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Documento que explica cómo calcular la suma de matrices, la condición de que deben cumplir para ser sumadas, el rango de una matriz y cómo generar un subespacio vectorial a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes.
Tipo: Apuntes
Subido el 13/11/2015
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2 0 0 Inferior => todo lo que hay por encima de la DP son ceros 3 5 0 4 1 3
2 0 0 Superior => todo lo que hay por debajo de la DP son ceros 3 5 0 4 1 3
2 1 - 1 0 3 Si se doblara por la DP coincidirían los números -1 3 2
1 0 0 0 1 0 I 0 0 1
1 1 1
a. Suma y resta de matrices Tienen que cumplir una condición, que sean del mismo orden
2 1 0 5 1 1 7 2 1
Sí se pueden resolver, las matrices NO!
1 2 2 2 -1 3 2 -1 3 (-1) 1 1 -2 + (-2) 1 2 2 + (1) 1 2 2 = 3 1 1 3 1 1 1 1 - =(-1)·(-15)+(-2)·(-20)+(1)·(-3)= 15 + 40 - 19 = 36
Es el orden del mayor determinante = 1 -1 2 1 -1 2 A= 3 1 0 3 1 0 = 1 +0 + 6- (8 +0 -3) 4 1 1 3x3 4 1 1 = 2
2 1 -1 B = - 4 + 8 – 6 – ( - 4 + - 6) = B= 3 1 2 2 1
4 2 -2 3x3 3 1 = 2 – 3 = -1 = 0
2 6 1 6 - C= 3 1 2 2x3 1 2 = 12 – (-1) = 13 =
1 2 -1 0 4 3 1 2 0 7
El rango de la matriz nos da el número MÁXIMO defilas y columnas linealmente independientes Rg (A) =3Rg (C) =2Rg (B) =2• Si hay iguales (^) , tacha una dos filas o dos columnas
Las expresiones lineales (de grado 1) con término cero son siempre subespacio vectorial S1= (x,y,z) pertenece R 3 tal que y=0 -> Sí
S2= (x,y,z) pertenece R 3 tal que x+y^2 +z=0 -> No
S1= (x,y,z) pertenece R 3 tal que x -y=0 -> Sí
S1= (x,y,z) pertenece R 3 tal que -> No
X+8y= 2x-3x
S (^) 1= (x,y,z) pertenece R 3 tal que xy=0 -> No
Es la suma del producto de vectores por escalares (nº reales) L · U + B · V= W Ejemplo: ¿Es U=(2,1) combinación lineal de (1,-1), (0,1)?
¿Es V (1,2,3) CL de (1,0,2), (0,2,2)? L (1,0,2) + B (0,2,2)= (1,2,3)
Se forma una matriz colocando los vectores en columna
A= V 1 V 1 ..............V (^) n Si Rg (A)=n n vectores linealmente Independientes
ES COMBINACIÓN LINEAL
NO ES COMBINACIÓN LINEAL LOS VECTORES VAN EN COLUMNAS
4 vectores Linealmente Dependientes Rg A = 2 Hay, como MÁXIMO, grupos de 2 vectores Linealmente Independientes
U1, U 2 Linealmente Dependiente U2, U 3 Linealmente Dependiente U1, U 3 Linealmente Dependiente U2, U 4 Linealmente Independiente
U1, U 4 Linealmente Independiente U3, U 4 Linealmente Independiente
EJERCICIO TIPO EXAMEN
Calcular el subespacio que generan
(1,2,1), (2,4,2) (3,6,3), (1,0,0)
Para generar un subespacio con un conjunto de vectores se depuran dichos vectores, es decir, se estudia la independencia lineal y se generan los vectores Linealmente Independientes
U 1 Rg A= 2U 2 U 3 U 4
(^1 2 3 0) 3x
U1, U 2 Linealmente Dependiente U2, U 3 Linealmente Dependiente U1, U 3 Linealmente Dependiente U2, U 4 Linealmente Independiente U1, U 4 Linealmente Independiente U3, U 4 Linealmente Independiente
Ejemplo: Calcular el subespacio que genera (1,0,0), (1,1,0), (1,0,1) A = 1
Rg A= 3 3 vectores Linealmente Independientes
GENERAN R^3
n vectores Linealmente Independientes de Rn^ generan Rn
■ En R^3 hay infinitas bases, cada una de ellas son 3 vectores ■ Más de 3 vectores Linealmente Dependientes
■ 3 vectores ■ Menos de 3 vectores
Dim R Linealmente Dependientes ó^3 Linealmente Independientes
Dim S = nº mínimo de parámetros Dim S = n – nº ecuaciones cartesianas Linealmente Independientes Dim S = nº máximo de vectores Linealmente Independientes
Dim S < ó = Dim R n
Calcular el subespacio que generan y dar una base de ese subespacio
A= 1 0 1 2 Rg A= 2 0 1 x 1 1 2 3 (^) 3X4 L (^) u1,u2,u3,u4= Lu1,u2 1 0 y = y + x - (z) =
1 1 z
Sea B= U1,U (^) 2, U (^) 3……….Un Una base del espacio vectorial R n^ o V. Cualquier vector v que pertenece a dicho espacio vectorial se puede expresar como continuación lineal de B v = L 1 · U 1 + L 2 · U 2 +……… Ln · U (^) n (L1, L2, L (^) 3,……. Ln) Coordenadas de v respecto a B
Si la base de referencia cambia, las coordenadas del vector también cambian Base 1 = v (^) 1, v2, v3, ………vn -> v = (L (^) 1, L2, ….Ln) Base 2 = e1, e2, e (^) 3, …….en -> v = (L´ (^) 1, L´2, ....L´ (^) n)
L1U 1 + L2U 2 + .….LnU (^) n = L´1e 1 + L´2e 2 + ....L´nen
S= (x, y, z ( R 3 / y + x – z =0 Ecuaciones Cartesianas
S = (L + Beta, L, Beta, 2Beta + 3L) L Beta ( R Dim S = nº máximo de vectores Linealmente Independientes = 2 Base = (1,0,1,2), (0,1,-1,1)
