Ejercicios sobre Espacio Vectorial en ℝn: Coordinadas, Independencia, Subespacios, Ejercicios de Matemática Empresarial

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BLOQUE I: ÁLGEBRA LINEAL.

TEMA 1

ESPACIO VECTORIAL

EJERCICIOS

Matematicas Empresariales. 2

Ejercicio 1 En los siguientes casos escriba las coordenadas (respecto a la base canónica) del vector 𝑢⃗ cuando se conocen sus coordenadas respecto a un sistema de referencia L.

a ) Las coordenadas de 𝑢⃗ respecto a 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (1, 2) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (−1, 3) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (0, 1)}

son (-1, 1, 2)

b ) Las coordenadas de 𝑢⃗ respecto a 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗ 1 ⃗ = (0, 1, 3) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (1, −2, 1) }

son (2, 4)

c ) Las coordenadas de 𝑢⃗ respecto a 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗ 1 ⃗ = (1, 2, 1, 1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (2, −1, 1, 3) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 =

(1, −3, 0, 2), 𝑢⃗⃗⃗⃗ 4 (0, 0, 1, −1)} son (-1, -1, 1, 2)

d ) Determine en los tres casos anteriores si las coordenadas de 𝑢⃗ respecto a 𝐿 son o no

únicas.

Ejercicio 2 En los siguientes casos justifique si es posible determinar las coordenadas del vector 𝑢⃗ respecto al sistema de referencia L. Si es posible obtenga una expresión de dichas coordenadas y justifique si son únicas. a) 𝑢⃗ = (1, 4) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (0, 1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (2, 3) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (1, 1)} b) 𝑢⃗ = (14, 1, −9)^ 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (4, 1, 0) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (2, 1, −3) } c) 𝑢⃗ = (2, 1, −1) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (1, 1, 0) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (0, 1,1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (1, 0, 1) } d) 𝑢⃗ = (−1, 2, 1)^ 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (1, 1, 2) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (−5, 1,1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (1, 0, 1) }

e) 𝑢⃗ = (1, 3, 2, −1)^ 𝐿 = {

f) 𝑢⃗ = (−5, 3, 1, 2) 𝐿 = {

Ejercicio 3 Estudie la independencia lineal de los siguientes vectores de ℝ^4. Si son LD obtenga un subconjunto que contenga el máximo número posible de vectores LI. a ) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (0, 1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (0, 3) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (0, 2)} b ) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (1, 1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (1, 3) } c ) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (1, −3)} d ) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (3, 3, 1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (1, 2,2)} e ) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (2, 1, 0) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (0, −1,1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (1, 0, 1) } f ) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (1, 1, 2) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (0, 1,1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (1, 0, 1) } g ) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (−1, 1, 2) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (0, 1,1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (1, 0, 1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 4 = (1, −3, 1) } h ) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (−1, 1, 2, 1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (3, 1,1,0) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (1, 1, −1, 1)} i ) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (−1, 1, 2, 1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (3, 1,1,0) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (5, −1, −3, −2)} j ) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (−1, 1, 2, 1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (3, 1,1,0) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (1, 1, −1, 1), 𝑢⃗⃗⃗⃗ 4 = (0, −2, 0, 1)} k ) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (−1, 1, 2, 1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (0, 1,1,0) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (−1, 2, 3, 1), 𝑢⃗⃗⃗⃗ 4 = (0,0, 2, −2)} l ) 𝐿 = {𝑢⃗⃗⃗⃗ 1 = (−1, 1, 3, 1) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 2 = (2, −2, −6, −2) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 3 = (1, −1, −3, −1), 𝑢⃗⃗⃗⃗ 4 = (4, −2, 0, 1)}

Matematicas Empresariales. 4

Determine a ) Dimensión del subespacio y del espacio vectorial al que pertenece b ) Una base del subespacio c ) Las ecuaciones paramétricas del subespacio d ) Las ecuaciones cartesianas del subespacio

Ejercicio 10 Para cada uno de los siguientes subespacios vectoriales

10.1 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ^3 : 𝑥 + 𝑦 = 0; 𝑥 − 𝑧 = 0}

10.2 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ^3 : 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0}

10.3 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ^3 : 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 0; 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0; 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 0}

10.4 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ^4 : 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = 0}

10.5 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ^4 : 𝑥 − 𝑦 − 𝑡 = 0; 𝑧 + 2𝑡 = 0}

10.6 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ^4 : 2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = 0; 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0; 𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 0}

Determine a ) Dimensión del subespacio y del espacio vectorial al que pertenece b ) Una base del subespacio c ) Las ecuaciones paramétricas del subespacio d ) Las ecuaciones cartesianas del subespacio

Ejercicio 11 Sean los siguientes subespacios de IR^3

S  L (2, 1, 1),(3,1,0) y  

3

V  ( , x y z , )  IR / x  2 y  z  0

Se define la intersección de dos subespacios como el conjunto de vectores que pertenecen a

ambos subespacios: 𝑆 ∩ 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ^3 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆 𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑉}

Matematicas Empresariales. 5

a) Calcule las ecuaciones cartesianas de 𝑆 ∩ 𝑉 b) Calcule la dimensión y una base de 𝑆 ∩ 𝑉