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FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AÑO: 2021 PERÍODO: PRIMER TÉRMINO
MATERIA:
Cálculo de una variable
PROFESOR:
EVALUACIÓN: PRIMERA FECHA: 05 /julio/20 21 Tema # 1
1. (5 PUNTOS) Justificando su respuesta, califique la siguiente proposición como VERDADERA o FALSA. Demuéstrela en caso de ser VERDADERA, o proporcione un contraejemplo en caso de ser FALSA. “Si 𝒇: ℝ ↦ ℝ es una función par, entonces 𝒇 es continua en ℝ .” Solución: A continuación se muestra un posible contraejemplo que evidencia que la proposición es FALSA. Considere la función por tramos 𝑓 definida por: 𝑓 𝑥 =
Nótese que ∀𝑥 ∈ ℝ , 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥. Por lo que, 𝑓 cumple con la definición de una función par. La representación gráfica de 𝑓 en el plano cartesiano es: x y -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Observe que 𝑓 es discontinua en 𝑥 = 0 , ya que lim 4 → 6
La proposición compuesta dada, tiene a la condicional como operador lógico de enlace entre dos proposiciones simples, y en este caso, se tiene que: 𝑓 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟 BCDEFECDG
JFKLG
∴ La proposición es FALSA.
2. (5 PUNTOS) Justificando su respuesta, califique la siguiente proposición como VERDADERA o FALSA. Demuéstrela en caso de ser VERDADERA, o proporcione un contraejemplo en caso de ser FALSA. “Si 𝒇: ℝ ↦ ℝ es una función impar, entonces 𝒇 es continua en ℝ .” Solución: A continuación se muestra un posible contraejemplo que evidencia que la proposición es FALSA. Considere la función por tramos 𝑓 definida por: 𝑓 𝑥 =
Nótese que ∀𝑥 ∈ ℝ , 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥. Por lo que, 𝑓 cumple con la definición de una función impar. La representación gráfica de 𝑓 en el plano cartesiano es: Observe que 𝑓 es discontinua en 𝑥 = 0 , ya que lim 4 → 6 R^ 𝑓 𝑥 ≠ lim 4 → 6 S^
x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Se puede concluir que la función 𝑔 es continua en ℝ. La proposición compuesta dada, tiene a la condicional como operador lógico de enlace entre dos proposiciones simples, y en este caso, se tiene que: 𝑔 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 ℝ BCDEFECDG
JFKLG
∴ La proposición es FALSA.
4. (5 PUNTOS) Justificando su respuesta, califique la siguiente proposición como VERDADERA o FALSA. Demuéstrela en caso de ser VERDADERA, o proporcione un contraejemplo en caso de ser FALSA. “Sea la función 𝒇: ℝ ↦ ℝ tal que 𝐥𝐢𝐦 𝒙 → 𝟏S^
entonces 𝐥𝐢𝐦 𝒙 → 𝟏R^
Solución: A continuación se muestra un posible contraejemplo que evidencia que la proposición es FALSA. Considere la función por tramos 𝑓 definida por: 𝑓 𝑥 =
La representación gráfica de 𝑓 en el plano cartesiano es: Observe que 𝑓 es discontinua en 𝑥 = 1 , ya que lim 4 → _R^ 𝑓 𝑥 ≠ lim 4 → _S^
La proposición compuesta dada, tiene a la condicional como operador lógico de enlace entre dos proposiciones simples, y en este caso, se tiene que: x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
lim 4 → _S^
BCDEFECDG → lim 4 → _R^
JFKLG
∴ La proposición es FALSA.
5. ( 5 PUNTOS) Justificando su respuesta, califique la siguiente proposición como VERDADERA o FALSA. Demuéstrela en caso de ser VERDADERA, o proporcione un contraejemplo en caso de ser FALSA. “Sea la función 𝒇: ℝ ↦ ℝ tal que 𝐥𝐢𝐦 𝒙 → 𝟏R^
entonces 𝐥𝐢𝐦 𝒙 → 𝟏S^
Solución: A continuación se muestra un posible contraejemplo que evidencia que la proposición es FALSA. Considere la función por tramos 𝑓 definida por: 𝑓 𝑥 =
La representación gráfica de 𝑓 en el plano cartesiano es: Observe que 𝑓 es discontinua en 𝑥 = 1 , ya que lim 4 → _R^ 𝑓 𝑥 ≠ lim 4 → _S^
La proposición compuesta dada, tiene a la condicional como operador lógico de enlace entre dos proposiciones simples, y en este caso, se tiene que: lim 4 → _R^
BCDEFECDG → lim 4 → _S^
JFKLG
∴ La proposición es FALSA. x y -3 -2 -1 0 1 2 3 4
7. (6 PUNTOS)
Suponga que la cantidad de unidades 𝑼 , de cierto producto en inventario, disminuye con el tiempo 𝒕 y está regida por la siguiente expresión: 𝑼 𝒕 = 𝟐𝟎 𝟓 −
𝒕 + 𝟐 𝟐^
Determine cuál es el valor límite de la cantidad de unidades 𝑼 𝒕 , a través del tiempo, a la cual se podría llegar con este inventario. Solución: Se necesita calcular el límite de la cantidad de unidades 𝑈 cuando 𝑡 → +∞: lim l → mn 𝑈 𝑡 = lim l → mn
𝑡u 𝑡 + 2 u lim l → mn 𝑈 𝑡 = 20 5 − lim l → mn 𝑡u 𝑡 + 2 u lim l → mn 𝑈 𝑡 = 20 5 − lim l → mn
u lim l → mn
1 + 0 u^
lim l → mn
La cantidad de unidades a la que se podría llegar con este inventario es 80.
8. (6 PUNTOS) Suponga que la cantidad 𝑪 , de personas que se contagian con un virus, aumenta con el tiempo 𝒕 y está regida por la siguiente expresión: 𝑪 𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 +
𝟐 + 𝒆y^ 𝒕^
Determine cuál es el valor límite de la cantidad de personas 𝑪 𝒕 , a través del tiempo, que se podrían contagiar con este virus. Solución: Se necesita calcular el límite de la cantidad de personas 𝐶 cuando 𝑡 → +∞:
lim l → mn 𝐶 𝑡 = lim l → mn
2 + 𝑒yl lim l → mn 𝐶 𝑡 = 100 000 1 + 7 lim l → mn
2 + 𝑒yl lim l → mn
2 + 𝑒yn lim l → mn
lim l → mn
La cantidad de personas que se podrían contagiar con este virus es 450 000.
9. (6 PUNTOS) Suponga que el porcentaje 𝑷 , de conocimiento de los seres humanos, disminuye en el tiempo 𝒕 después de haberlo aprendido y está regido por la siguiente expresión: 𝑷 𝒕 = 𝑸 + 𝟏𝟎𝟎 − 𝑸 𝒆y^ 𝟎.𝟕𝒕^ ; 𝒕 ≥ 𝟎 Si 𝑸 es el porcentaje de conocimiento que nunca olvidaremos, determine cuál es el valor límite del porcentaje 𝑷 𝒕 , a través del tiempo, si 𝑸 = 𝟔𝟎. Solución: Se necesita calcular el límite de la cantidad de personas 𝐶 cuando 𝑡 → +∞: lim l → mn 𝑃 𝑡 = lim l → mn 𝑄 + 100 − 𝑄 𝑒y^6 .l lim l → mn 𝑃 𝑡 = lim l → mn 60 + 40 𝑒y^6 .l lim l → mn 𝑃 𝑡 = 60 + 40 lim l → mn 𝑒y^6 .l lim l → mn 𝑃 𝑡 = 60 + 40 𝑒yn^ = 60 + 40 0 lim l → mn
Cuando 𝑄 = 60 , el porcentaje de conocimiento 𝑃 al que se llegaría es del 60%.
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AÑO: 2021 PERÍODO: PRIMER TÉRMINO
MATERIA:
Cálculo de una variable
PROFESOR:
EVALUACIÓN: PRIMERA FECHA: 05 /julio/202 1 Tema # 3
11. (6 PUNTOS) Dada la función 𝒇: ℝm^ ↦ ℝ tal que: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐𝒍𝒏 𝒙 − 𝟏 Verifique si se cumple la hipótesis del TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS en el intervalo 𝟏, 𝒆. En caso de cumplirse, compruebe que existe al menos un valor de 𝒄 entre 𝟏 y 𝒆 , tal que 𝒇 𝒄 = 𝟎. Considere que 𝒆𝟐^ ≈ 𝟕. 𝟑𝟗. Solución: El enunciado del TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO es el siguiente: “Sea 𝑓 una función definida en 𝑎, 𝑏 y sea 𝑊 un número entre 𝑓 𝑎 y 𝑓 𝑏. Si 𝑓 es continua en 𝑎, 𝑏 , entonces existe al menos un número 𝑐 entre 𝑎 y 𝑏 tal que 𝑓 𝑐 = 𝑊 ”. Puesto que: - 𝑦 = 𝑥u^ es una función continua para todo número real. - 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 es una función continua para todo número real positivo. - 𝑦 = 𝑥u𝑙𝑛 𝑥 también es continua para todo número real positivo, porque es la multiplicación de dos funciones continuas en ese conjunto de valores. - 𝑦 = 1 es una función continua para todo número real. Se infiere que 𝑓 𝑥 = 𝑥u𝑙𝑛 𝑥 − 1 también es continua para todo número real positivo, porque es la resta de dos funciones continuas en ese conjunto de valores. Esto es, la función 𝑓 cumple con el antecedente del teorema y se lo puede aplicar. Para este caso, 𝑎 = 1 , 𝑏 = 𝑒 y 𝑊 = 0. Dado que 1 , 𝑒 es el intervalo de análisis de la función, se concluye que ésta se encuentra también definida y es continua en ese intervalo, y podemos evaluarla en los extremos de dicho intervalo: 𝑓 1 = 1 u^ 𝑙𝑛 1 − 1 = 1 0 − 1 = − 1 𝑓 𝑒 = 𝑒u^ 𝑙𝑛 𝑒 − 1 ≈ 7. 39 1 − 1 ≈ 7. 39 − 1 ≈ 6. 39
Como sabemos que 𝑊 = 0 es un número tal que − 1 < 𝑊 < 6. 39 y se cumplen todas las condiciones del teorema, se garantiza que: ∃𝑐 ∈ 1 , 𝑒 / 𝑓 𝑐 = 0
12. (6 PUNTOS) Dada la función 𝒇: ℝ ↦ ℝ tal que: 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝒔𝒆𝒏
Verifique si se cumple la hipótesis del TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS en el intervalo 𝟏, 𝟑. En caso de cumplirse, compruebe que existe al menos un valor de 𝒄 entre 𝟏 y 𝟑 , tal que 𝒇 𝒄 = 𝟎. Solución: El enunciado del TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO es el siguiente: “Sea 𝑓 una función definida en 𝑎, 𝑏 y sea 𝑊 un número entre 𝑓 𝑎 y 𝑓 𝑏. Si 𝑓 es continua en 𝑎, 𝑏 , entonces existe al menos un número 𝑐 entre 𝑎 y 𝑏 tal que 𝑓 𝑐 = 𝑊 ”. Puesto que:
- 𝑦 = 𝑥 es una función continua para todo número real.
- 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 u 𝑥 es una función continua para todo número real.
- 𝑦 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 u 𝑥 también es continua para todo número real, porque es la multiplicación de dos funciones continuas.
- 𝑦 = _ es una función continua para todo número real. Se infiere que 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 u
_ también es continua para todo número real, porque es la suma de dos funciones continuas. Esto es, la función 𝑓 cumple con el antecedente del teorema y se lo puede aplicar. Para este caso, 𝑎 = 1 , 𝑏 = 3 y 𝑊 = 0. Dado que 1 , 3 es el intervalo de análisis de la función, se concluye que ésta se encuentra también definida y es continua en ese intervalo, y podemos evaluarla en los extremos de dicho intervalo: 𝑓 1 = 1 𝑠𝑒𝑛
14. (6 PUNTOS)
Dada la función 𝒇: ℝ ↦ ℝ tal que: 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝒆y^ 𝒙^ −
Verifique si se cumple la hipótesis del TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS en el intervalo 𝟎, 𝟏. En caso de cumplirse, compruebe que existe al menos un valor de 𝒄 entre 𝟎 y 𝟏 , tal que 𝒇 𝒄 = 𝟎. Considere que 𝒆y𝟏^ ≈ 𝟎. 𝟑𝟕. Solución: El enunciado del TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO es el siguiente: “Sea 𝑓 una función definida en 𝑎, 𝑏 y sea 𝑊 un número entre 𝑓 𝑎 y 𝑓 𝑏. Si 𝑓 es continua en 𝑎, 𝑏 , entonces existe al menos un número 𝑐 entre 𝑎 y 𝑏 tal que 𝑓 𝑐 = 𝑊 ”. Puesto que:
- 𝑦 = 𝑥 es una función continua para todo número real.
- 𝑦 = 𝑒y^4 es una función continua para todo número real.
- 𝑦 = 𝑥 𝑒y^4 también es continua para todo número real, porque es la multiplicación de dos funciones continuas.
- 𝑦 = _ es una función continua para todo número real. Se infiere que 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒y^4 − _ también es continua para todo número real, porque es la resta de dos funciones continuas. Esto es, la función 𝑓 cumple con el antecedente del teorema y se lo puede aplicar. Para este caso, 𝑎 = 0 , 𝑏 = 1 y 𝑊 = 0. Dado que 0 , 1 es el intervalo de análisis de la función, se concluye que ésta se encuentra también definida y es continua en ese intervalo, y podemos evaluarla en los extremos de dicho intervalo: 𝑓 0 = 0 𝑒^6 −
𝑓 1 = 1 𝑒y_^ −
Como sabemos que 𝑊 = 0 es un número tal que − 0. 25 < 𝑊 < 0. 12 y se cumplen todas las condiciones del teorema, se garantiza que: ∃𝑐 ∈ 0 , 1 / 𝑓 𝑐 = 0
15. (6 PUNTOS)
Dada la función 𝒇: ℝ ↦ ℝ tal que: 𝒇 𝒙 =
Verifique si se cumple la hipótesis del TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS en el intervalo 𝟎, 𝟏. En caso de cumplirse, compruebe que existe al menos un valor de 𝒄 entre 𝟎 y 𝟏 , tal que 𝒇 𝒄 = 𝟎. Considere que 𝒆 ≈ 𝟐. 𝟕𝟐. Solución: El enunciado del TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO es el siguiente: “Sea 𝑓 una función definida en 𝑎, 𝑏 y sea 𝑊 un número entre 𝑓 𝑎 y 𝑓 𝑏. Si 𝑓 es continua en 𝑎, 𝑏 , entonces existe al menos un número 𝑐 entre 𝑎 y 𝑏 tal que 𝑓 𝑐 = 𝑊 ”. Puesto que:
- 𝑦 = _ u es una función continua para todo número real.
- 𝑦 = 𝑥 es una función continua para todo número real.
- 𝑦 = 𝑒^4 es una función continua para todo número real.
- 𝑦 = 𝑥 𝑒^4 también es continua para todo número real, porque es la multiplicación de dos funciones continuas. Se infiere que 𝑓 𝑥 = _ u − 𝑥 𝑒^4 también es continua para todo número real, porque es la resta de dos funciones continuas. Esto es, la función 𝑓 cumple con el antecedente del teorema y se lo puede aplicar. Para este caso, 𝑎 = 0 , 𝑏 = 1 y 𝑊 = 0. Dado que 0 , 1 es el intervalo de análisis de la función, se concluye que ésta se encuentra también definida y es continua en ese intervalo, y podemos evaluarla en los extremos de dicho intervalo: 𝑓 0 =
− 0 𝑒^6 = 0. 5 − 0 = 0. 5
− 1 𝑒_^ ≈ 0. 5 − 2. 72 ≈ − 2. 22
Como sabemos que 𝑊 = 0 es un número tal que − 2. 22 < 𝑊 < 0. 5 y se cumplen todas las condiciones del teorema, se garantiza que: ∃𝑐 ∈ 0 , 1 / 𝑓 𝑐 = 0
La pendiente 𝑚 de la recta tangente a 𝑓 en 𝑥 6 , se la calcula así: 𝑚 = 𝐷 4 𝑓 𝑥 (^4) ¡y_ = 4 − 1 −
Cuando 𝑥 6 = − 1 : 𝑦 6 = 2 − 1 u^ −
La ecuación de la recta tangente a 𝑓 en el punto 𝑃 6 − 1 , u es: 𝑦 −
17. (8 PUNTOS)
Dada la función 𝒇 𝒙 = 𝟐 𝟑 𝒙 − 𝟑𝒙𝟐^ , ∀𝒙 ∈ ℝ ; aplicando la definición de derivada: 𝑫𝒙 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒕 → 𝒙
Obtenga 𝑫𝒙 𝒇 𝒙 y determine la ecuación de la recta tangente a 𝒇 en 𝒙𝟎 = 𝟏. Solución: Con base en la definición: 𝐷 4 𝑓 𝑥 = lim l → 4
𝑡 − 3 𝑡u^ −
𝑥 − 3 𝑥u 𝑡 − 𝑥 𝐷 4 𝑓 𝑥 = lim l → 4
𝑥 − 3 𝑡u^ − 3 𝑥u 𝑡 − 𝑥 𝐷 4 𝑓 𝑥 = lim l → 4
− lim l → 4 3 𝑡u^ − 3 𝑥u 𝑡 − 𝑥
lim l → 4
− 3 lim l → 4 𝑡u^ − 𝑥u 𝑡 − 𝑥 𝐷 4 𝑓 𝑥 =
lim l → 4 1 − 3 lim l → 4
1 − 3 lim l → 4
La pendiente 𝑚 de la recta tangente a 𝑓 en 𝑥 6 , se la calcula así: 𝑚 = 𝐷 4 𝑓 𝑥 4 ¡_
Cuando 𝑥 6 = 1 : 𝑦 6 =
1 − 3 1 u^ =
La ecuación de la recta tangente a 𝑓 en el punto 𝑃 6 1 , − ¢ es: 𝑦 +
18. (8 PUNTOS)
Dada la función 𝒇 𝒙 = 𝟐 𝒙 − 𝒙 , ∀𝒙 ∈ ℝm^ ; aplicando la definición de derivada: 𝑫𝒙 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒕 → 𝒙
Obtenga 𝑫𝒙 𝒇 𝒙 y determine la ecuación de la recta tangente a 𝒇 en 𝒙𝟎 = 𝟗. Solución: Con base en la definición: 𝐷 4 𝑓 𝑥 = lim l → 4
Solución: Con base en la definición: 𝐷 4 𝑓 𝑥 = lim l → 4
𝐷 4 𝑓 𝑥 = lim l → 4
𝐷 4 𝑓 𝑥 = lim l → 4
− lim l → 4
𝐷 4 𝑓 𝑥 = lim l → 4 1 − 3 lim l → 4
𝐷 4 𝑓 𝑥 = 1 − 3 lim l → 4
𝐷 4 𝑓 𝑥 = 1 − 3 lim l → 4
; ∀𝑥 ∈ ℝm La pendiente 𝑚 de la recta tangente a 𝑓 en 𝑥 6 , se la calcula así: 𝑚 = 𝐷 4 𝑓 𝑥 (^4) ¡ = 1 −
Cuando 𝑥 6 = 4 : 𝑦 6 = 4 − 3 4 = 4 − 6 = − 2 La ecuación de la recta tangente a 𝑓 en el punto 𝑃 6 4 , − 2 es: 𝑦 + 2 =
20. (8 PUNTOS)
Dada la función 𝒇 𝒙 = −𝟑𝒙𝟐^ − 𝟓 𝟐 𝒙 , ∀𝒙 ∈ ℝ ; aplicando la definición de derivada:
𝒕 → 𝒙
Obtenga 𝑫𝒙 𝒇 𝒙 y determine la ecuación de la recta tangente a 𝒇 en 𝒙𝟎 = −𝟏. Solución: Con base en la definición: 𝐷 4 𝑓 𝑥 = lim l → 4 − 3 𝑡u^ −
𝑡 − − 3 𝑥u^ −
𝐷 4 𝑓 𝑥 = lim l → 4 − 3 𝑡u^ − 3 𝑥u^ −
𝐷 4 𝑓 𝑥 = lim l → 4 − 3 𝑡u^ − 3 𝑥u 𝑡 − 𝑥 − lim l → 4
𝐷 4 𝑓 𝑥 = − 3 lim l → 4 𝑡u^ − 𝑥u 𝑡 − 𝑥
lim l → 4
𝐷 4 𝑓 𝑥 = − 3 lim l → 4
lim l → 4
𝐷 4 𝑓 𝑥 = − 3 lim l → 4
La pendiente 𝑚 de la recta tangente a 𝑓 en 𝑥 6 , se la calcula así: 𝑚 = 𝐷 4 𝑓 𝑥 (^4) ¡y_ = − 6 − 1 −
Cuando 𝑥 6 = − 1 : 𝑦 6 = − 3 − 1 u^ −
La ecuación de la recta tangente a 𝑓 en el punto 𝑃 6 − 1 , − _ u es: 𝑦 +
