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Tarea Sobre Series de Fourier
FIUSAC, Depto de Matemática, Matemática Aplicada 2N
Prof. José Saquimux Nota: Puede resolverlo usando cualquier programa o con papel y lápiz.
Formas de onda periódicas
- Para cada una de las señales siguientes:
a) f (t) = 3 sin 2π · 2 · t − 4 sin 2π · 4 · t + 0,7 sin 2π · 5 · t b) f (t) = 5 + 32 cos(2π · 50 · t + π/8) + 6 cos(2π · 300 · t + π/2)
c) x(t) = 2 sin(
t 100
sin(
t 300
sin(
t 500
Determine; la amplitud, periodo, frecuencia lineal, la frecuencia angular y ángulo de fase de cada uno de sus términos. Determine las componentes fundamental y las armónicas presentes. Determine el período y frecuencia de cada señal. Use un programa de gra cación para gra car 2 períodos completos la señal junto con sus armónicas:
- Determine el periodo de la serie
x(t) =
π 2
π
cos x 12
cos 3x 32
cos 5x 52
y gra car la señal recortada hasta con 6 términos y cada uno de las armónicas.
- Determine el periodo de la serie
x(t) =
π
sin
πt 5
3 π
sin
3 πt 5
5 π
sin
5 πt 5
7 π
sin
7 πt 5
y gra car la señal recortada hasta con 6 términos y cada una de las armónicas.
- Exprese la función dada como una suma de funciones seno, determine su aplitud y án- gulo de fase de cada armónica. (Apóyese de fórmulas trigonométricas, vea formulario de trigonometría)
a) f (t) = 0,5 cos t + 3,2 sin t b) f (t) = 3 cos 3t
- Para las siguientes funciones periódicas, trace las grá cas de al menos tres períodos:
a) f (t) = t^2 , − 1 ≤ t ≤ 1.
b) f (t) =
−t − 2 ≤ t < 0 t 0 ≤ t ≤ 1
- Escriba las expresiones matemáticas para describir las funciones cuyas grá cas se mues- tran a continuación
t
f (t)
a)
b) -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
t
f (t)
Funciones pares e impares
- Determine por inspección si cada una de las funciones es par, impar o ninguna de las dos, y determine si tiene simetría de media onda. Justi que su respuesta.
a).
t t
f (t) f (t)
(i) (ii)
b).
t t
f (t) f (t)
(i) (ii)
c).
- Muestre que (^) Z T
0
cos
2 πmt T
sin
2 πnt T
dt = 0, para todo entero m y n
Series trigonométrica de Fourier
- Considere el espectro de amplitud y de fase de una señal en el tiempo,
Amplitud− 300 − 50 0 50 300
f (Hz)
π/ 8
π/ 2
−π/ 8 −π/ 2
Fase (rad)
f (Hz)
Explicando brevemente, construya la serie nita de Fourier de la señal real en cosenos y trace dos períodos de su grá ca.
- Determine la representación de la serie de Fourier de la función y dibuje su espectro de amplitud.
f (t) =
0 − 5 < t < 0 1 0 < t < 5
- Encuentre la representación de la serie de Fourier de la función con período 2 π.
f (t) =
t^2 0 ≤ t < 0 0 π < t ≤ 2 π
- Encuentre la representación de la serie de Fourier de la función.
f (t) = t^2 + t − π < t < π, período 2 π
- Para la señal, llamada pulso con ancho modulado.
f (t) =
A −m 2 < t < m 2 0 m 2 < t < T − m 2
Donde su período es T y m es el tiempo que se mantiene encendida la señal. Trace la grá ca de la señal, y si se de ne el ciclo de trabajo d, como d = mT , muestre que:
an =
2 A
nπ
sin(nπd)
- Encuentre la representación de la serie de Fourier de la señal de media onda senoiadal recti cada.
f (t) =
A sin(t) 0 ≤ t < T 0 / 2 0 T 0 / 2 ≤ t < T 0
Series de medio rango
- Gra que una extensión periodica apropiada de
f (t) = 3t 0 < t < π
y luego encuentre la representación de su serie de medio rango en coseno.
- Encuentre la representación de la serie de medio rango en coseno de la función
x(t) = sin t
- Encuentre la representación de la serie de medio rango en seno de la función.
f (t) = 2 − t, 0 ≤ t ≤ 2
Teorema de Parseval
- El voltaje r.m.s., vr.m.s. de una forma de onda periódica, v(t), con período T , está dado por
vr.m.s. =
s 1 T
Z T
0
(v(t))^2 dt
Si v(t) tiene coe cientes de Fourier an y bn mostrar, usando el teorema de Parseval muestre que
vr.m.s. =
s 1 4
a^20 +
X^ ∞
n=
a^2 n + b^2 n
Sugerencia. Note que v(t) = a 0 /2 +
P∞
n=1(an^ cos(ωnt) +^ bn^ sin(ωnt)), piense en el tipo de términos que se obtiene al elevar al cuadrado dicha suma in nita, y use propiedades de integrales para dichos términos.
- (Para la serie trigonométrica nita,
f (t) =
cos t − 3 sin 2t +
cos 4t
calcule el valor e caz por de nición y por la fórmula de Parseval.
- (Para estudiantes de EIME). La ecuación que gobierna la carga q en un capacitor en un circuito eléctrico RLC es
q′′^ + 2αq′^ + ω^2 q = ω^2 E
donde α = R/(2L), ω^2 = 1/(LC), R denota la resistencia, C denota la capacitancia, L denota la indunctancia, y E es la fuente de voltage que maneja el circuito. Si E está dado por
E =
X^ ∞
n=−∞
φneinω^0 t
encuentre q(t).
- (Para estudiantes de civil o mecánica). Para determinar la echa o desviación y(x) en una viga uniforme de longitud L simplemente apoyada en x = 0 y x = L, se resuelve la ecuación diferencial,
EI
d^4 y dx^4
w 0 x L
; E, I, w 0 , constantes
Si la carga por unidad de longitud es w(x) = w 0 x/L, 0 < x < L, para resolver la ecuación diferencial de la echa es necesario sustituir la función de la carga w(x) por su serie en senos de medio rango correspondiente, dada por
w(x) =
2 w 0 πL
X^ ∞
n=
(−1)n+ n
sin(nπx)
Determine y(x) resulviendo la ecuación diferencial
EI
d^4 y dx^4
2 w 0 πL
X^ ∞
n=
(−1)n+ n
sin(nπx)
- Otras carreras Elija una de las tres anteriores.
Aplicación OPCIONAL a circuitos eléctricos, (solo para estudiantes de la EIME)
Filtro pasa bajo: Considere el circuito de la Figura siguiente (ver texto de Croft),
vi(t) (^) C (^) vo(t)
R
- Transformando a su representación compleja usado en análisis de circuitos ac, calcule V 0 Vi
= G(jω), en forma cartesiana y polar, suponga RC = 1. Se llama función ganancia en la frecuendia del circuito.
- Calcule |G(jω)| y ∠G(jω)
- Esboce las grá cas de los espectros de amplitud |G(jω)| y fase ∠G(jω), y describa su comportamiento en la frecuecia.
- Usando los establecido en 2. Escriba la amplitud y fase de la ganancia para cada compo- nente armónico, |G(jnω)| y ∠G(jnω) y calcule sus valores numéricos cuando n = 1, 3 , 5 y
- (en ω sustituya ωn)
- Suponga que el voltage de entrada vi(t) es una onda cuadrada con frecuencia angular ω 0 = 1 y amplutd 1 impar. Se puede deducir que su serie de Fourier compleja es
vi(t) =
X^ ∞
n=−∞
nπ
sin(nt), n impar
- Usando la expresión de vi(t) de 5. Obtenga los módulos y ángulos de los coe cientes |Vi(n)| y ∠Vi(n) para n = 1, 3 , 5 y 7
- Como
V 0
Vi
= G(jω), entonces, |V 0 (jωn)| = |G(jnω)||Vi(jωn)|. Usando esta ecuación, calcule |V 0 (jωn)| para n = 1, 3 , 5 y 7
- Puesto que ∠Vi(n) = 0, los ángulos de fase de ∠V 0 (jωn) = ∠G(jωn). Usando este hecho y 7. construya la salida v 0 (t) y trace su grá ca.
Referencias
- Croft A. Croft et al. Engineering Mathematics, A Foundation for Electronic, Electrical, Communications and Systems Engineers. Fourth Edition. Pearson. England. 2013.
- Duy D .G. Duy. Advance Engineering Mathematics with Mathlab. Second Editon. Chap- man & Hall/CRC. 2003.
- Wickert M. Signals & systems for Dummies John Wiley & Sons, Inc. 2013.
m(t)
× ×
H 1 (f ) H 2 (f ) x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) y(t) cos(2π × 20 × 103 t) cos(2π × 25 × 103 t) Oscilador senoidal de 20 kHz Oscilador senoidal de 25 kHz
|M (f )|
− 5 0 5 f kHz
|H 1 (f )| |H 2 (f )|
− (^20 0 20) f kHz − (^20 0 20) f kHz Filtro pasa alto Filtro pasa bajo
Espectro y modulación (Sugerencia: use programas para gra car)
- Gra que el espectro de amplitud |F (ω)| y de fase ϕ(ω) = tan−^1
ImF (ω) ReF (ω)
de F (ω) = 2 1 + 2(ω − 1)j
- Gra que el espectro de amplitud y de fase de la transformada del pulso rectangular
f (t) =
1 |t| ≤ 1 0 |t| > 1 , F(ω) =
2 sin(ω ω (nota: si F(ω) es real, ϕ(ω) = 0 rads cuando F(ω) es positivo, y ϕ(ω) = π rads cuando F(ω) es negativo.
- Si f (t) es el pulso del inciso 2.Como lo realizado en clase, calcule F{f (t) cos(ω 0 t)} y gra que su espectro de amplitud.
- La transformada del pulso f (t) =
t + 1 − 1 < t < 0 1 − t 0 < t < 1 , es F (ω) =
ω^2
(1 − cos ω).
a) Trace la grá ca del espectro de amplitud en la frecuencia en − 2 π ≤ ω ≤ 2 π. b) Escriba una integral (no la calcule) para el pulso que resultaría si la señal f (t) pasara a través de un ltro que elimina todas las frecuencias angulares mayores que 2 π. c) Usando sofware gra que dicha integral y compare con la señal original
Principio de dualidad
- Dado que la transformada de Fourier de f (t) = u(t)e^2 t^ es F (ω) =
(2 + jω)
use el principio
de dualidad para deducir la transformada de
2 + jt
Transformada de funciones especiales
- Dado que F{δ(t + 8)} = ej^8 ω^ encuentre F{ej^8 t} (use el principio de dualidad)
- Calcule F{cos(kt)}, (use fórmula de Euler y trasformada de un fasor rotativo)
Convolución y correlación
- Encuentre la convolución de f (t) =
2 t/ 3 0 ≤ t ≤ 0 0 de otra manera y veri que el teorema de convolución para estas señales.
- La convolución de una señal con ella misma se llama autoconvolución. Encuentre la autoconvolución f ∗ f cuando, f (t) =
1 − 1 ≤ t ≤ 1 0 de otra manera
- Encuentre la correlación del pulso f (t) = 1 para − 1 ≤ t ≤ 1 y cero en otro intervalo, y g(t) = u(t)e−t. Veri que el teorema de correlación para estas funciones.
- Pruebe el teorema de convolución
Transformada inversa
- Use integración directa para encontrar la inversa de la transformada de Fourier F (ω) = iωπ 2
e|ω|.
- Use fracciones parciales para invertir la transformada de Fourier F (ω) =
(1 + iω)(1 + 2iω)
- Use fracciones parciales para invertir la transformada de Fourier F (ω) =
iω (1 + iω)(1 + 2iω)
Ecuaciones diferenciales
- Resuelva y′^ + 2y = e−t
- Resuelva Ry′^ + y/C = δ(t)
- Resuelva y′′^ + 4y′^ + 3y = δ(t)
- A un circuito serie RC se le aplica un impulso in nito vi(t) = δ(t), Determine el la tensión en las terminales del capacitor en la frecuencia Q(ω) y gra que el espectro de amplitud |Q(ω)|
Tarea Sobre Transformada Discreta de Fourier
FIUSAC, Depto de Matemática, MA2N
Prof. José Saquimux Transformada discreta de Fourier: d.f.t.
- Use la de nición para encontrar la d.f.t. de la secuencia f [n] = 3, 1 , − 1 , 1. Dibuje las grá cas f [n] y de los espectros de amplitud y fase de F [k]
- Use la de nición para encontrar la d.f.t. de la secuencia g[n] = 1, 2 , 0 , − 1. Dibuje las grá cas g[n] y de los esprectros de ampliltud y fase de G[k]
- Calcule la d.f.t. de las secuencias de los incisos anteriores usando un software de compu- tación, y veri que sus respuestas.
Inversa de d.f.t.
- Use la de nición para encontrar la inversa de d.f.t. de la secuencia H[k] = 6, − 2 , 2 , − 2
- Usando un software de computación calcule la inversa de la d.f.t. de la secuencia F [k] y G[k] de los incisos anteriores y compruebe sus respuestas con la secuencias f [n] y g[n].
- Pruebe que f [k] = (^) N^1 F [k]e^2 jknπ/n^ es la inversa de F [k] = f [m]e−^2 jkmπ/N^ sustituyendo la expresion de F [k] de la segunda fórmula en la primera, intercambiando el orden de la sumatoria y simpli cando el resultado.
Uso de la D.F.T. para estimar la transformada de Fourier Para la señal f (t) = u(t)e−^3 t, donde u(t) es la función escalón unitario. Usando software dónde considere necesario para gra car y realizar calculos numéricos realice los siguientes incisos, y complete la tabla que se adjunta,
- Gra que f (t)
- Use formulario para determinar F (ω) y gra que |F (ω)|
- Obtenga 16 valores de muestras (N = 16) de f (t) a intervalos de T = 0. 1 desde t = 0 a t = 1. 5. Esto es si f (t) es muestreada a t = nT , t = 0, 0. 1 , 0. 2 , ..., 1. 5 se tiene la secuencia, f [n] = e−^3 nT^ = e−^0.^3 n, n = 0, 1 , 2 , .., 15
- Calcule F [k]
- Estime la transformada de Fourier de f (t) multiplicando F [k] por T = 0. 1
- Obtenga 16 muestras (N = 16) de F (ω) tomando F (ωk) = F (2πk/N T ), k = 0, 1 , 2 , ..., 15
- Gra que |F (ωk)| y 0. 1 |F [k]|, compare la estimación y explique.
n, k f [n] = e−^0.^3 n^ F [k] 0. 1 F [k] F (ωk) 0 1 2 . . 15
Propiedades de la D.F.T.
- Obtenga la d.f.t. de f [n] = 1, 2 , 2 , 1 y g[n] = 2, 1 , 1 , 2.
- Veri que el teorema de Parseval para estas dos secuencias.
- Veri que el teorema de Rayleigh para f [n].
Convolusión y correlación discreta
- Dados f [n] = 1, 2 , 2 , 1 y g[n] = 2, 1 , 1 , 2 , encuentre la convolución lineal de f ∗ g.
- Muestre que esta convolución es equivalente a multiplicar los polinomios, 1 + 2x+ 2x^2 +x^3 y 2 + x + x^2 + 2x^3.
- Calcule la convolución circular de f [n] = 1, − 1 , 1 , 3 y g[n] = 7, 2 , 0 , 1.
- Veri que el teorema de convolusión circular para estas dos secuencias.
- Encuentre la correlación lineal cruzada de las secuencias f [n] = 4, 5 , 9 y g[n] = 3, 1 , 1
- Encuentre la correlación circular cruzada de f [n] = 2, 3 , − 1 y g[n] = 8, 7 , 1 , y veri que el teorema de correlación circular cruzada.
Referencias
- Croft A. Croft et al. Engineering Mathematics, A Foundation for Electronic, Electrical, Communications and Systems Engineers. Fourth Edition. Pearson. England. 2013.
- Duy D .G. Duy. Advance Engineering Mathematics with Mathlab. Second Editon. Chap- man & Hall/CRC. 2003.
- Wickert M. Signals & systems for Dummies John Wiley & Sons, Inc. 2013.
- Un transductor es usado para medir la velocidad del motor de un carro. Escriba la ecuación en diferencias y dibuje el diagrama de block de un ltro digital para calcular la distancia recorrida por el carro.
Solución numérica de ecuaciones en diferencias
- Dado x[n + 2] + x[n + 1] − x[n] = 2, x[0] = 3, x[1] = 5. encuentre x[2], x[3], x[4] y x[5].
- Calcule los primeros cinco términos de 6 x[n]−x[n−1]+2x[n−2] = n^2 −n, x[0] = 1, x[1] =
De nición de la transformada z
- Usando la de nición de transformada z, encuentre una expresión en forma cerrada para las transformadas z de las siguiente secuencias f [k] donde
a) f [0] = 0, f [1] = 0, f [k] = 1 para k ≥ 2 b) f [k] = e−k, k = 0, 1 , 2 , ...
Uso de tablas Use tablas para encontrar la transformada z de
- cos 3k
- e−^2 k^ cos k
- cos
kπ 2
Usando tablas determine las secuencias que tengan las transformadas z siguientes:
2 z 2 z − 1
z z^2 + 1
Mapeo de una señal continua
- Encuentre la transformada z de f (t) = e−t^ muestreada en t = 0, 0 , 2 , 0 , 4 , ...
Propiedades de la transformada z
- Use tabla para encontrar la transformada z de: 3 e−ksin(4k) − k, k ⩾ 0
- Ecuentre la tansformada z de las siguientes funciones continuas muestreadas en t = kT, k ∈ N
- Pruebe que la transformada z de e−atf (t) es F (eatz).
- Use el teorema de traslación compleja para encontrar la transformada z de e−k^ sin k.
- Si f [k] = 4(3)k^ encuentre Z {f [k ]}. Use el teorema de desplazamiento para deducir Z {f [k + 1 ]}. Muestre que Z {f [k + 1]} − 3 Z {f [k ]}.
Inversión de transformadas z
- Encuentre la transformada z inversa de
z + 1 (z − 3)z^2
- Determine la transforrmada z inversa de 1 −
z
z (z − 3)(z − 4
- Exprese F (z) =
(z + 1)(2z − 3)(z − 2) z^3
in fraccciones parciales y luego obtenga su tras- formada z inversa.
La transformada z y ecuaciones en diferencias
- Use transformadas z para resolver las siguientes ecuaciones en diferencias (i ) 2 x[k + 1] − x[k] = 2k, (ii) x[k + 2] − 8 x[k + 1] + 16x[k] = 0, x[0] = 10, x[1] = 20
- Resuelva la ecuación en diferencia, x[k+2]− 3 x[k+1]+2x[k] = δ[k], sujeta a las condiciones x[0] = x[1] = 0.
- Rsuelva la ecuación en diferencias, x[k +2]− 7 x[k +1]+12x[k] = k, sujeta a las condiciones x[0] = 1, x[1] = 1.
Referencias
- Croft A. Croft et al. Engineering Mathematics, A Foundation for Electronic, Electrical, Communications and Systems Engineers. Fourth Edition. Pearson. England. 2013.
- Duy D .G. Duy. Advance Engineering Mathematics with Mathlab. Second Editon. Chap- man & Hall/CRC. 2003.
- Wickert M. Signals & systems for Dummies John Wiley & Sons, Inc. 2013.
