Resolución SELs con Método Gauss-Jordan: Técnicas de Programación | Ejercicios de Programación Informática

TECNICAS DE PROGRAMACION

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS - SELS

MÉTODO GAUSS-JORDAN

En la práctica de la ingeniería es común encontrar situaciones que se modelan por medio de un

conjunto de ecuaciones lineales simultáneas con varias variables incógnitas,

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

donde las b representan los términos independientes, x las incógnitas y aij los coeficientes que

representan el comportamiento del sistema, (debido a que aij manifiesta el aporte del componente j del

sistema a la variable de salida xi.)

Lo anterior se puede escribir como un producto de matrices:

|a11 a12 a13 | |x1|= |b1|

|a21 a22 a23 | * |x2|= |b2|

|a31 a32 a33 | |x3 |= |b3 |

matricialmente se escribe: [A] * [X] = [ B ]

El método Gauss-Jordan busca convertir la matriz [A] en una matriz identidad y de paso se va

transformando simultáneamente la columna de los términos independientes [B].

Procedimiento

1) Preparo una matriz aumentada, es decir, a la matriz actual le añado la columna que contiene los

términos independientes [B],

2) Luego hago la aplicación repetida (una repetición por cada ecuación) de operaciones algebraicas

elementales, estas no alteran la validez del sistema, -se trata de transformaciones propias de las

matrices, tales como:

multiplicar una fila (o columna) por una constante y

a una fila (o columna), sumarle un múltiplo de otra fila (o columna).

Transformaciones

2.1 Normalización: la primera operación busca normalizar la fila k, por normalizar se entiende dividir

los elementos de la fila entre una constante = a(k,k), elemento que llamaremos pivote. (Asi

encontramos el “1” en la diagonal principal).

2.2 Sustitución: Luego se aplica el segundo tipo de operaciones con tal de volver “0” a los elementos

de la misma columna k, por fuera de la diagonal principal, de manera que vamos encontrando la matriz

identidad.

Una vez ejecutadas las k iteraciones, terminamos con una matriz identidad y esto es clave, se puede

leer la solución en forma directa, o sea, el valor de las variables que satisface el sistema como un todo

se encuentra en la columna [B] (la cual se ha venido transformando simultáneamente con la matriz

[A]).

El método presenta dificultades, cuando hace divisiones entre cero y además también por la

propagación de los errores de redondeo que resultan de cada operación aritmética, ya que se trata de un

procedimiento eliminativo.

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS - SELS

MÉTODO GAUSS-JORDAN

En la práctica de la ingeniería es común encontrar situaciones que se modelan por medio de un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas con varias variables incógnitas, a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 donde las b representan los términos independientes, x las incógnitas y aij los coeficientes que representan el comportamiento del sistema, (debido a que aij manifiesta el aporte del componente j del sistema a la variable de salida xi.) Lo anterior se puede escribir como un producto de matrices: |a 11 a 12 a 13 | |x 1 |= |b 1 | |a 21 a 22 a 23 | * |x 2 |= |b 2 | |a 31 a 32 a 33 | |x 3 |= |b 3 | matricialmente se escribe: [A] * [X] = [ B ] El método Gauss-Jordan busca convertir la matriz [A] en una matriz identidad y de paso se va transformando simultáneamente la columna de los términos independientes [B]. Procedimiento

Preparo una matriz aumentada, es decir, a la matriz actual le añado la columna que contiene los términos independientes [B],
Luego hago la aplicación repetida (una repetición por cada ecuación) de operaciones algebraicas elementales, estas no alteran la validez del sistema, - se trata de transformaciones propias de las matrices, tales como: multiplicar una fila (o columna) por una constante y a una fila (o columna), sumarle un múltiplo de otra fila (o columna). Transformaciones 2.1 Normalización: la primera operación busca normalizar la fila k, por normalizar se entiende dividir los elementos de la fila entre una constante = a(k,k), elemento que llamaremos pivote. (Asi encontramos el “1” en la diagonal principal). 2.2 Sustitución: Luego se aplica el segundo tipo de operaciones con tal de volver “0” a los elementos de la misma columna k, por fuera de la diagonal principal, de manera que vamos encontrando la matriz identidad. Una vez ejecutadas las k iteraciones, terminamos con una matriz identidad y esto es clave, se puede leer la solución en forma directa, o sea, el valor de las variables que satisface el sistema como un todo se encuentra en la columna [B] (la cual se ha venido transformando simultáneamente con la matriz [A]). El método presenta dificultades, cuando hace divisiones entre cero y además también por la propagación de los errores de redondeo que resultan de cada operación aritmética, ya que se trata de un procedimiento eliminativo.

Hacer la prueba de escritorio, para el sistema de [3x3] siguiente: A=[3 - 0.1 - 0.2; 0.1 7 - 0.3; 0.3 - 0.2 10] B=[7.85; - 19.3; 71.4] CONSIDERACIONES El sistema tiene solución si al menos tengo tantas ecuaciones distintas como incógnitas. Pero en caso de sistemas SELS singulares (El determinante del sistema es cero o muy cercano a cero) no hay solución, ya que se pierde un grado de libertad, es decir se tiene n incógnitas con (n-1) ecua- ciones realmente distintas. Hay tres casos: 1.Cuando las ecuaciones dan líneas paralelas y por lo tanto, NO se intersectan en un punto (como es de esperarse para hallar la solución), ejemplo:

1/2X 1 +X 2 =1 y - 1/2X 1 +X 2 = 1/ 2.Cuando una ecuación es un múltiplo de otra, ejemplo:
1/2X 1 +X 2 =1 y - X 1 +2X 2 =2 ==> hay infinidad de soluciones 3.El sistema de ecuaciones esta cerca de ser singular, porque la pendiente de dos ecuaciones es muy similar, como por ejemplo:
1/2X 1 +X 2 =1 y - 2.3/5X 1 +X 2 = 1.1, ya que pequeños cambios en los coeficientes generan grandes cambios en la solución y se dice que el sistema esta mal acondicionado. En Matlab, la función rank(A) dice cuántas ecuaciones lineales independientes contiene la matriz A. Análisis: Variables de entrada: [A] y [B] Precondiciones: nro de ecuaciones == nro de variables (o sea matriz cuadrada) && nro filas de A == nro filas de B && que el sistema sea no singular. rank(A) == Nro de ecuaciones variables de salida: [X] poscondiciones: [X]=[A]-^1 [B]

MATRIZ INVERSA

Si una matriz dada [A] es cuadrada, y si existe otra matriz [A]-^1 , tal que [A] x [A]-^1 = [I], se dice que [A]-^1 es la matriz inversa de [A]. La matriz inversa se puede calcular numéricamente, utilizando por ejemplo el método Gauss-Jordan: Simplemente, para calcular cada columna de [A]-^1 , se usa un vector [B] que es una columna de la matriz identidad; o sea que si el sistema es de tamaño [n x n], se deben hacer n llamados al proceso Gauss-Jordan, cada vez que como columna [B], colocamos una columna de [I]. Alternativamente, en vez de pasar [B] como un vector, su contenido seria la misma matriz identidad como entrada y como salida en [X], nos devolvería no un vector sino la matriz [A]-^1 que queremos. Interpretación: luego de calcular la matriz inversa, pre-multiplicamos [A] * [X] = [B] por [A]-^1 , dando: [A]-^1 *[A] * [X] = [A]-^1 * [B] =[I] * [X] = [A]-^1 [B], por lo tanto: [X]=[A]-^1 [B] Desarrollando la multiplicación de las matrices tenemos: x 1 = a 11 ' b 1 + a 12 ' b 2 + a 13 ' b 3 x 2 = a 21 ' b 1 + a 22 ' b 2 + a 23 ' b 3 x 3 = a 31 ' b 1 + a 32 ' b 2 + a 33 ' b 3 donde los términos aij' representan los elementos de la matriz inversa. ANALISIS Encontramos que la matriz inversa, aparte de proveer una solución, tiene propiedades importantes, esto es, cada uno de sus elementos representa la respuesta de una sola parte del sistema a un estímulo unitario en otra parte del sistema. Ejemplo : x 2 = a 21 ' b 1 + a 22 ' b 2 + a 23 ' b3, o sea, x 2 = tiene aportes de los estímulos b 1 , b 2 y b3, Observe que estas formulaciones son lineales y por lo tanto, aplican las propiedades de superposición y proporcionalidad: Proporcionalidad significa que multiplicando cada estimulo bi por un escalar (a'ij) resulta en una respuesta que es proporcional a cada estimulo. Entonces, el coeficiente a 13 ' es una constante de proporcionalidad, que representa el valor de la salida x 1 debido a un nivel de estímulo unitario en la parte 3 del sistema. Este resultado es independiente de los efectos de b 2 y b 3 en la salida x 1 , los cuales se reflejan en los coeficientes a 12 ' y a 13 ', respectivamente y aquí entra el juego la segunda parte: Superposición significa que si un sistema es sujeto a varios estímulos diferentes (las bi), las respuestas pueden ser calculadas individualmente y los resultados sumados para obtener la respuesta total. Por lo tanto, podemos sacar una conclusión general de que el elemento característico aij de la matriz inversa representa el valor de la salida xi debido a un estímulo unitario en la parte j del sistema. Utilizando el ejemplo de los reactores químicos, el elemento aij de la matriz inversa representa el aporte de masa de la sustancia i, debida a las reacciones que ocurren en el reactor j. Aun para pequeños sistemas, este comportamiento de interacciones estimulo/respuesta no es intuitivamente obvio. Por lo tanto, la matriz inversa es una herramienta poderosa para expresar las interrelaciones de los diferentes componentes de un sistema. En una hoja electrónica, existe la función MINVERSA() que obtiene la inversa de una matriz

Modelamiento Varios sistemas encontrados en la practica de la ingeniería, cumplen con el principio de conservación, es decir, el sistema tiene al menos una propiedad (o sea … algo que le es propio) que se conserva en el tiempo a pesar de que el sistema cambie de estado. Este hecho se aprovecha para escribir expresiones matemáticas de este principio, tomando estas expresiones la forma de ecuaciones de balance, y sirven para modelar la conservación de la propiedad particular, tal como masa, fuerza, energía, momento, carga eléctrica, etc. El balance es un ejercicio de contabilidad que refleja que todo lo que entra sale: Entradas – Salidas = acumulación. Si las entradas son iguales a las salidas, la acumulación es cero y la cantidad de materia presente en el sistema es constante, (en estado estacionario). Una ecuación simple de balance puede ser escrita para cada parte del sistema, resultando en un conjunto de ecuaciones que definen el comportamiento de una propiedad a través del sistema entero. Estas ecuaciones están interrelacionadas o acopladas, porque cada ecuación incluye una o mas variables de otras ecuaciones. Concretamente las ecuaciones resultantes al aplicar las leyes de Kirchoff en un circuito eléctrico. En muchos casos estos sistemas son lineales, además pueden ser escritas en forma matricial: [A] * [X] = [B]. En las ecuaciones de balance, sus términos tienen una interpretación física, por ejemplo, los elementos de [X] son los niveles de la propiedad que se esta balanceando en cada parte o en cada reactor del sistema; esta propiedad podría ser la masa de un compuesto químico en cada reactor (que se conserva) y que representa el estado del sistema, cuyo valor desconocemos y que queremos determinar. El vector [B] contiene aquellos elementos del balance que son independientes del comportamiento del sistema, esto es, son constantes. Como tal, ellos frecuentemente representan fuerzas externas o estímulos que impulsan o dinamizan el sistema, como son fuentes de corriente o de voltaje. La matriz de los coeficientes [A] usualmente contiene los parámetros que expresan como las partes del sistema interactúan o están acoplados, por lo tanto, las ecuaciones tienen la forma: [interacciones]*[respuesta]=[estimulo], donde la respuesta es la que queremos determinar. Esta es la expresión general de sistemas lineales escrita a través de un modelo matemático fundamental. UNA SITUACION PROBLEMICA: Solucion de la red del Sistema Electrico Nacional, conocida la matriz Ybarra, y el vector de corrientes que de los generadores y cargas, se hallan los voltajes nodales. Bibliografia: Libro de Steven Chappra Para mermar la propagación de error inherente de los métodos eliminativos, se han desarrollado método iterativos, como es el método de Gauss-Seidel.

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