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Resumen— En el presente documento se desarrollarán
ejercicios referentes al tema de los tipos de señales y la
clasificación de los sistemas.
I. OBJETIVOS
Resolver y simular ejercicios correspondientes a la 1era
Unidad.
II. DESARROLLO DE CONTENIDO
Resolver y documentar los siguientes ejercicios del libro de
Oppenheim, A. Willsky, and H. Nawab, Signals and
Systems, 2ª edición, 1997, Prentice Hall, ISBN # 0-13-
814757-4. (versión en español)
Ejercicio 1.1, pag 57.
Exprese cada uno de los siguientes números complejos en
forma cartesiana (𝒙 + 𝒋𝒚).
𝒋∝
= 𝒓(𝐜𝐨𝐬 ∝ + 𝒋 𝐬𝐢𝐧 ∝); Fórmula que se utilizara para
convertir a forma cartesiana.
a)
𝟏
𝟐
𝒋𝝅
గ
(cos 𝜋 + 𝑗 sin 𝜋)
గ
𝒋𝝅
Respuesta: −
ଵ
ଶ
f) √
𝒋
𝝅
𝟒
గ
ସ
√
2 ቀcos
గ
ସ = √ 2 ቆ
𝒋
𝝅
𝟒 = 𝟏 + 𝒋
Respuesta: 1 + 𝑗
Elaborado por Elvis Bustamante
Ejercicio 1.2, pag 57
Exprese cada uno de los siguientes números complejos en
forma polar (𝐫𝐞
𝐣𝛉
con −𝛑 < 𝛉 ≤ 𝛑)
𝟐
𝟐
ି 𝟏
Fórmulas que se utilizarán para trasformar a forma polar.
a) 5
ଶ
ଶ
𝜃 = tan
ି ଵ
ఏ
𝒋𝟎
Respuesta: 5 𝑒
b)
𝟏
𝟐
√𝟑
𝟐
ଶ
ଶ
𝜃 = tan
ି ଵ
ఏ
𝒋ି
𝝅
𝟑
Respuesta: 𝑒
ି
ഏ
య
Elaborado por Elvis Bustamante
Ejercicio 1.3, pag 57
Determine los valores de 𝐏
ஶ
y 𝐄
ஶ
para cada una de las
siguientes señales.
b) 𝒙
𝟐
𝒋ቀ𝟐𝒕ା
𝝅
𝟒
ቁ
Bustamante Elvis – Guevara Daniel – Tierra Lothar
Departamento de Eléctrica y Electrónica, Universidad de las Fuerzas Armadas,
Sangolquí – Ecuador
NRC: 3651
Tarea 2 de Señales y Sistemas
Se debe hallar el módulo de 𝑥 ଶ
ଶ
(𝑡) = 1 ቀcos
ଶ
Se procede a sacar el módulo de ቀ
√
ଶ
ଶ
√
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
𝟐
Una vez hallado |𝑥
ଶ
(𝑡)|, obtenemos E
ஶ
y P
ஶ
respectivamente.
Donde para señal continua:
E
ஶ
ଶ
ାஶ
ିஶ
P
ஶ
= lim
் →ஶ
ଶ
ା்
ି்
Si |𝑥
ଶ
E
ஶ
ଶ
ାஶ
ିஶ
E
ஶ
ஶ
P
ஶ
= lim
் →ஶ
ଶ
ା்
ି்
P
ஶ
= lim
் →ஶ
P
ஶ
= lim
் →ஶ
P
ஶ
= lim
் →ஶ
ஶ
Respuesta: Energía = ∞, Potencia = 𝟏
f) 𝒙 𝟑
[𝒏] = 𝐜𝐨𝐬 ቀ
𝝅
𝟒
Para señal discreta:
E
ஶ
= lim
ே→ஶ
|𝑥[𝑛]|
ଶ
ାஶ
ୀିஶ
P
ஶ
= lim
ே→ஶ
|𝑥[𝑛]|
ଶ
ାே
ୀିே
Si |𝑥
ଷ
[𝑛]| = cos ቀ
గ
ସ
E
ஶ
= lim
ே→ஶ
ቂcos ቀ
ଶ
ାஶ
ୀିஶ
ஶ
P
ஶ
= lim
ே→ஶ
𝑥[𝑛]
ଶ
ାே
ୀିே
P
ஶ
= lim
ே→ஶ
ቂcos ቀ
ଶ
ାே
ୀିே
Utilizando la identidad trigonométrica:
[cos(𝜃)]
ଶ
1 + cos( 2 𝜃)
Se obtiene:
P
ஶ
= lim
ே→ஶ
1 + cos ቀ
ଶ
ାே
ୀିே
P
ஶ
Respuesta: Energía = ∞, Potencia =
ଵ
ଶ
Elaborado por Elvis Bustamante
Ejercicio 1.4, pag 57
Sea 𝒙[𝒏] una señal con 𝒙[𝒏] = 𝟎 para 𝒏 < −𝟐 y 𝒏 > 𝟒.
Para cada señal mostrada abajo, determine los valores de
n para los cuales se garantiza que es cero.
𝑥[𝑛] = { 0 ; 4 < 𝑛 < −
a) 𝒙[𝒏 − 𝟑]
Respuesta: 𝑥[𝑛 − 3] = 0, para 𝑛 < 1 y 𝑛 > 7
b) 𝒙[𝒏 + 𝟒]
Respuesta: 𝑥[𝑛 + 4] = 0, para 𝑛 < −6 y 𝑛 > 0
Elaborado por Elvis Bustamante
Ejercicio 1.5, pag 57
Sea 𝒙(𝒕) una señal con 𝒙(𝒕) = 𝟎 para 𝒕 < 𝟑. Para cada
señal dada, determine los valores de t para los cuales se
garantiza que es cero.
b) 𝒙(𝟏 − 𝒕) + 𝒙(𝟐 − 𝒕)
Respuesta: 𝑥
= 0, para 𝑡 > −
x (t) y salida y (t) relacionadas por:
sin
a. ¿Es un sistema causal?
El sistema no es causal porque la salida 𝑦(𝑡) depende de
valores futuros, ejemplo:
b. ¿Es un sistema lineal?
ଵ
ଵ
ଵ
(sin(𝑡))
ଶ
ଶ
ଶ
(sin(𝑡))
Sea 𝑥 ଷ
una combinación lineal de 𝑥
ଵ
y 𝑥
ଶ
, esto es:
ଷ
ଵ
ଶ
ଷ
ଷ
(sin (𝑡))
ଵ
ଶ
(𝑡))sin (𝑡)
ଵ
sin (𝑡) + 𝑏𝑥
ଶ
(𝑡)sin (𝑡)
ଷ
ଵ
ଶ
Entonces se puede concluir que el sistema el lineal.
Elaborado por Daniel Guevara
Ejercicio 1.19, pag 59
Para cada una de las siguientes relaciones de entrada-
salida, determine si el correspondiente del sistema es
lineal, invariante en el tiempo o ambos.
a. 𝒚(𝒕) = 𝒕
𝟐
ଵ
ଵ
ଶ
ଵ
(t − 1)
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
(t − 1)
Sea 𝑥 ଷ
(𝑡) una combinación lineal de 𝑥
ଵ
(𝑡) y 𝑥
ଶ
(𝑡), esto es:
ଷ
ଵ
ଶ
a y b son escalares arbitrarios.
ଷ
ଶ
ଷ
ଶ
[𝑎𝑥
ଵ
ଶ
(𝑡)](𝑡 − 1)
ଶ
ଵ
ଶ
ଶ
ଷ
ଵ
ଶ
Entonces se concluye que el sistema es lineal.
Elaborado por Daniel Guevara
Ejercicio 1.21, pag 59
Una señal continua 𝒙(𝒕) se muestra en la figura3. Dibuje
y marque cuidadosamente cada una de las siguientes
señales
Figura 3: Función continua 𝒙
( 𝒕
)
a. 𝒙 ቀ𝟒 −
𝒕
𝟐
ቁ
Figura 4: Función continua 𝑥 ቀ4 −
௧
ଶ
ቁ
En la figura 4 se muestra la señal final, primero se la
desplazo, en segundo lugar se la invirtió y por último se la
escaló.
b. [𝒙(𝒕) + 𝒙(−𝒕)]𝒖(𝒕)]
Figura 5: Función continua
[ 𝒙
( 𝒕
)
( −𝒕
)] 𝒖
( 𝒕
) ]
Elaborado por Daniel Guevara
PROBLEMAS BÁSICOS
Ejercicio 1.22, pag 57
Una señal de tiempo discreto se muestra en la figura 6,
Dibuje cada una se las siguientes señales:
Figura 6: Función en tiempo discreto
a) 𝒙[𝒏 − 𝟒]
Se obtiene la función discreta:
[
]
Restando 4 a la función discreta:
𝑥[𝑛 − 4] =
𝑥[𝑛 − 4] =
Figura 7: Funcion Discreta x[n − 4]
En la figura 7 se puede observar la función discreta
desplazada en un valor de 4 hacia la derecha (rojo)
respecto a la función original (azul).
c) 𝒙[𝟑𝒏]
𝑥[ 3 𝑛] =
[
]
Figura 8: Funcion Discreta x[3n]
En la figura 8 se puede observar la función discreta original
(azul), mientras que la función x [3n] es una reducción (rojo)
de la función discreta original.
Elaborado por Lothar Tierra
Ejercicio 1.23, pag 60
Determine y dibuje las partes pares e impares
representadas en la siguiente figura.
[𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)]
[𝑡 + 2 − 𝑡 + 2] = 2
Figura 12: periodicidad de la función
En la figura anterior se aprecia la función descrita, y se puede
apreciar la periodicidad y el periodo fundamental con un
valor de
గ
ଶ
Elaborado por Lothar Tierra
Ejercicio 1.26, pag 61
Determine si cada una de las siguientes señales discretas
es periódica o no, en caso de serlo encontrar el periodo
fundamental:
b. 𝒙[𝒏] = 𝒄𝒐𝒔 ቀ
𝒏
𝟖
Reemplazando el valor de n+N, en la función discreta:
𝑥[𝑛 + 𝑁] = 𝑐𝑜𝑠 ൬
𝑥[𝑛 + 𝑁] = 𝑐𝑜𝑠 ൬
𝑥[𝑛 + 𝑁] = 𝑐𝑜𝑠
Aparentemente es una función periódica:
Donde m debe ser un valor entero al igual que el periodo
fundamental.
, 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
∴ 𝑥[𝑛]𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎.
Figura 13: función no periódica
c. 𝒙[𝒏] = 𝒄𝒐𝒔 ቀ
𝝅
𝟖
𝟐
Reemplazando el valor de 𝑛 + 𝑁 en la función discreta:
𝑥[𝑛] = 𝑐𝑜𝑠 ቀ
ଶ
𝑥[𝑛] = 𝑐𝑜𝑠
ଶ
ଶ
𝑥[𝑛] = 𝑐𝑜𝑠 ቀ
ଶ
ଶ
𝑥[𝑛] ≠ 𝑥[𝑛 + 𝑁]
∴ 𝑥[𝑛]𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎.
Figura 14: función no periódica
Elaborado por Lothar Tierra
Ejercicio 1.27, pag. 61
En este capítulo, se presenta una serie de propiedades
generales de los sistemas. En particular un sistema puede
ser o no ser:
(1) Sin memoria
(2) Tiempo Invariante
(3) Lineal
(4) Causal
(5) Estable
Determine cuáles de estas propiedades se mantienen y
cuales no para las señales en tiempo continuo. Justifica
tus respuestas. En cada ejemplo y (t) denota la salida del
sistema y x (t) es la entrada del sistema.
a. 𝒚(𝒕) = 𝒙(𝒕 − 𝟐) + 𝒙(𝟐 − 𝒕)
- Es un sistema con memoria debido a que la salida
no depende de un valor de t instantáneo, como se
puede denotar 𝑡 − 2 ó 2 − 𝑡 hace referencia a una
reacción que ha sucedido hace dos tiempos atrás o
que sucederá en dos tiempos posteriores.
- No es un sistema invariante en el tiempo, porque los
tiempos reemplazados en el sistema no provoca
ningún desplazamiento a la salida.
- Es un sistema lineal, debido a que la entrada es la
suma ponderada de varias señales, por lo que la
salida puede ser la suma ponderada de las respuestas
de cada una de las entradas. En este caso las entradas
son dos 𝑥(𝑡 − 2) + 𝑥(2 − 𝑡).
- No es un sistema causal debido a la entrada 𝑥(2 −
𝑡), lo cual nos indica que depende de valores
futuros.
- Es un sistema estable debido a que las entradas son
de valores limitados y no divergen, por lo tanto, la
señal de salida tampoco diverge.
f. 𝒚
𝒕
𝟑
- Es un sistema con memoria, debido a que t está
dividido por 3 por lo que no produce una reacción
instantánea.
- No es un sistema invariante en el tiempo porque es
función única y no depende de otras, por lo que su
salida no puede ser desplazada sin haberlo hecho
antes su entrada.
- Es un sistema lineal, porque si a la entrada se ingresa
un valor de 0, a la salida también se genera el mismo
valor, debido a que 0/3 = 0.
- No es un sistema causal, por la razón de que el
tiempo se divide para tres, por lo tanto, se estaría
analizando el tiempo actual dividido en tres
porciones anteriores.
- Es un sistema estable por que la entrada es de
valores divergentes por lo que la salida también será
divergente.
Elaborado por Lothar Tierra
Ejercicio 1.28 pag 62
Determine cuáles de las propiedades enumeradas en el
problema 1.27 se mantienen y cuáles no. En cada ejemplo,
y[n] denota la salida del sistema y x[n] es la entrada del
sistema.
g. 𝒚[𝒏] = 𝒙[𝟒𝒏 + 𝟏]
- Es un sistema con memoria debido a que el valor de
la entrada n se ve afectada por un múltiplo de 4 y un
valor de +1, por lo que no es instantánea, sino que
opta por reconocer otros valores que no
corresponden al tiempo actual.
- Es un sistema invariante en el tiempo, porque si la
entrada se encuentra desplazada, la salida hará lo
mismo.
𝑦[𝑛] = 𝑥[4𝑛 + 1]
𝑦[𝑛 + 1] = 𝑥[4(𝑛 + 1) + 1]
𝑦[𝑛 + 1] = 𝑥[4𝑛 + 5]
En el ejemplo anterior se puede denotar que se
desplaza con el valor de 1 a la entrada hacia la
izquierda, y sucede lo mismo con la salida.
- No es un sistema lineal debido a que, si a la entrada
se obtiene un valor nulo, a la salida no se obtiene el
mismo valor sino uno diferente.
𝑦[ 0 ] = 𝑥[4 ∗ 0 + 1] = [ 1 ]
- No es un sistema causal, debido a que la respuesta
depende de valores futuros por el hecho de tener
4 𝑛 + 5, es decir se obtendrán valores a 5 de
distancia.
Elaborado por Lothar Tierra
