bola blanca. b) De que se haya sacado la bola de la caja B sabiendo que es negra.
Para ampliar
15.Probabilidad. D i s t r i b u c i ó n binomialynormal 417
Ejercicios y problemas propuestos
62 Un distribuidor de bolsas de plástico las vende en lotes de 100. El número de bolsas defectuosas en un lote tiene la siguiente distribución de probabilidad:
xi 0 1 2 3 4 pi 0,9 0,01 0,02 0,03 0,
Calcula la media y la desviación típica.
Solución: xi pi pi · x i pi · x^2 0 0,90 0,00 0, 1 0,01 0,01 0, 2 0,02 0,04 0, 3 0,03 0,09 0, 4 0,04 0,16 0, Total 1,00 0,30 1,
Media: 0,3 bolsas defectuosas. Varianza: 0, Desviación típica: 0,
63 Considera el experimento de lanzar dos dados de cua tro caras al aire. Sea x la variable aleatoria que repre senta el valor absoluto de la diferencia de los valores observados. Encuentra la función de probabilidad de x
Solución:
1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 4 3 2 1 0
xi 0 1 2 3 pi 0,2500 0,3750 0,2500 0,
64 Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distri bución de probabilidad:
xi 1 2 3 4 5 pi 0,15 a b c 0,
y se sabe que: P ( x < 4) = 0,65 y P ( x > 2) = 0, Calcula: a) La media b) La desviación típica.
Solución: Para calcular los parámetros se calcula previamente el va lor de a , b y c : 0,15 + a + b = 0, b + c + 0,1 = 0, 0,15 + a + b + c + 0,1 = 1
Resolviendo el sistema se obtiene: a = b = c =
a) Media = 2, b) Desviación típica = 1,
65 Se lanza 12 veces una moneda. Calcula: a) La probabilidad de obtener 5 caras. b) La esperanza matemática de que salga cara. c) La desviación típica.
Solución:
- x ≡ Número de caras.
- B (12; 0,5)
a) P ( x = 5) = ( 12
5 )^
· 0,5^5 · 0,5^7 = 0,
b) μ = np = 12 · 0,5 = 6
c) σ = √ npq = √12 · 0,5 · 0,5 = 1,
66 Se lanza un dado 5 veces. Calcula: a) La probabilidad de obtener tres cuatros. b) El número medio de cuatros obtenidos. c) La desviación típica.
Solución:
- x ≡ Número de cuatros.
- B (5; 1/6)
a) P ( x = 3) = ( 5
3 )^
3
2 = 0,
b) μ = np = 5 ·
c) σ = √ npq = √5 · 1/6 · 5/6 = 0,
67 Un determinado antibiótico produce efectos secunda rios en el 25 % de las personas que lo toman. Lo ingieren ocho personas. Calcula la probabilidad de que sufran efectos secundarios: a) A lo sumo dos personas. b) Más de dos personas.
Solución:
- x ≡ Número de personas con efectos secundarios.
- B (8; 0,25) a) P ( x ≤ 2) =
0 )^
· 0,75^8 + ( 8
1 )^
· 0,25 · 0,75^7 + ( 8
2 )^
· 0,25^2 · 0,75^6 =
b) P ( x > 2) = 1 – P ( x ≤ 2) = 0,
418 Bloque IV. Probabilidad
68 Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es 3/7. Se lanza la moneda 10 veces. Calcula: a) La probabilidad de obtener cinco caras. b) La probabilidad de obtener a lo sumo dos caras.
Solución:
- x ≡ Número de caras.
- B (10; 3/7)
a) ) P ( x = 5) = (^10
5 )^
5
5 = 0, b) P ( x ≤ 3) =
0 )^
10
1 )^
9
2 )^
2
8
= 0,
69 Calcula el valor de k para que la siguiente función sea de densidad de una variable aleatoria, y calcula P (3 ≤ x ≤ 4)
f ( x ) =
kx si x ∈ [0, 4] 0 si x ∉ [0, 4]
Solución: a) La función debe cumplir:
- f ( x ) ≥ 0 para todo valor del dominio.
- El área comprendida entre el eje X y la función f ( x ) en el dominio debe ser 1 4 · 4 k 2
= 1 ⇒ k = 1 8 b) Se calcula el área del trapecio de la figura: Y
X
1/
1
1 2 3 4
P (3 ≤ x ≤ 4) =
70 Calcula el valor de k para que la siguiente función sea de densidad de una variable aleatoria, y calcula P (2 ≤ x ≤ 3)
f ( x ) =
k ( x + 1) si x ∈ [0, 4] 0 si x ∉ [0, 4]
Solución: a) La función debe cumplir:
- f ( x ) ≥ 0 para todo valor del dominio.
- El área comprendida entre el eje X y la función f ( x ) en el dominio debe ser 1 5 k + k 2 · 4 = 1 ⇒ k =
b) Se calcula el área del trapecio de la figura: Y
X
1/
5/
1 2 3 4
P (2 ≤ x ≤ 3) =
71 En una distribución N (0,1), calcula: a) P ( z ≥ – 1,75) b) P ( z ≤ – 2,38) c) P (0,25 ≤ z ≤ 1,65) d) P (– 2 ≤ z ≤ 2)
Solución: a) P ( z ≤ 1,75) = 0, b) 1 – P ( z ≤ 2,38) = 0, c) P ( z ≤ 1,65) – P ( z ≤ 0,25) = 0, d) P ( z ≤ 2) – P ( z ≤ – 2) = P ( z ≤ 2) – 1 + P ( z ≤ 2) = = 2 P ( z ≤ 2) – 1 = 0,
72 En una distribución N (18; 2,5), calcula: a) P ( x ≥ 17) b) P (15 ≤ x ≤ 21)
Solución:
a) P ( x ≥ 17) = P ( z ≥
2,5 )^
= P ( z ≥ – 0,4) =
= P ( z ≤ 0,4) = 0,
b) P (15 ≤ x ≤ 21) = P ( 15 – 18
≤ z ≤ 21 – 18
2,5 )^
= P (– 1,2 ≤ z ≤ 1,2) = P ( z ≤ 1,2) – P ( z ≤ – 1,2) = = P ( z ≤ 1,2) – 1 + P ( z ≤ 1,2) = 2 P ( z ≤ 1,2) – 1 = 0,
73 En una normal N (0, 1), calcula el valor de k en los siguientes casos: a) P ( z ≥ k ) = 0, b) P (– k ≤ z ≤ k) = 0,
Solución: a) k = –1, b) P (– k ≤ z ≤ k ) = P ( z ≤ k ) – P ( z ≤ – k ) = = P ( z ≤ k ) – 1 + P ( z ≤ k ) = 2 P ( z ≤ k ) – 1
2 P ( x ≤ k ) – 1 = 0,8 ⇒ P ( z ≤ k ) = 0,8 + 1 2
⇒ k = 1,
420 Bloque IV. Probabilidad
A
B
C
0,
0,
0,
E
E
0,
0,
E
E^ 0,
0,
0,
E
E^ 0,
0,
0,
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total: P ( E ) = 0,003 + 0,0135 + 0,005 = 0, b) Se utiliza el teorema de Bayes:
P ( B / E
78 Un estuche contiene 5 lápices de igual forma y tamaño: 2 de color azul y 3 de color verde. Se extrae un lápiz del estuche y, a continuación, sin devolución, se extrae otro lápiz. a) Escribe los sucesos elementales que definen los su cesos M = «Solo ha salido un lápiz de color verde» y N = «El segundo lápiz extraído es de color azul». b) Calcula las probabilidades de los sucesos M , N y de M > N c) Estudia la independencia de los sucesos M y N. Razo na la respuesta.
Solución: A = «Sacar lápiz de color azul» V = «Sacar lápiz de color verde»
A
V
1 A
3 V
2 A
3 V
3 V
1 A
2 V
1 A
2 V
2 A
1 V
A
V
A
V
2 A
2 V
a) M = ( A > V ) < ( V > A ) N = ( A > A ) < ( V > A ) b) P ( M ) =
P ( N ) =
10 +^
10 =^
M > N = ( V > A )
P ( M > N ) =
c) P ( M ) · P ( N ) =
P ( M > N ) ≠ P ( M ) · P ( N ) ⇒ Son dependientes.
79 En un quiosco ganan 150 € diarios si no llueve, y si llueve pierden 20 € al día. Si la probabilidad de lluvia es 0,3, ¿cuál es la ganancia esperada ese día?
Solución: μ = 150 · 0,7 – 20 · 0,3 = 99 €
80 Una variable aleatoria x toma los valores 1, 2, 3, 4 y 5, y las probabilidades que toma cada valor son P ( x = xi ) = k · x i, siendo k un número real. Calcula: a) El valor de k b) P ( x < 4)
Solución: a) k + 2 k + 3 k + 4 k + 5 k = 1 ⇒ k =
b) P ( x < 4) =
81 En un juego con una baraja española con 40 cartas, una persona recibe 15 céntimos de euro cuando saca una sota o un caballo, y 5 céntimos de euro si saca un rey o un as. Si saca cualquier otra carta, tiene que pagar 4 céntimos de euro. ¿Cuál es la ganancia esperada para una persona que entra en el juego?
Solución:
μ = 15 ·
82 Un tratamiento contra la hipertensión arterial produce una mejoría en el 75 % de los casos. Se administra el tratamiento a cinco pacientes. Calcula: a) La probabilidad de que los 5 pacientes mejoren. b) La probabilidad de que 3 pacientes no obtengan me joría.
Solución:
- x ≡ Número de pacientes que mejoran.
- B (5; 0,75)
a) P ( x = 5) = ( 5
5 )^
· 0,75^5 = 0,
b) P ( x = 2) = ( 5
2 )^
· 0,75^5 · 0,25^3 = 0,
83 La probabilidad de que el proceso en el horno de secado de pinturas para coches sea defectuoso es del 2 %. Se han secado 100 coches. Calcula: a) El número medio de secados defectuosos. b) La desviación típica.
Solución:
- x ≡ Número de secados defectuosos.
- B (100; 0,02) a) μ = np = 100 · 0,02 = 2
b) σ = √ npq = √100 · 0,02 · 0,98 = 1,
15.Probabilidad. D i s t r i b u c i ó n binomialynormal 421
Ejercicios y problemas propuestos
84 De una baraja española se extraen 12 cartas con devo lución. Calcula: a) La probabilidad de obtener a lo sumo dos reyes. b) El número medio de reyes.
Solución:
- x ≡ Número de reyes.
- B (12; 0,1) a) P ( x ≤ 2) =
0 )^
· 0,9^12 + (
1 )^
· 0,1 · 0,9^11 + (
2 )^
· 0,1^2 · 0,9^10 =
b) μ = np = 12 · 0,1 = 1,
85 Un test de inteligencia está compuesto de 80 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas de las que solo una es correcta. Se contesta aleatoriamente. Halla la media, la varianza y la desviación típica del número de preguntas acertadas.
Solución:
- x ≡ Número de respuestas acertadas.
- B (80; 0,25) a) μ = np = 80 · 0,25 = 20 b) V = npq = 80 · 0,25 · 0,75 = 15
c) σ = √ V = √ 15 = 3,
86 La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo en un lanzamiento a 12 m de distancia es 0,4. Realiza 5 lanzamientos. Calcula: a) La probabilidad de obtener 5 hoyos. b) La probabilidad de obtener a lo sumo 2 hoyos. c) El número medio de hoyos. d) La desviación típica.
Solución:
- x ≡ Número de hoyos.
- B (5; 0,4)
a) P ( x = 5) = ( 5
5 )^
· 0,4^5 = 0,
b) P ( x ≤ 2) =
5 )^
· 0,6^5 + ( 5
1 )^
· 0,4 · 0,6^4 + ( 5
2 )^
· 0,4^2 · 0,6^3 =
c) μ = np = 5 · 0,4 = 2
d) σ = √ npq = √5 · 0,4 · 0,6 = 1,
87 La duración de cierto tipo de batería sigue una distribu ción normal de media 3 años, con una desviación típica de 0,5 años. a) ¿Qué porcentaje de baterías se espera que duren en tre 2 y 4 años? b) Si una batería lleva funcionando 3 años, ¿cuál es la probabilidad de que dure menos de 4,5 años?
Solución:
- x ≡ Número de años.
- N (3; 0,5) a) P (2 ≤ x ≤ 4) =
= P (
≤ z ≤
0,5 )^
= P (– 2 ≤ z ≤ 2) = P ( z ≤ 2) – P ( z ≤ – 2) = = P ( z ≤ 2) – 1 + P ( z ≤ 2) = = 2 P ( z ≤ 2) – 1 = 0,9544 = 95,44% b) P (3 ≤ x ≤ 4,5) =
= P ( 3 – 3
≤ z ≤ 4,5 – 3
0,5 )^
= P (0 ≤ z ≤ 3) = P ( z ≤ 3) – P ( z ≤ 0) = 0,
88 El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 10 km está normalmente distribuido con una media de 60 minutos y una desviación típica de 9 minutos.
a) Calcula la probabilidad de que una persona sana in vierta menos de 50 minutos.
b) Calcula la probabilidad de que una persona sana in vierta menos de 55 minutos o más de 65 minutos.
c) En una fiesta de animación al deporte participan 500 personas sanas. Calcula cuántas de ellas invertirán entre 50 y 60 minutos en hacer el recorrido.
Solución:
- x ≡ Tiempo en minutos que se invierte.
- N (60; 9)
a) P ( x ≤ 50) = P ( z ≤ 50 – 60
9 )^
= P ( z ≤ – 1,11) =
= 1 – P ( z ≤ 1,11) = 0,
b) P ( x ≤ 55) + P ( x ≥ 65) =
P ( z ≤ 55 – 60
9 )^
+ P ( z ≤ 65 – 60
9 )^
= P ( z ≤ – 0,56) + P ( z ≥ 0,56) = = 1 – P ( z ≤ 0,56) + 1 – P ( z ≤ 0,56) = = 2 – 2 P ( z ≤ 0,56) = 0,
c) 500 · P (50 ≤ x ≤ 60) =
= 500 · P (
9 )^
≤ z ≤
9 )^
= 500 · P (– 1,11 ≤ z ≤ 0) =
= 500 · [ P ( z ≤ 0) – P ( z ≤ – 1,11)] =
= 500 · [ P ( z ≤ 0) – 1 + P ( z ≤ 1,11)] =
= 500 · 0,3665 = 183,25 ≈ 183 personas.
