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Criptografía binaria: Encriptación de mensajes usando matriz invertible, Apuntes de Álgebra

Universitat Autònoma de Barcelona (UAB)Álgebra

Cómo utilizar una matriz invertible para encriptar y desencriptar mensajes binarios. El autor detalla el proceso de identificar una matriz invertible y su aplicación para transformar símbolos de un alfabeto binario en otros símbolos según la multiplicación por la matriz. Se incluyen ejemplos prácticos de encriptación y desencriptación de mensajes.

Tipo: Apuntes

2015/2016

Subido el 16/11/2016

sergiodisere
sergiodisere 🇪🇸

3.7

(3)

4 documentos

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ALGEBRA
Grau en Enginyeria de Sistemes de Telecomunicaci´o
Grau en Enginyeria Electr`onica de Telecomunicaci´o Curs 2010-2011
Taller 2. Criptografia lineal
Dossier n´um. n= Nom:
1 Codificaci´o de l’alfabet amb vectors de (Z2)5
Considerem l’alfabet Aque formen els 32 s´ımbols seg¨uents etiquetats amb els nombres del
0 al 31. El s´ımbol tl’utilitzem per indicar un espai en blanc.
. a b c d e f g h i j k l m n o
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
p q r s t u v w x y z ¸c ˜n,0t
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Tot nombre 0 ≤x < 32 s’escriu de manera ´unica com la suma d’un o m´es dels nombres
16,8,4,2,1, sense repetir-ne cap. Per trobar aquesta descomposici´o podem restar de x
el m`axim d’aquests nombres que sigui menor que x, i despr´es continuar aplicant el mateix
procediment al resultat. Per exemple,
23 = 16 + 7 = 16 + 4 + 3 = 16 + 4 + 2 + 1,14 = 8 + 6 = 8 + 4 + 2.(1)
Podem pensar, doncs, que tot nombre 0 ≤x < 32 s’escriu de manera ´unica com
x=a4·16 + a3·8 + a2·4 + a1·2 + a0·1,amb a4, a3, a2, a1, a0∈ {0,1}.
Aquests nombres binaris ais´on precisament les xifres de xescrit en base 2, per`o nosaltres
els considerarem com les coordenades d’un vector de (Z2)5:
(a4, a3, a2, a1, a0)∈(Z2)5.
Aix`o permet establir una correspond`encia bijectiva entre els 32 s´ımbols de l’alfabet Ai
els 32 vectors de (Z2)5. A cada s´ımbol li associem el vector que recull les xifres bin`aries del
nombre que etiqueta el s´ımbol. Per exemple, les descomposicions que hem trobat a (1) es
reinterpreten:
w= 23 = 16 + 4 + 2 + 1 w= (1,0,1,1,1),
n= 14 = 8 + 4 + 2 n= (0,1,1,1,0).
Rec´ıprocament, qualsevol vector representa un s´ımbol determinat. Per exemple:
(1,1,0,1,1) 16 + 8 + 2 + 1 = 27 = ¸c.
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pf3
pf4
pf5
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pf9
pfa
pfd

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¡Descarga Criptografía binaria: Encriptación de mensajes usando matriz invertible y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!

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ALGEBRA

Grau en Enginyeria de Sistemes de Telecomunicaci´o

Grau en Enginyeria Electr`onica de Telecomunicaci´o Curs 2010-

Taller 2. Criptografia lineal

Dossier n´um. n= Nom:

1 Codificaci´o de l’alfabet amb vectors de (Z 2 )

Considerem l’alfabet A que formen els 32 s´ımbols seg¨uents etiquetats amb els nombres del

0 al 31. El s´ımbol t l’utilitzem per indicar un espai en blanc.

. a b c d e f g h i j k l m n o

p q r s t u v w x y z ¸c ˜n ,

t

Tot nombre 0 ≤ x < 32 s’escriu de manera ´unica com la suma d’un o m´es dels nombres

16 , 8 , 4 , 2 , 1, sense repetir-ne cap. Per trobar aquesta descomposici´o podem restar de x

el m`axim d’aquests nombres que sigui menor que x, i despr´es continuar aplicant el mateix

procediment al resultat. Per exemple,

Podem pensar, doncs, que tot nombre 0 ≤ x < 32 s’escriu de manera ´unica com

x = a 4 · 16 + a 3 · 8 + a 2 · 4 + a 1 · 2 + a 0 · 1 , amb a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 ∈ { 0 , 1 }.

Aquests nombres binaris ai s´on precisament les xifres de x escrit en base 2, per`o nosaltres

els considerarem com les coordenades d’un vector de (Z 2 )

(a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 ) ∈ (Z 2 )

Aixo permet establir una correspondencia bijectiva entre els 32 s´ımbols de l’alfabet A i

els 32 vectors de (Z 2 )

. A cada s´ımbol li associem el vector que recull les xifres bin`aries del

nombre que etiqueta el s´ımbol. Per exemple, les descomposicions que hem trobat a (1) es

reinterpreten:

w = 23 = 16 + 4 + 2 + 1 w = (1, 0 , 1 , 1 , 1),

n = 14 = 8 + 4 + 2 n = (0, 1 , 1 , 1 , 0).

Rec´ıprocament, qualsevol vector representa un s´ımbol determinat. Per exemple:

(1, 1 , 0 , 1 , 1) 16 + 8 + 2 + 1 = 27 = ¸c.

TASCA 1. (1 punt)

Completeu la taula seg¨uent, que recull els vectors corresponents als diferents s´ımbols de

l’alfabet.

s´ımbol etiqueta vector

a 1 (0, 0 , 0 , 0 , 1)

b 2 (0, 0 , 0 , 1 , 0)

c 3 (0, 0 , 0 , 1 , 1)

d 4 (0, 0 , 1 , 0 , 0)

e 5

f 6

g 7

h 8

i 9

j 10

k 11

l 12

m 13

n 14

o 15

p 16

q 17

r 18

s 19

t 20

u 21

v 22

w 23

x 24

y 25

z 26

¸c 27

n˜ 28

t 31

Desencriptaci´o

L’emissor i el receptor que acorden intercanviar informaci´o encriptada utilitzant aquest

criptosistema s’han de posar d’acord pr`eviament en la clau a utilitzar: una matriu invertible

A ∈ M 5 (Z 2 ) qualsevol.

El receptor pot desencriptar qualsevol missatge calculant la matriu inversa A

de la

matriu A. Evidentment, si multipliquem el vector d’un s´ımbol encriptat per la matriu A

(per l’esquerra) recuperem el vector del s´ımbol original:

A(h) = n =⇒ A

(n) = A

(A(h)) = h.

TASCA 2. (4 = 2+2 punts)

(a) Encripteu el missatge d’acord utilitzant el criptosistema lineal i prenent com a clau

la matriu A que ocupa el lloc n-esim de la Llista de claus de la pagina 8. El nombre

natural n ´es el n´umero del vostre dossier.

(b) Rebeu el criptograma n-essim de la llista de Criptogrames curts de la pagina 11.

Esbrineu el missatge original sabent que que ha estat encriptat utilitzant la mateixa clau

A de l’apartat (a).

Escriviu quin ´es el producte de matrius que cal computar en cada cas, i feu els c`alculs

pertinents amb MAPLE.

3 Seguretat contra els atacs per for¸ca bruta

El fet de desencriptar un criptograma sense con`eixer la clau ´es conegut com a trencament

del criptosistema, i les possibles maneres d’intentar-ho s’anomenen atacs al criptosis-

tema.

Es possible una tal proesa? Una possibilitat sempre present ´es l’anomenat atac per

for¸ca bruta. Consisteix en desencriptar el criptograma provant totes les claus possibles

fins trobar-ne una que produeixi un missatge amb sentit.

Un criptosistema ´es segur contra l’atac per for¸ca bruta si el nombre de claus ´es tan

elevat que fa inviable aquest procediment d’anar provant les claus una per una.

TASCA 3. (4 = 1+3 punts)

(a) Proveu que un Z 2 -espai vectorial de dimensi´o r t´e 2

r

vectors.

(b) Compteu quantes matrius invertibles hi ha a M 5 (Z 2 ) i comproveu que el criptosis-

tema lineal ´es segur contra l’atac per for¸ca bruta.

Indicaci´o. Una matriu A ∈ M 5 (Z 2 ) ´es invertible si i nom´es si les seves columnes formen una

fam´ılia LI de (Z 2 )

5

. Per tant hi ha tantes matrius invertibles a M 5 (Z 2 ) com fam´ılies ordenades

v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 de cinc vectors LI de (Z 2 )

5

Podeu comptar aquestes fam´ılies comptant el nombre de possibilitats per a cada vector un cop

escollits els anteriors, tenint en compte el seg¨uent resultat:

Lema. Imaginem que v 1 ,... , vr ´es una fam´ılia LI. Aleshores, per a qualsevol vector vr+1:

v 1 ,... , vr , vr+1 LI ⇐⇒ vr+1 6 ∈

v 1 ,... , vr

Z 2

TASCA 5. (6 = 4+2 punts)

James Bond envia al quarter general de l’MI6 un SMS encriptat utilitzant el criptosis-

tema lineal. Es tracta de l’n-`esim criptograma de la llista Criptogrames llargs de les

p`agines 12 i 13 on n ´es el vostre n´umero de dossier.

(a) Desencripteu el missatge a partir de la intuici´o que les quatre darreres lletres s´on la

signatura: “bond”.

(b) Trobeu la clau A que s’ha utilitzat per a l’encriptaci´o.

Indicaci´o. Procedint com a la Tasca 4, sabreu com s’encripten els 16 s´ımbols del subespai generat

per b,o,n,d, i podreu reconstruir parcialment el missatge original. Despr´es, endevineu l’encriptaci´o

d’algun altre s´ımbol a partir del significat m´es plausible d’alguna paraula mig desxifrada. Aquest

s´ımbol extra, afegit al quartet b,o,n,d constitueix una base de (Z 2 )

5

. Un cop sabeu com s’encripten

els cinc s´ımbols d’una base, sabeu com s’encripten tots els s´ımbols i heu trencat completament el

criptosistema.

Llista de claus

B

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B

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A

Criptogrames curts

1. bvhiv,,t

2. jejnoko

3. tdpqohqm

4. n˜ra˜nd˜n,

5. bnqabkek

6. vtssmxp

7. kjan˜tnh

8. qeddnn˜gt

9. n˜vpj¸ccu¸c

10. wew’wdt

11. vxt,¸ctkg

12. ¸cpzk¸cyn˜

13. yhmgy˜nb

14. xrdxr,gl

15. yuktguk

16. cwfm,eta

17. rqhyqun˜

18. in˜dxn˜fst

19. c,gl,yog

20. wnoqo’o

21. slstclwn

22. btjigqq

23. iaszpzam

24. cyu’upt

25. urokuhl

26. iqmlo’so

27. jxbn˜ofs,

28. kcnrznth

29. qug¸cfbd

30. be’majc

31. jirgzxvf

32. ikfxn˜jik

33. vnsxalkv

34. ibyskl¸c

35. wjswtdas

36. yz,cybyn

37. winieqit

38. aou˜notio

39. uouh’,hu

40. ixvx,qt

41. ’yfczznj

42. om’rq’k

43. opdwqsyc

44. fthxs¸cum

45. xdl¸c˜n,e¸c

46. lefptbn˜t

47. ,x,’efe

48. gxcancr

49. si¸csgsh

50. q¸cczqgn˜g

51. nmrrbuk

52. gtszm¸cw

53. qjyymztn˜

54. zeitnfcn

55. j,jsjrn˜

56. ˜nqulnept

57. p’fnpgd

58. hocthdx

59. dsuds,az

60. hjceajc

61. ˜nlhfywzy

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63. pikbi’gf

64. o,ja,xnj

65. ezi¸ciri

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69. ¸ccqvqah

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71. c˜nlqkw¸ck

72. gaynuv¸cs

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121. o,ltpn˜kytyc˜nlc˜nlv,’t˜n.whta

122. npudjfxn’uojfwypu’dppnu.n˜djw

123. ¸chapgc¸ce¸clpugcibe,gi,gn˜g.nbe˜n

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