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UNIDAD TRANSVERSAL DE CIENCIAS B ASICAS´ MATERIA: Matem´aticas Financiera Modalidad distancia
ACTIVIDAD VIRTUAL SEMANA 2
Indicaciones generales:
- Formato de entrega: Se debe entregar en forma individual o grupal, seg´un se acuerde con el docente.
- se debe entregar un documento en formato pdf LEGIBLE.
- Si alguna de las condiciones de entrega no se cumple, la nota correspondiente de la actividad ser´a 0. 0.
- Se recomienda realizar el env´ıo de la actividad con suficiente tiempo de anterioridad con el fin de evitar dificultades en el env´ıo.
Esta actividad corresponde al trabajo que se debe desarrollar de forma aut´onoma durante la semana, en la sesi´on del d´ıa s´abado se resolver´an dudas y se realizar´a una evaluaci´on. La nota de la semana corresponde a la nota de esta actividad y a la evaluaci´on de acuerdo con los porcentajes definidos en los lineamientos del Curso. Realice una lectura completa de la actividad y siga las indicaciones.
- OBJETIVOS:
Distinguir y explicar la diferencia entre monto simple y monto compuesto. Comprender y explicar los conceptos de periodo de capitalizaci´on y frecuencia de conversi´on. Plantear y resolver ejemplos de c´alculos de monto compuesto, valor actual, tasa de inter´es y plazo.
- TEMAS A DESARROLLAR DURANTE LA SEMANA:
Monto compuesto Valor actual o presente. Tiempo. Tasa de inter´es.
- INTRODUCCI ´ON Y CONCEPTOS B ´ASICOS: INTERES COMPUESTO´ El dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados con la vida de las personas y de los negocios. Cuando se generan excedentes de efectivo, se ahorran durante un periodo determinado a fin de ganar un inter´es que aumente el capital original disponible; en otras ocasiones, en cambio, se tiene necesidad de recursos financieros durante un tiempo y se debe pagar un inter´es por su uso. En periodos cortos por lo general se utiliza, como ya se vio, el inter´es simple. En periodos largos, sin embargo, se utilizar´a casi exclusivamente el inter´es compuesto.
En el inter´es simple el capital original sobre el que se calculan los intereses permanece sin variaci´on alguna durante todo el tiempo que dura la operaci´on. En el inter´es compuesto, en cambio, los intereses que se generan se suman al capital original en periodos establecidos y, a su vez, van a generar un nuevo inter´es adicional en el siguiente lapso. En este caso se dice que el inter´es se capitaliza y que se est´a en presencia de una operaci´on de inter´es compuesto. En estas operaciones, el capital no es constante a trav´es del tiempo, pues aumenta al final de cada periodo por la adici´on de los inter´es ganados de acuerdo con la tasa convenida.
El per´ıodo convenido para convertir el inter´es en capital se denomina per´ıodo de capitalizaci´on, o per´ıodo de conversi´on. As´ı, por ejemplo, la expresi´on per´ıodo de capitalizaci´on semestral (o per´ıodo de conversi´on semestral) significa que el inter´es ganado por un cierto capital se capitaliza, es decir, se suma al capital al t´ermino de cada semestre. De igual forma, al decir que un per´ıodo de capitalizaci´on es mensual, se est´a indicando que al final de cada mes se capitaliza (se suma al capital) el inter´es
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ganado en el mes. El per´ıodo de capitalizaci´on se define como el intervalo de tiempo al final del cual se capitalizan los intereses generados en dicho intervalo.
El inter´es puede capitalizarse anual, semestral, mensual, semanal o diariamente. El n´umero de veces que el inter´es se capitaliza en un a˜no se conoce como frecuencia de capitalizaci´on, o frecuencia de conversi´on. As´ı, la frecuencia de capitalizaci´on para una inversi´on con capitalizaci´on de intereses cada mes es 12; si la capitalizaci´on de los intereses es bimestral, la frecuencia de capitalizaci´on es 6, y si los intereses se capitalizan trimestralmente, la frecuencia de capitalizaci´on es 4. A continuaci´on se presenta una tabla que muestra las frecuencias de capitalizaci´on m´as comunes.
Si los intereses se capitalizan cada: La frecuencia de capitalizaci´on es: A˜no 1 Semestre 2 Cuatrimestre 3 Trimestre 4 Bimestre 6 Mes 12 Quincena 24 Semana 52 D´ıa 365
En todo problema de inter´es compuesto, al dar la tasa de inter´es se debe mencionar en seguida el per´ıodo de capitalizaci´on. Por ejemplo:
28 % anual capitalizable mensualmente. 10 % anual capitalizable semestralmente. 6 % anual capitalizable trimestralmente. 33 % capitalizable mensualmente^1.
Si en un problema de inter´es compuesto la tasa de inter´es no especifica la forma de capitalizaci´on, se sobreentiende que ´esta es anual.
El per´ıodo de capitalizaci´on es un dato indispensable en los problemas de inter´es compuesto. Al efectuar un c´alculo de inter´es compuesto es necesario que la tasa de inter´es est´e expresada en la misma unidad de tiempo que el per´ıodo de capitalizaci´on; es decir, la tasa debe ser convertida a tasa de inter´es por per´ıodo de capitalizaci´on. Por ejemplo, si en un determinado problema la tasa de inter´es es del 36 % anual capitalizable cada mes, entonces, a fin de poder realizar los c´alculos, ´esta se deber´a convertir a tasa de inter´es mensual:
36 % 12 = 3 % mensual capitalizable cada mes
Otro ejemplo: si el problema establece una tasa de inter´es del 1.5 % quincenal capitalizable cada bimestre, entonces la tasa deber´a convertirse a tasa bimestral:
1 .5 % · 4 = 6 % bimestral capitalizable cada bimestre
(^1) En este caso se entiende que se trata de una tasa de inter´es anual con capitalizaci´on de intereses en forma mensual.
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Mes 4: En este cuarto mes se tiene que:
C = 518985. 36 i = 0. 0125 t = 1
De esta manera, el monto (M 4 ) se deduce de la siguiente manera:
M 4 = 518985.36 + 518985. 36 · 0. 0125 · 1 M 4 = 518985.36 + 6487. 31 M 4 = 525472. 67
Por tanto, el monto en el cuarto mes es de 525472.67. El c´alculo anterior se puede expresar en forma tabular, de la siguiente forma:
Mes Capital al inicio del mes ($)
Inter´es ganado en el mes ($)
Monto compuesto al final del mes ($) 1 500000.00 6250.00 506250. 2 506250.00 6328.13 512578. 3 512578.13 6407.23 518985. 4 518985.36 6487.31 525472.
La tabla anterior recibe el nombre de tabla de capitalizaci´on.
Nota: El inter´es compuesto ganado por la inversi´on se obtiene usando la ecuaci´on:
I = M − C I = 525472. 67 − 500000 I = 25472. 67
Si la inversi´on se hubiera llevado a cabo a inter´es simple, entonces el monto obtenido hubiese sido:
M = C + C · i · t M = C · (1 + i · t)
M = 500000 ·
M = 500000 · (1 + 0. 0125 · 4)
M = 525000
Luego, el inter´es obtenido mediante un inter´es simple, ser´ıa:
I = M − C I = 525000 − 500000 I = 25000
Comparando los dos montos, se observa que el inter´es compuesto es mayor que el inter´es simple. Esto se debe a que en el inter´es compuesto se ganan intereses sobre los intereses capitalizados. Debido a la capitalizaci´on de los intereses, el monto compuesto crece en forma geom´etrica, mientras que el monto simple crece en forma aritm´etica.
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Monto compuesto
El monto compuesto, como ya se ha explicado, es el resultado que se obtiene al sumar al capital original el inter´es compuesto. Si la cantidad de dinero inicial C, conocido como capital inicial, se invierte a una tasa de inter´es i por periodo t = 1, entonces despu´es de un periodo el inter´es es C · i, y la cantidad de dinero total o monto M es:
M = C + C · i M = C(1 + i)
Si se reinvierte este capital obtenido, se tiene que luego de otro periodo, el dinero obtenido es:
M = C(1 + i) + C(1 + i) · i M = C(1 + i)(1 + i) M = C(1 + i)^2
Si se reinvierte nuevamente este capital obtenido, luego de otro periodo el dinero obtenido es:
M = C(1 + i)^2 + C(1 + i)^2 · i M = C(1 + i)^2 (1 + i) M = C(1 + i)^3
De manera an´aloga, despu´es de n periodos la cantidad de dinero que se obtiene es:
M = C(1 + i)n
donde M es el monto compuesto o valor futuro de un capital original C, i es la tasa de inter´es por per´ıodo de capitalizaci´on (expresada en forma decimal) y n es el n´umero total de per´ıodos de capitalizaci´on.
Ejemplo 1: Calcule el monto compuesto y el inter´es compuesto despu´es de 7 a˜nos si se invierten $500000 a una tasa del 12 % con capitalizaci´on trimestral.
Soluci´on: La tasa de inter´es dada es anual y el per´ıodo de capitalizaci´on es trimestral. Por lo tanto, la tasa de inter´es por per´ıodo de capitalizaci´on es:
i =
= 3 % = 0.03 trimestral capitalizable cada trimestre
El tiempo de inversi´on es de 7 a˜nos, esto es, 28 trimestres, ya que un a˜no consta de 4 trimestres. Por lo tanto, hay 28 per´ıodos de capitalizaci´on (n = 28). De esta manera, se tiene que:
M = C(1 + i)n M = 500000(1 + 0.03)^28 M = 1143963. 84
El inter´es compuesto que se gan´o fue de:
I = M − C I = 1143963. 84 − 500000 I = 643963. 84
Por tanto, el monto al final de 7 a˜nos es de $1143963.84 y el inter´es generado es de $643963.84.
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Nota: el monto M se puede obtener combinando los resultados anteriores, de la siguiente forma:
M = C(1 + i 1 )n^1 · (1 + i 2 )n^2 M = 600000(1 + 0.035)^14 · (1 + 0.0105)^18 M = 1172114. 04
Esta f´ormula proporciona el monto compuesto o valor futuro de un capital C cuando la tasa de inter´es es variable. Donde i 1 es la tasa de inter´es por per´ıodo de capitalizaci´on aplicada a n 1 per´ıodos de capitalizaci´on, i 2 es la tasa de inter´es por per´ıodo de capitalizaci´on aplicada a n 2 per´ıodos de capitalizaci´on.
Monto compuesto con periodo de inter´es fraccionario
La f´ormula del monto a inter´es compuesto se deriva del supuesto de que n es entero. En teor´ıa puede aplicarse tambi´en en el caso de que n sea fraccionario.
Ejemplo: Se obtiene un pr´estamo bancario de $15000000 a un plazo de un a˜no y con un inter´es del 12 % convertible trimestralmente. Se decide liquidar el pr´estamo en forma anticipada luego del transcurso de 7 meses y medio. ¿Cu´al es la cantidad de dinero que debe pagarse?
Soluci´on: En este caso, se tiene que:
i =
= 3 % = 0.03 trimestral capitalizable cada trimestre
Como se anticipa el pago del pr´estamo a 7 meses y medio, se debe establecer la equivalencia en trimestres, para esto, se tiene que:
n =
= 2.5 trimestres
De esta manera:
M = C(1 + i)n M = 15000000(1 + 0.03)^2.^5 M = 16150438. 59
Una forma pr´actica de resolverlo es determinar el monto compuesto correspondiente a los periodos completos de conversi´on y aumentar el inter´es simple por el periodo fraccionario de conversi´on a la tasa estipulada.
M = C(1 + i)n^ · (1 + it) M = 15000000(1 + 0.03)^2 · (1 + 0. 03 · 0 .5) M = 16152202. 5
La diferencia resultante, seg´un la tasa de inter´es y del tiempo, puede llegar a ser significativa, por lo que siempre que sea posible se recomienda el empleo de la f´ormula de monto a inter´es compuesto.
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Valor actual o presente
En ocasiones se conoce cu´al es el monto que debe pagarse o que se desea reunir, y se quiere determinar el capital que es necesario invertir en el momento presente a una tasa de inter´es determinada, para llegar a tener dicho monto; se est´a entonces en presencia de un problema denominado de valor actual o valor presente. El valor actual muestra, como su nombre lo indica, cu´al es el valor en un momento determinado de una cantidad que se recibir´a o pagar´a en un tiempo posterior. Para calcularlo se retoma la f´ormula de monto a inter´es compuesto. En la cual se despeja el capital C.
M = C(1 + i)n
C =
M
(1 + i)n C = M · (1 + i)−n
Generalizando, puede decirse que si se conocen tres de las cuatro variables involucradas: monto (M ), capital (C), periodo de capitalizaci´on (tiempo) (n) y tasa de inter´es (i), puede calcularse la cuarta.
Ejemplo: Si Federico invierte en un banco, y desea tener un monto de $5000000 dentro de 3 a˜nos y la tasa de inter´es es del 18 % anual convertible bimestralmente ¿Cu´anto debe depositar en el banco?
Soluci´on: En este caso se tiene que:
i =
= 3 % = 0.03 bimestral capitalizable cada bimestre
Adem´as,
M = 5000000 n = 3 · 6 = 18 bimestres
De esta manera:
C = M · (1 + i)−n C = 5000000 · (1 + 0.03)−^18 C = 2936973. 04
Por tanto, debe depositar $2936973.04 a fin de contar con $5000000 en un plazo de 3 a˜nos, si la tasa de inter´es es de 18 % anual convertible bimestralmente.
Verificaci´on: En este caso, si se toma que C = 2936973.04, se tiene que:
M = C(1 + i)n M = 2936973.04(1 + 0.03)^18 M = 5000000
Nota: Para el desarrollo de las operaciones, se recomienda hacer uso de una calculadora, ya sea de mano u online, por ejemplo: Calculadora Web 2.0; adem´as, se puede hacer uso de una hoja de c´alculo de excel.
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Tasa de inter´es
Para determinar la tasa de inter´es conociendo las otras variables, se despeja en la f´ormula de monto a inter´es compuesto de la siguiente manera:
M = C(1 + i)n M C = (1 + i)n
n
M
C
= n
1 + i
n
M
C
= 1 + i
n
M
C
− 1 = i
Ejemplo: Si se depositan en un banco $2800000 con una tasa de inter´es que se capitalizan semes- tralmente, y se espera disponer de $9000000 en un plazo de 5 a˜nos, ¿cu´al debe ser la tasa de inter´es correspondiente?
Soluci´on: En este caso, se tiene que:
C = 2800000 M = 9000000 n = 5 · 2 = 10 semestres
De esta manera, se tiene que:
i = n
M
C
i = 10
i ≈ 0. 1239
Por tanto, se necesita una tasa del 12.39 % semestral o del 24.78 % anual (nominal).
Verificaci´on: En este caso, si se toma que i ≈ 0 .1239, se tiene que:
M = C(1 + i)n M = 2800000(1 + 0.1239)^10 M = 9003984. 6
En este caso, se observa que el valor NO es igual a $9000000, esto se debe porque se aproximo el valor de i, entre mayor sea el n´umero de decimales que se toman, el valor del monto se aproxima al valor real.
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4. MATERIAL DE APOYO
4.1 Lecturas complementarias Lectura 1: MATEM ATICAS FINANCIERAS´ Lectura 2: CAP´ITULO II INTERES COMPUESTO´
4.2 V´ıdeos V´ıdeo 1: INTERES COMPUESTO - C´´ alculo y conceptos b´asicos V´ıdeo 2: ¿Qu´e es el inter´es compuesto?
4.3 Libro Gu´ıa Como material de apoyo se propone el cap´ıtulo 3 del libro Matem´aticas financieras aplicadas de Jhonny de Jes´us Meza Orozco de la editorial Ecoe Ediciones p´aginas 55 a la 86. Para acceder al material de apoyo realice los siguientes pasos: Paso 1: Ingrese a la biblioteca virtual http://biblioteca.uniminuto.edu/. Paso 2: Haga click en la pesta˜na libros Electr´onicos. Paso 3: Seleccione la editorial del libro que desea. Paso 4: Ingrese el correo @uniminuto.edu.co y la clave. Paso 5: En buscador escriba el nombre del curso o del libro que desea. Luego presione buscar.
- ACTIVIDAD: La presente actividad est´a compuesta de tres ´ıtems y cada uno de estos tiene un valor porcentual sobre la nota final del taller, dicho porcentaje est´a dividido de la siguiente forma: la primera parte tiene un valor porcentual del 40 %, la segunda de un 10 % y la parte final de un 50 %.
Parte 1 (Valor 40 %) (Valor 40 %) Mediante un mapa conceptual, presente las caracter´ısticas y diferencias de los temas tratados en esta gu´ıa de trabajo. Para esto, puede hacer uso de alguna herramienta virtual, por ejemplo: Canva, Miro, Mindmeister, Cmap Cloud o Mindomo. Parte 2 (Valor 10 %) Realice dos ejemplos de cada uno de los temas propuestos en esta gu´ıa de trabajo. En estos ejemplos, proponga y solucione algunas situaciones problema. Parte 3 (Valor 50 %) Resolver los siguientes ejercicios:
5.1) Se depositan $50000 en un banco a una tasa de inter´es del 18 % anual capitalizable mensualmente. ¿Cu´al ser´a el monto acumulado en 12 a˜nos?
5.2) Se depositan en una caja de ahorros $450000 a una tasa de inter´es de 4.8 % capitalizable men- sualmente. a) ¿Cu´al ser´a el monto acumulado a inter´es compuesto en un periodo de nueve meses? b) Suponiendo que la caja de ahorros preste ese mismo dinero con una tasa de inter´es de 30 % anual capitalizable mensualmente, ¿cu´al ser´ıa el pago que se debe efectuar al cabo de los mismos 9 meses? 5.3) Qu´e cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de pr´estamo si ha firmado un documento por $950000 que incluye capital e intereses al 24 % convertible trimestralmente, y tiene venci- miento en 21 meses?
