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Una serie de ejercicios resueltos sobre la línea recta y las secciones cónicas (círculo, parábola e hipérbola). Se explica paso a paso cómo determinar la ecuación de una línea recta, la ecuación canónica de una circunferencia, la ecuación general de una hipérbola y las coordenadas del centro, vértices, focos y asíntotas de cada una de estas figuras geométricas. El documento también incluye ejemplos de aplicación de la geometría analítica en situaciones reales.
Tipo: Ejercicios
1 / 18
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Tarea 4 - Línea recta y secciones cónicas - Cuestionario de evaluación
Presentado al tutor (a):
Entregado por la estudiante:
Erika Giselle Osorio Gómez
Grupo: 301301A_
In this introduction, the equations and properties of straight lines, circles, parabolas, and
hyperbolas are presented in detail, as well as the methods for calculating their key
characteristics.
Equations of Straight Lines:
We begin our journey with the equations of straight lines, one of the most basic yet essential
concepts in analytic geometry. The point-slope equations, taking the form 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏,
where 𝑚 is the slope and 𝑏 is the y-intercept, are particularly useful for describing straight
lines. Additionally, we will learn about equations of parallel and perpendicular lines, which
allow us to relate different straight lines on a plane.
Canonical Equations of the Circle:
Moving on to curves, we will explore circles and their canonical equations. These equations
enable us to describe circles accurately through the algebraic relationship between their
coordinates. We will also examine how to calculate the coordinates of the center, vertices,
and foci of a circle, crucial elements for understanding its position and size on a Cartesian
plane.
2
2
2
Canonical Equations of the Parabola:
The parabola, a curve with significant applications in physics and engineering, has canonical
equations that allow us to understand its shape and position. We will explore how to find
the vertex, focus, and directrix of a parabola, as well as understand how these
characteristics influence its geometric behavior.
(y − k )
2
= 4p(x − h)
Canonical Equations of the Hyperbola:
Finally, we delve into the canonical equations of the hyperbola, a curve with unique
properties and applications in areas such as astronomy and optics. We will learn how to find
the coordinates of the center, vertices, foci, and asymptotes of a hyperbola, enabling us to
visualize and understand its shape and behavior on a Cartesian plane.
(y − k)
2
2
(x − h)
2
2
1
2
𝑐
𝑐
𝐶
𝐶
iii. Determinar la ecuación perpendicular a la ecuación de la línea recta entre
los puntos A y B que pasa por el punto C:
La pendiente de la recta perpendicular se calcula a través de la relación que dicta que:
1
2
Por lo que se calcula la pendiente de la ecuación perpendicular a la recta AB.
2
1
𝑐
𝑐
Sustituyendo (𝑥 𝐶
𝐶
Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en
GeoGebra:
2
2
Desarrollo del ejercicio 2: La circunferencia y la elipse.
2
Completemos el cuadrado sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente de
4
2
2
2
2
2
Completemos el cuadrado sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente de
𝑦 que es ( 6 / 2 )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Esta es la ecuación canónica de la circunferencia.
Al tratarse de una circunferencia, el centro se encuentra en (ℎ, 𝑘), donde ℎ y 𝑘 son las
coordenadas del centro. Comparando con la forma general de la ecuación de la circunferencia
2
2
2
, identificamos que ℎ = 2 𝑦 𝑘 = − 3 y 𝑟 = 5
Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en
GeoGebra:
Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del ejercicio 2: La circunferencia y la
elipse.
i. Paso a paso para llegar a la ecuación canónica:
Completemos el cuadrado sumando y restando el cuadrado de la mitad del
coeficiente de x y 𝑦, luego se resuelven las ecuaciones y se llega a que la
ecuación canónica es:
2
2
2
2
ii. Coordenadas del centro:
Comparando la ecuación canónica (𝑥 − 2 )
2
2
= 25 con la forma estándar, vemos que el centro
tiene coordenadas ℎ = 2 , 𝑘 = − 3.
1
1
2
1
1
1
2
2
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en
GeoGebra:
Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del Ejercicio 3: La hipérbola.
La ecuación canónica es:
(y − 5 )
2
2
(x − (− 1 ))
2
2
Los valores de los parámetros son:
2
2
2
Centro: (ℎ, 𝑘) = (− 1 , 5 )
Vértices:
1
1
2
1
Focos
1
1
2
2
Ecuaciones de las asíntotas
𝟏
Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del Ejercicio 4: La parábola.
Entonces, las coordenadas del centro son (− 2 ; 5 ), las del vértice también (− 2 ; 5 ), las del
foco (−
5
2
; 5 ) y la ecuación de la directriz es 𝑥 = −
3
2
Ejercicio 5: Ejercicio de aplicación Geometría Analítica (video)
2
2
Desarrollo del Ejercicio 5: Ejercicio de aplicación Geometría Analítica (video)
Para determinar la posición media entre los pueblos, es necesario presentar la ecuación del problema
en una forma canónica de la hipérbola horizontal, la cual es:
(x − h)
2
2
(y − k)
2
2
Comparando con la ecuación dada:
2
2
La ecuación en la forma estándar:
2
2
2
2
Podemos identificar que:
2
2
y A partir de esta forma, podemos encontrar las coordenadas del centro y los vértices.
Respuesta: Las coordenadas del punto medio entre los pueblos es (x= 12 ; y=8).
𝑏
2
< 𝑎
2
1
1
2
2
Respuesta: Las coordenadas de los vértices de la hipérbole son: 𝑉
1
(𝑥 = 2 ; 𝑦 = 8 ) y
2
Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del Ejercicio 5: Ejercicio de aplicación
Geometría Analítica (video)
Respuesta: Las coordenadas del punto medio entre los pueblos es (x= 12 ; y=8).
Respuesta: Las coordenadas de los vértices de la hipérbole son: 𝑉
1
(𝑥 = 2 ; 𝑦 = 8 ) y
2
Evento: Flisol UNAD Bogotá 2024 – ECBTI
