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Material de clase. Tema 2. Distribuciones de los estadísticos muestrales de una población normal
TEMA 2
DISTRIBUCIONES DE LOS ESTADÍSTICOS MUESTRALES DE UNA
POBLACIÓN NORMAL
(En la Guía Docente se recoge como Tema 3) (Biblografía básica: “Técnicas Cuantitativas para la Inferencia” y “Ejercicios Resueltos de Técnicas Cuantitativas para la Inferencia” )
Hasta ahora se ha obtenido E X , V X , E S n^2 , E S n^2 1 sin necesidad de especificar
de qué tipo de población habíamos extraído la muestra. Pero en este Tema sí especificamos que la población es normal.
1. DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL PROCEDENTE DE UNA
POBLACIÓN NORMAL CON VARIANZA CONOCIDA
X ~ N ; ^2 ^2 conocida
n(X 1 ,...Xn) ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
( 1 ,..., )
~ ;^21 ~ ;^2 , 2 ~ ;^2 ... ~ ;^2 X independientes i n
X X X N X N X N X N i
i i n
X n^1 X 1 X 2 ... Xn
Queremos ver cómo se distribuye X , para lo cual tendremos en cuenta que X es una combinación lineal de variables aleatorias con distribuciones normales, por lo que X también seguirá una distribución normal: X ~N, ahora veremos con qué características estocásticas.
E X EX (Tema 1, apartado 11)
V X n^ n
V X ^2
(Tema 1, apartado 12) n
DX ^
Por tanto:
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X n
2
~N ,^ (Demostración, basada en f. g. m., pág. 34-35 libro de teoría. NO )
Basándonos en el resultado anterior podemos obtener cómo se distribuye la variable aleatoria “diferencia entre la media muestral y la media poblacional”: X .
Para ello, tenemos en cuenta que X es la diferencia entre la variable aleatoria
X , que sigue una distribución normal, y un parámetro (constante), , por lo que:
X ~N , con las siguientes características estocásticas: E X E X E 0
V X (^) n (^) (^) n n es cte
2 2 0 ,
VX V- ^212 V 0
n n
D X ^
2
Por tanto:
(^)
X n
2
~N 0 ,^
(La demostración se basa en la f. g. m., pero con el desarrollo anterior es suficiente)
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A partir de la distribución del estadístico anterior, se puede obtener la distribución de
los estadísticos S n^2 , Sn^2 1 :
n^2 ^2 n^2 1
n
S
La varianza muestral se relaciona con la distribución ^2 con un número de grados
de libertad igual al tamaño de la muestra menos la unidad, multiplicada por la varianza poblacional, dividida por el tamaño muestral. Análogamente:
(^21 )
Sn n 1 n
La cuasivarianza muestral se relaciona con la distribución ^2 con un número de
grados de libertad igual al tamaño de la muestra menos la unidad, multiplicada por la varianza poblacional, dividida por el tamaño muestral menos la unidad.
3. DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL PROCEDENTE DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON VARIANZA DESCONOCIDA a) Muestra pequeña (n ≤ 30)
X ~ N ; ^2 ^2 desconocida
n (X 1 , X 2 , ..., Xn) ~^ ^ ; ^ ( 1 ,..., )
2 X XXindependieX Nntes i n i
i i
X S n^2 Sn^2 1
Se ha obtenido en el apartado 2 que:
(^)
n n n i i
n S n S X X
1
2 2
2 11 → n
S
n
S n^2 n^21
^
→ n
S
n
S n n 1
^
siendo: Sn : desviación típica muestral; Sn 1 : cuasi desviación típica muestral.
Puede demostrarse (véase Ejercicio 3 de la “Relación de Ejercicios Complementarios”, que es materia de estudio):
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2 desconocida
Muestra pequeña n
→ 1 (^1 )
n n n
t S n
X S n
X
siendo: X : media muestral; : media poblacional; Sn : desviación típica muestral;
Sn 1 : cuasi desviación típica muestral; n : tamaño muestral.
Se utiliza la distribución t-Student, cuya definición no se ve afectada por el valor de
la varianza poblacional, ^2 , que es desconocida. b) Muestra grande (n > 30)
Recordemos que (Tema 1.6): t^ n Teoría ^ n ^ :: Pr n áctica 30 : Z ~ N ^0 ;^1
Conclusión:
2 desconocida
Muestra grande n
→ 1 ~ ^0 ;^1 1
1 S n Z N
X
S n
t X
n n
n
Por tanto, en la práctica se va a considerar:
~ 0 ; 1 ~ 0 ; 1
N
S n
N X
S n
X
n n
o lo que es equivalente:
n
X N S
n
X N Sn^2 ~ ; n^21
~ ; 1
Sin embargo, la distribución de X cuando ^2 es conocida (apartado 1) era:
X N n
2 ~ ;^
Por tanto, para muestra grande, cuando la varianza poblacional ^2 sea desconocida,
se puede estimar mediante la cuasivarianza muestral, Sn^2 1 :
2 estimar mediante n^2 1
desconocida ^ S
o lo que es equivalente:
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X sigue una distribución normal, Y sigue una distribución normal, X Y es una
combinación lineal de normales, por lo que X Y también seguirá una distribución
normal: ^ X^ Y ^ ~^ N ^ ; . Vamos a calcular sus características estocásticas:
E X Y E X E Y 1 2
V X Y XYindep V X V Y V X V Y n m
2 12 22
,^1
^ ^
D X Y n m
12 22
En definitiva:
^
X Y N n m
12 22
^
cuya expresión tipificada es:
12 22
1 2 Z N
n m
X Y
LO SIGUIENTE NO ES MATERIA DE EXAMEN:
La demostración se basa en la función generatriz de momentos:
n
tX t t
gX t Ee e
1 2 12 2 ^1
m
tY t t
gY t Ee e
2 2 22 2 ^1
¿Cómo se distribuye ^ X^ Y ? Se aplica la función generatriz de momentos:
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ tX ^ ^ ^ t ^ Y
alXserloYindeptslasmuestras
g X Y t EetX Y EetX tY EetXetY Ee Ee
, ,
^ ^ ^
^ ^ ^
n m
t t n t t m t t t n t m t t
gX t gY t e e e e
2 12 22 1 212 ^12 2 21 2 ^22 1 2 212 ^12212 ^22 ^1 ^221 ^
Del resultado ^
(^) ^
^
t t n m
gX Y t e
2 12 22 1 2 21 ^ se deduce:
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^
X Y N n m
12 22
^
4.2. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES
PROCEDENTES DE POBLACIONES NORMALES CUYAS VARIANZAS
POBLACIONALES SON DESCONOCIDAS Y MUESTRAS GRANDES
(n+m>30)
X ~ N 1 ; 12
12 , 22 desconocidas
n+m> Muestras independientes ¿ X Y?
Y ~ N 2 ; 22 ↓ n X 1 ,.., Xi ,..., Xn Xison IID X S n^2 S^2 n 1
m Y 1 ,.., Yj ,..., Ym Yj son IID Y S m^2 Sm^2 1
Se ha visto en el apartado 3.b que cuando las varianzas poblacionales son desconocidas y las muestras son grandes, las varianzas poblacionales pueden estimarse mediante las cuasivarianzas muestrales:
2 estimar mediante n^2 1
desconocida ^ S
De manera que:
1 ^ ^ n
estimarmediante desconocida
^ S^ siendo
1
2 (^21)
n
X X
S
n
n i i
(^221) 2 ^ ^ m
estimarmediante desconocida ^ S^ siendo
1
2 (^21)
m
Y Y
S
m j j m
Por tanto:
12 ,^22 desconocidas
Muestras grandes n m
→ ^ ^
^
m
S
n
X Y N Sn^21 m^21
~ 1 2 ;
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S n m
t X Y
c
n m 2 1 11 2
siendo:
1
2 1
2 (^222121)
^
n m
X X Y Y
n m
n S m S
n m
S n S mS
m j j
n
c n m n m i i
Las distintas expresiones de Sc se deducen de lo visto en el apartado 4.2, que, a su
vez, se deducen del apartado 2:
(^)
n n n i i
n S n S X X
1
2 2
(^) (^)
m m m j j
m S m S Y Y
1
2 2
4.4. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES
PROCEDENTES DE POBLACIONES NORMALES CUYAS VARIANZAS
POBLACIONALES SON DESCONOCIDAS Y DESIGUALES, Y MUESTRAS
PEQUEÑAS (n+m≤30) Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas y desiguales, pero puede
conocerse aproximadamente la razón o cociente entre ambas, 12 22 , entonces:
v n m n m
t
m
S
n
S
X Y
m
S
n
S
X Y
2 2
1 2 (^2121)
1 2
siendo:
1
2
2 2 12 22
2 2 12 2
n n m m
v n m
(aproximación de Welch)
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En el caso de que se desconozca 22 12
se puede sustituir por (^21)
(^21)
m
n
S
S
4.5. DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS
La comparación de las varianzas entre dos poblaciones se realiza mediante cociente (en vez de hacerlo a través de la diferencia, como se ha visto para el caso de dos medias).
X ~ N 1 ; 12 12 , 22 descono- cidas Muestras indepen- dientes
Y ~ N 2 ; 22 ↓ n X 1 ,.., Xi ,..., Xn (^) X iindependieXi X ntes ( i 1 ,..., n )
X S n^2 Sn^2 1
m Y 1 ,.., Yj ,..., Ym (^) YjindependieYj Y ntes ( j 1 ,..., m )
Y S m^2 Sm^2 1
Recordemos que se vio en el apartado 2:
(^2) 2 1
(^21) 2
n n n nS n S de donde se puede deducir que si se tiene la información de dos poblaciones y sus respectivas muestras:
(^2) 12 1
(^21) 12
n n n nS n S ^ y que
(^2) 22 1
(^21) 22
m m m mS m S
siendo S n^2 y S m^2 independientes entre sí, puesto que las muestras lo son. Por la misma
razón, también son independientes entre sí Sn^2 1 y Sm^2 1.
Por otro lado, recordemos que se vio en el Tema 1, apartado 5 que:
n m m
n
F
m
n 2 ,
2
de donde se puede deducir que:
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este punto de vista, la variable aleatoria X podría conceptuarse como una binomial. Llamaremos proporciones poblacionales p, q : p = proporción de elementos de la población que tienen la característica q = 1 – p = proporción de elementos de la población que no tienen la característica siendo: p q 1 q 1 p
De esta población se extrae una m.a.s. de tamaño n^ ^ X 1 ,^ X 2 ,..., Xn .
Cada elemento Xi de la muestra tiene o no la característica, distribuyéndose, por
tanto, cada Xi según una binomial independiente:
Xi ~ B 1 , p , Xi puede tomar dos valores:
X notienelacaracterís tica
X tienelacaracterística i
i 0
Más explícitamente:
X (^) XX^10 X 1 ~ B 1 , p 1 1 1
X (^) XX Xi B p i i i ~^1 , 0
X (^) XX Xn B ^ p n n n ~^1 , 0
Vamos a llamar: p ˆ= proporción de elementos de la muestra que tienen la característica (proporción muestral), que se definiría así:
tamañodela muestra p ˆ númerodeelementos dela muestraquetienen lacaracterística
n
X
n
X X X X
n
1 ^2 ... i ... n ^ i ^1 i
(por ejemplo: 8 0 '^25
p ˆ ^0 ^1 ^0 ^0 ^0 ^0 ^1 ^0 )
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p ˆ es una función de las observaciones muestrales Xi , que son v. a., por lo que
también p ˆ es una v. a.
Vamos a analizar las características estocásticas del estadístico p ˆ:
Esperanza matemática de p ˆ:
(^)
^
n n^ nE X X Xn n E X E X E Xn E p ˆ E X X ... X^1 ...^1 ... (^121212)
n p p p nnp p
n
(teniendo en cuenta que ^ ^
^
V X p q pq X B p E X p p i
i ii (^) n 1
~ 1 ,^1
E p ˆ p
La esperanza de la proporción muestral coincide con la proporción poblacional.
Varianza de p ˆ:
(^)
^
n n^ n V X X Xn V p ˆ V X X ... X^1 ... (^12212)
npq pnq
n
pq pq pq
n
V X V X V X
n
n
X iindepts n ^
2 1 2 2 2
V p ˆ pnq D p ˆ pnq
Basándose en propiedades de la binomial, se sabe que si tenemos una sucesión
X (^) 1 , X 2 ,..., Xi ,..., Xn de v. a. independientes e idénticamente distribuidas: X (^) 1 ~ B 1 , p ; X 2 ~ B 1 , p ;...; Xn ~ B 1 , p
entonces:^ X^ 1 X 2 ... Xn ^ ~ B ^ n , p
Por otro lado, basándose en el TCL, como se vio en el Tema 1, si n es lo suficientemente grande: X X X B n p N n áctica n
n Teoría 30 1 2 ... ~ , Pr por lo que:
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V p ˆ 1 p ˆ 2 V p ˆ 1 p ˆ 2 (^) ˆ 1 , ˆ 2 V p ˆ 1 V p ˆ 2 V p ˆ 1 1 2 V p ˆ 2 lasalserlo muestras
p pindepts
V p ˆ^1 V p ˆ 2 p^1 nq^1 pm^2 q^2
V p ˆ^1 p ˆ 2 p^1 nq^1 p^2 mq^2 D p ˆ 1 p ˆ 2 p^1 nq^1 p^2 mq^2
Basándose en el TCL y en el apartado 5.1., se puede demostrar que si los tamaños muestrales son elevados ( n+m> 30):
(^)
^
m
p q n p p N p p p^1 q^122
