Taller Repaso DIseño Vial, Apuntes de Diseño

¡Descarga Taller Repaso DIseño Vial y más Apuntes en PDF de Diseño solo en Docsity!

15

-

sept.

-

22

1

REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS DE

GEOMETRÍA Y TOPOGRAFÍA

• GONZALO PÉREZ BUITRAGO

• Ingeniero en Transporte y Vías, UPTC.
• Especialista y Magíster en Vías Terrestres UNICAUCA

15

-

sept.

-

22

2

FUNCIONES GEOMÉTRICAS Y TRIGONOMÉTRICAS

𝟐

𝟐

𝟐

TEOREMA DE PITÁGORAS

15

-

sept.

-

22

4

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

15

-

sept.

-

22

5

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

15

-

sept.

-

22

7

RELACIONES GEOMÉTRICAS Y TRIGONOMÉTRICAS

LEY DEL COSENO

2

2

2

2

2

2

2

2

2

− 1

2

2

2

− 1

2

2

2

− 1

2

2

2

EN TODO TRIÁNGULO, EL CUADRADO DE LA LONGITUD DE UN LADO ES IGUAL A

LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LAS LONGITUDES DE LOS OTROS DOS LADOS,

MENOS EL DOBLE PRODUCTO DE ESTOS DOS LADOS POR EL COSENO DEL ÁNGULO

QUE FORMAN

15

-

sept.

-

22

8

RELACIONES GEOMÉTRICAS Y TRIGONOMÉTRICAS

LEY DE LA TANGENTE

EN TODO TRIÁNGULO LA DIFERENCIA DE DOS DE SUS LADOS

ES A LA SUMA DE LOS MISMOS LADOS COMO LA TANGENTE

DE LA SEMIDIFERENCIA DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS ES LA

TANGENTE DE LA SEMISUMA DE LOS MISMOS ÁNGULOS

15

-

sept.

-

22

10

DIRECCIÓN DE ALINEAMIENTOS

Todo alineamiento de una poligonal se define como un vector: tiene magnitud (distancia),

Dirección (azimut o rumbo) y sentido (en sentido de avance de la poligonal o en sentido de

retroceso o hacia atrás).

15

-

sept.

-

22

11

CONTRAZIMUT (CAZif) Y CONTRARUMBO (CRBif)

El CONTRAZIMUT de un alineamiento i-f (Caz

i-f

) es el azimut medido en sentido contrario

(Az

f-i

).

𝐢−𝒇

𝒊−𝒇

Si el Az

i-f

≤ 180° se le suman 180°,

pero si es ≥ 180°, se le restan 180°

El CONTRA-RUMBO de un alineamiento

tiene el mismo valor del ángulo de su rumbo,

pero es de cuadrante opuesto

𝐢−𝒇

𝒇−𝒊

15

-

sept.

-

22

13

CÁLCULO DE AZIMUTES DE ALINEAMIENTOS EN POLIGONALES

Se conoce el azimut del alineamiento anterior (i-1, f-1) y el ángulo de deflexión de

derecha D(+) o izquierda D(-) en (i,j):

MEDICIÓN DE ÁNGULOS DE DEFLEXIÓN (Def)

𝐢,𝐟

𝐢−𝟏,𝐟−𝟏

El azimut debe ser un valor (+) entre 0 y 360°. Si no se cumple, entonces en cualquiera de los dos casos, se aplica:

Si 𝑨𝒛

𝐢+𝟏,𝐟+𝟏

es (-) sumarle 360° y si es > 360°, restarle 360°

15

-

sept.

-

22

14

CÁLCULO DE AZIMUTES DE ALINEAMIENTOS EN POLIGONALES

Se conoce el azimut del alineamiento anterior (i-1, f-1) y el ángulo observado de derecha P(+) o

de izquierda N(-) en (i,j):

MEDICIÓN DE ÁNGULOS EN SENTIDO HORARIO O ANTIHORARIO (Ao)

𝑨𝒛

𝐢,𝐣

= 𝑪𝑨𝒛

𝐢− 1 ,𝐟− 1

∓ 𝑨𝒐

1

2

3

4

Az 3 - 4

Az 1 - 2

N

N

N

A 0 (-)

A 0 (+)

Si el Azimut calculado da mayor

a 360° se le restan 360 ° y si da

negativo se le suman 360 °

El Azimut del alineamiento es igual al

Contrazimut del alineamiento anterior y se

le suma algebraicamente el ángulo

observado en su punto inicial.

15

-

sept.

-

22

16

CÁLCULO DE DISTANCIAS Y DIRECCIONES DE ALINEAMIENTOS

Si se conocen las coordenadas de dos puntos de un alineamiento (i,f). Se calcula la diferencia

de coordenadas de latitud o NORTE y longitud ESTE, y se aplica Pitágoras para el cálculo de la

distancia y la función arco tangente para el valor del rumbo.

∆𝑵

𝒇−𝒊

= 𝑵

𝒇

− 𝑵

𝒊

f−𝒊

𝒇

𝒊

𝒊−𝒇

f−𝑖

2

f−𝑖

2 𝑹𝒃

𝒊−𝒇

− 1

f−𝑖

f−𝑖

(G°,M ‘,S ”)

Cuadrante :

Si ∆𝑵

𝒇−𝒊

es (+) “N”, y si es (-) “S”.

Si ∆𝑬

𝒇−𝒊

es (+) “E”, y si es (-) “W”.

f−𝒊

𝐟−𝒊

𝒇

𝒇

𝒊

𝒊

i

f

CONOCIDO EL RUMBO Y SU CUADRANTE, SE CALCULA EL AZIMUT

RESPECTIVO

15

-

sept.

-

22

17

ECUACIÓN DE UNA LÍNEA RECTA

Se conocen las coordenadas de dos puntos

(i, f) sobre la recta

𝑻𝒂𝒏 𝜶 = 𝒎 =

𝒀

𝑓

− 𝒀

𝒊

𝑿

𝒇

− 𝑿

𝒊

𝒀 ቁ

𝒇

− 𝒀

𝒊

= 𝒎 ∗ ( 𝑿

𝒇

− 𝑿

𝒊

𝒇

𝒊

𝒇

𝒊

𝒀 = 𝒂 + 𝒎 ∗ 𝑿

Xi

𝒀 ቁ

𝒑

= 𝒀

𝒊

• 𝒎 ∗ ( 𝑿

𝒑

− 𝑿

𝒊

Y

X

f

i

Yi

Yf

(^0) Xf

p Yp

Xp

15

-

sept.

-

22

19

INTERSECCIÓN DE RECTAS

Ecuación Recta 1: 𝑬

𝒊

1

1

𝒊

1

Ecuación Recta 2:

Igualando las dos ecuaciones y despejando Ni:

𝒊

2

2

𝒊

2

𝒊

2

1

1

1

2

2

1

2

Para calcular el Valor de E

i

se remplaza el valor N

i

calculado en

cualquiera de las dos ecuaciones de las rectas que se

interceptan. Debe dar el mismo valor.

N

E

I

E (^1) Ei

Ni

N 2

N 1

Se conocen las coordenadas de un punto y su azimut de dos

rectas ( 1 y 2 ) que se cruzan y se pide hallar las coordenadas de

su punto de intersección (I)

15

-

sept.

-

22

20

INTERSECCIÓN DE RECTAS

También se puede hallar la posición del punto

de intersección de las dos rectas, solucionando

el triángulo que se forma entre los puntos de

coordenadas conocidas ( 1 y 2 ) de las rectas y el

punto de intersección de ellas (I). Se calcula la

distancia y azimut de la línea entre los dos

puntos conocidos.

Con los azimutes de las líneas que llegan a cada

punto se calculan los ángulos internos del

triángulo y luego se aplica la ley de los senos

para calcular los lados faltantes del triángulo y

finalmente se calculan las coordenadas del

punto de intersección, a partir de las

coordenadas de cada punto conocido.

N

E

I

E (^1) Ei

Ni

N 2

N 1

𝜶

𝜷

𝜸

De cada línea se conocen las coordenadas

de un punto sobre ellas y su azimut)