16 La integral indefinida
5.
Z
cos xln(sin x)dx =
Z
tln t dt
con t= sin x, dt = cos x dx.
Z
cos xln(sin x)dx =t2
2ln t−1
2
Z
t dt
con u= ln t, du =dt
t, dv =tdt, v =t2
2.
Z
cos xln(sin x)dx =t2
2ln t−t4
4+C=1
4sin2x[2 ln(senx)−1] + C.
1.7.1 Ejercicios
Calcule, mediante integración por partes:
1.
Z
x√x+ 1 dx
2.
Z
x(3x+ 1)−1/2dx
3.
Z
ln(ax)dx
4.
Z
ln(3x+ 2) dx
5.
Z
xln(bx)dx
6.
Z
√xln x dx
7.
Z
x2ln(x2)dx
8.
Z
tan−1x dx
9.
Z
sen−1x dx
10.
Z
x2tan−1x dx
11.
Z
xexp(ax)dx
12.
Z
x2exp(ax)dx
13.
Z
x3exp(x2)dx
14.
Z
exp(ax) cos(bx)dx
15.
Z
exp(ax) sen(bx)dx
16.
Z
sen(ln x)dx
17.
Z
xcos2x dx
18.
Z
tan−1√x dx
Sugerencia: use antes un cambio de variable
apropiado.
19.
Z
sen √ax +b dx
Sugerencia: use antes un cambio de variable
apropiado.
1.8 Integración de funciones racionales
La integración de funciones racionales se realiza generalmente por el método de reducción
a “fracciones parciales”. Cuando el denominador tiene raíces múltiples, la fórmula de Ostro-
gradski permite simplificar el cálculo, reduciéndolo a integrales de fracciones con denomina-
dores con solo raíces simples. Si combinamos los dos métodos, podemos escribir directamente
el resultado con coeficientes por determinar mediante la solución de un sistema lineal de
ecuaciones. Este procedimiento puede ser denominado el de Ostrogradski mejorado.
Una función f:D⊂R→Rde la forma
f(x) = p(x)
q(x),
