¡Descarga Análisis Matemático: Funciones, Límites y Indeterminaciones - Prof. Angulo Torga y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Tema 2
Funciones reales de variable real.
L´ımites y continuidad.
En el tema anterior hemos visto que las sucesiones aportaban la representaci´on ma- tem´atica de las llamadas se˜nales discretas. Cuando el fen´omeno que describe la se˜nal es un proceso continuo, es decir, se mide con variables que pueden tomar cualquier valor real, entonces la se˜nal pasa a ser anal´ogica o continua. Los registros de voz, la intensi- dad de un circuito el´ectrico son ejemplos de se˜nales continuas. Desde el punto de vista matem´atico, en el caso de una sola variable independiente, una se˜nal anal´ogica viene representada por una funci´on f (t) de la variable t.
−2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1.
−
−0.
0
1
2
t
y
Fig. 2.1: Representaci´on de una se˜nal anal´ogica.
Dada esta representaci´on, la naturaleza de los fen´omenos que se tratan de modelizar debe traducirse, como en el caso discreto, en propiedades de su representaci´on matem´atica. Los aspectos referentes a la forma de la se˜nal, propiedades tanto globales como locales, deben contribuir a explicar el problema desde el punto de vista matem´atico. Una primera herramienta para ello es la continuidad de la funci´on y la idea de l´ımite asociada. Esta idea hace referencia a la propiedad de que el proceso a estudio, con respecto a su medici´on, sea o no algo continuo (pi´ensese, por ejemplo, en el modelo anal´ogico que describe la intensidad de corriente de un circuito). Este tema presenta entonces dos aspectos claves en el c´alculo diferencial como son el
2.1 Introducci´on. ma t
concepto de l´ımite y la continuidad de funciones.
2.1 Introducci´on.
Definici´on 103.- Sean X e Y conjuntos no vac´ıos. Una funci´on f de X en Y , f : X → Y , es una asignaci´on a cada elemento x ∈ X de un ´unico elemento y ∈ Y. El elemento y ∈ Y es la imagen de x por f y se denota por y = f (x). El conjunto X se denomina dominio de definici´on de f , y se denota por dom(f ). El conjunto de todas las im´agenes de los elementos de X, f (X) = {f (x) : x ∈ X} ⊂ Y , se denomina recorrido o conjunto imagen de f y se denota por Im(f ). An´alogamente, la imagen de X′^ ⊂ X por f es f (X′) = {f (x) : x ∈ X′}. La imagen rec´ıproca de un elemento y ∈ Y es el subconjunto de X dado por
f −^1 (y) = {x ∈ X : f (x) = y}.
Igualmente, la imagen rec´ıproca de un conjunto Y ′^ ⊂ Y es el subconjunto de X
f −^1 (Y ′) = {x ∈ X : f (x) ∈ Y ′}.
Definici´on 104.- Dada una funci´on f : X → Y. Se dice que f es
- Inyectiva si, para cualesquiera x, x′^ ∈ X, x 6 = x′^ ⇒ f (x) 6 = f (x′), o equivalente- mente, si f (x) = f (x′) entonces x = x′, ∀x, x′^ ∈ X.
- Sobreyectiva si, para cualquiera y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f (x) = y.
- Biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Definici´on 105.- Si f : X → Y es una funci´on biyectiva, se denomina funci´on rec´ıproca o inversa de f , y se denota por f −^1 , a la funci´on f −^1 : Y → X que a cada y ∈ Y le asigna el ´unico x = f −^1 (y) tal que y = f (x). De modo que, f −^1 (f (x)) = x, para x ∈ X, y f (f −^1 (y)) = y para y ∈ Y.
Observemos que, si f : X → Y es inyectiva, entonces f : X → f (X) es biyectiva, por lo que tiene sentido definir la funci´on inversa f −^1 : f (X) → X.
Definici´on 106.- Si X, Y ⊂ IR y f : X → Y es una funci´on, se dice que f es una funci´on real de variable real.
Frecuentemente una funci´on real de variable real se da s´olo por la expresi´on y = f (x). En este caso, se sobreentiende que su dominio es el conjunto de n´umeros reales x para los que f (x) es real.
Definici´on 107.- Gr´afica de una funci´on y = f (x) es el subconjunto de IR × IR
graf(f ) = {(x, y) : x ∈ dom(f ), y = f (x)}.
Ejemplo 108.- Sea f : IR → IR, f (x) = x^2.
2.1 Introducci´on. ma t
f −^1 : [− 1 , 1] → [−π/ 2 , π/2], dada por f (−1)(y) = arcsen y, de modo que x = arcsen y ⇔ y = sen x.
Por otra parte, la gr´afica de la funci´on inversa de f es una curva sim´etrica de la curva que representa la gr´afica de f respecto del eje bisectriz y = x.
Ejemplo 110.- Dada f : [0, +∞) → [0, +∞), con f (x) = x^2 entonces f −^1 : [0, +∞) → [0, +∞) con f −^1 (y) =
y.
(^00) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
1
2
3
4
Fig. 2.4: Funci´on f (x) = x^2 (l´ınea continua) y f −^1 (y) = √ y (l´ınea discontinua).
Conocida la gr´afica de una funci´on f : IR → IR, se pueden obtener gr´aficas de funciones relacionadas con f mediante algunas traslaciones y homotecias. Por ejemplo, si k > 0:
- La gr´afica de g(x) = f (x)+k se obtiene trasladando la de f k unidades hacia arriba.
- La gr´afica de g(x) = f (x) − k se obtiene trasladando la de f k unidades hacia abajo.
- La gr´afica de g(x) = f (x−k) se obtiene trasladando la de f k unidades a la derecha.
- La gr´afica de g(x) = f (x+k) se obtiene trasladando la de f k unidades a la izquierda.
Ejemplo 111.- Estudia el efecto geom´etrico sobre la gr´afica de f para construir las gr´aficas de g(x) = k f (x) y g(x) = f ( kx), con k ∈ IR. Distingue los casos k ≥ 1, k ∈ [0, 1), k ∈ [− 1 , 0) y k < −1.
Operaciones con funciones
Las siguientes propiedades y operaciones nos permiten generar funciones a partir de otras. Sean f y g funciones reales, y sea λ ∈ IR
- f = g ⇔ dom(f ) = dom(g) y f (x) = g(x), para x ∈ dom(f ).
- Suma: (f + g)(x) := f (x) + g(x) con dominio dom(f ) ∩ dom(g).
- Multiplicaci´on por un escalar: (λ f )(x) := λ f (x) con dominio dom(f ).
2.1 Introducci´on. ma t
- Multiplicaci´on: (f g)(x) := f (x) g(x) con dominio dom(f ) ∩ dom(g).
- Divisi´on (f /g)(x) := f (x)/g(x) con dominio dom(f )∩dom(g)−{x ∈ IR : g(x) = 0}.
Definici´on 112.- Se denomina composici´on de las funciones f : X → Y y g : Y → Z, y se denota por g ◦ f , a la funci´on g ◦ f : X → Z dada por (g ◦ f )(x) := g(f (x)), ∀x ∈ X.
La composici´on de f : X → IR y g : Y → IR requiere que f (X) ⊂ Y Dos propiedades relevantes de esta operaci´on son:
- f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.
- En general f ◦ g 6 = g ◦ f.
Ejemplo 113.- Dadas las funciones f (x) = 2x, g(x) = x^2 y h(x) = sen x. (g ◦ h)(x) = sen^2 x. Calcular (f ◦ g)(x), (g ◦ h)(x), (h ◦ g)(x), (g ◦ h ◦ f )(x).
Ejemplo 114.- Escribir las funciones y = ln (tan
( x 2
) ) y y = arcsen (3(−x (^2) ) ) como com- posici´on de funciones elementales.
Definici´on 115.- Se denota por F(X, IR) al conjunto de funciones de X en IR.
- F(X, IR) es un espacio vectorial, con la suma y el producto por un escalar.
- En F(X, IR), la relaci´on ≤ (orden usual) es un orden parcial:, f ≤ g ⇐⇒ f (x) ≤ g(x), x ∈ X
Tipos especiales de funciones
Definici´on 116.- Se dice que f : X → IR est´a acotada superiormente (acotada inferiormente) si Im(f ) est´a acotado superiormente (inferiormente). Esto significa que existe K tal que f (x) ≤ K, (f (x) ≥ K) ∀x ∈ X. La funci´on est´a acotada si Im(f ) est´a acotado, es decir, existe K > 0 tal que |f (x)| ≤ K, ∀x ∈ X. Si f est´a acotada, se llaman extremo superior, extremo inferior, m´aximo y m´ınimo de f a los del conjunto Im (f ).
Definici´on 117.- Se dice que f : X → IR es creciente (decreciente) si ∀x 1 , x 2 ∈ X, x 1 < x 2 , entonces f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) (f (x 1 ) ≥ f (x 2 )). La funci´on es mon´otona si es creciente o decreciente. Si las desigualdades son estrictas se a˜nade el apelativo estrictamente.
Definici´on 118.- Se dice que f : X ⊂ IR → IR:
- Es una funci´on par si f (−x) = f (x), ∀x ∈ X. Su gr´afica es una curva sim´etrica respecto del eje de ordenadas.
- Es una funci´on impar si f (−x) = −f (x), ∀x ∈ X. Su gr´afica es una curva sim´etrica respecto del origen de coordenadas.
2.2 L´ımite de una funci´on en un punto. Propiedades e indeterminaciones. ma t
−1.
−
−0.
0
1
−π −π/2 0 π/2^ π
Fig. 2.7: Funci´on peri´odica.
2.2 L´ımite de una funci´on en un punto. Propiedades
e indeterminaciones.
Definici´on 124.- Sea f : A → IR una funci´on real de variable real y sea x 0 ∈ IR un punto de acumulaci´on de A. Se dice que el l´ımite de la funci´on f (x) cuando x tiende a x 0 es L, y se representa por
xlim→x 0 f (x) = L,
si ∀ε > 0, existe δε > 0 tal que ∀x ∈ A, cumpliendo que 0 < |x − x 0 | < δ se tiene |f (x) − L| < ε.
Es decir, si se puede hacer que f (x) est´e tan pr´oximo como queramos de L siempre que tomemos x lo suficientemente pr´oximo a x 0 , pero con x 6 = x 0. Gr´aficamente, para cada ε > 0 se puede construir una ventana de altura 2ε y anchura 2 δ, centrada en el punto (x 0 , L), que deja ver la gr´afica de f correspondiente a la base de la ventana (exceptuando el correspondiente a x 0 ) dentro de la ventana misma. Hay que observar que, por ser x 0 un punto de acumulaci´on de A, existen puntos x ∈ A tan pr´oximos a x 0 como queramos (recu´erdese el Tema 1). Es evidente que el valor de f (x 0 ) no tiene ninguna influencia sobre el valor del l´ımite. De ah´ı que podamos hablar de l´ımite de una funci´on en un punto x 0 sin que ni siquiera est´e definida en ´el. Podemos introducir una versi´on diferente de la definici´on de l´ımite en t´erminos de entornos.
Definici´on 125.- Diremos que el l´ımite de la funci´on f cuando x tiende a x 0 es L si dado cualquier entorno de L, E(L, ε), existe un entorno reducido de x 0 , E∗(x 0 , δε) de tal manera que ∀x ∈ E∗(x 0 , δε) ∩ A se tiene que f (x) ∈ E(L, ε).
Ejemplo 126.- El siguiente ejemplo permite ilustrar la definici´on de l´ımite as´ı como la dificultad, en general, de su aplicaci´on en la pr´actica. Para f (x) = 3x + 2, veamos que lim x→ 1 f (x) = 5. Sea ε > 0. Necesitamos un intervalo (1 − δ, 1 + δ), centrado en x 0 = 1, tal
que para los puntos x ∈ (1 − δ, 1 + δ), con x 6 = 1, se tenga |f (x) − 5 | < ε. Tenemos
|f (x) − 5 | = | 3 x − 3 | = 3|x − 1 |.
2.2 L´ımite de una funci´on en un punto. Propiedades e indeterminaciones. ma t
L
x 0
L+ε L−ε
x 0 −δ (^) x 0 +δ
Fig. 2.8: L´ımite de una funci´on en un punto.
Basta entonces tomar δ < ε/3. De este modo, si 0 < |x − 1 | < δ, se tiene |f (x) − 5 | = 3 |x − 1 | < 3 δ < ε, y por tanto cumple la definici´on.
Considerar la diferencia x − x 0 en valor absoluto indica que podemos tomar valores mayores o menores que x 0. Sin embargo, suponer que el punto x es siempre mayor (o siempre menor) que x 0 nos lleva a la noci´on de l´ımite lateral
Definici´on 127 (L´ımites laterales).- Sea f : A ⊂ IR → IR una funci´on real de variable real y sea x 0 ∈ IR un punto de acumulaci´on de A ∪ [x 0 , ∞) (A ∪ (−∞, x 0 ]). Se dice que el l´ımite por la derecha (por la izda) de la funci´on f (x) cuando x tiende a x 0 es L, y se representa por lim x→x+ 0
f (x) = L, ( lim x→x− 0
f (x) = L)
si ∀ε > 0, existe δε > 0 tal que ∀x ∈ A, con x > x 0 (x < x 0 ) cumpliendo que |x − x 0 | < δε, se tiene |f (x) − L| < ε.
Evidentemente, si existe el l´ımite ordinario de la funci´on en un punto x 0 , este n´umero L ser´a a su vez l´ımite por la derecha y l´ımite por la izquierda en x 0. Sin embargo, puede ocurrir que una funci´on admita los dos l´ımites laterales en x 0 y que estos sean distintos, con lo cual no podr´a tener l´ımite ordinario en x 0.
Ejemplo 128.- Calculamos lim x→ 0 sg(x) donde sg(x) =
1 , si x > 0 0 , si x = 0 − 1 , si x < 0
lim x→ 0 +^
sg(x) = 1
lim x→ 0 −^ sg(x) = − 1
lim x→ 0 sg(x) No existe
Se puede extender la definici´on de l´ımite si trabajamos con la recta real ampliada, es decir, si consideramos los valores +∞ y −∞.
Definici´on 129 (L´ımites en el infinito).- Sea f : A −→ IR. Se tienen las siguientes definiciones:
2.2 L´ımite de una funci´on en un punto. Propiedades e indeterminaciones. ma t
L
x 0
x 0 −δ (^) x 0 +δ
Fig. 2.10: Funci´on acotada.
L
x 0
x 0 −δ x 0 +δ
Fig. 2.11: Teorema del signo.
- Signo. Si L 6 = 0, existe un entorno E(x 0 , δ) tal que f tiene el mismo signo que L en E∗(x 0 , δ) ∩ A.
Hay una caracterizaci´on secuencial del l´ımite, utilizando sucesiones. Puede servir en sentido negativo, para demostrar la no existencia del l´ımite.
Proposici´on 132 (Convergencia por sucesiones).- Sea f : A → IR y x 0 un punto de acumulaci´on de A. Entonces
xlim→x 0 f (x) = L ⇐⇒ para toda sucesi´on {xn}∞ n=1 tal que (^) nlim→∞ xn = x 0 se tiene
nlim→∞ f^ (xn) =^ L.
Ejemplo 133.- Calcula lim x→ 0 sen
( π x
)
. Tomamos las sucesiones
xn =
n
, n ∈ IN, f (xn) = 0.
xn =
1 + 4 n
, n ∈ IN, f (xn) = 1.
xn =
3 + 4 n
, n ∈ IN, f (xn) = − 1.
Luego el l´ımite no existe.
2.2 L´ımite de una funci´on en un punto. Propiedades e indeterminaciones. ma t
−1−1 −0.5 0 0.5 1
−0.
−0.
−0.
−0.
0
0.
0.
0.
0.
1
Fig. 2.12: Funci´on lim x→ 0 sen
( π x
) .
Proposici´on 134 (Desigualdades entre funciones y l´ımites).- Sean f, g, h : A → IR funciones reales, x 0 punto de acumulaci´on de A y sea k ∈ IR.
- Si L = lim x→x 0 f (x), entonces:
- Si k < L ⇒ k < f (x) para x en un entorno reducido de x 0.
- Si k < f (x) para x en un entorno reducido de x 0 ⇒ k ≤ L.
- Si L 1 = limx→x 0 f (x) y L 2 = limx→x 0 g(x) entonces:
- Si L 1 < L 2 ⇒ f (x) < g(x) para x en un entorno reducido de x 0.
- Si f (x) < g(x) para x en un entorno reducido de x 0 ⇒ L 1 ≤ L 2.
- Regla del emparedado. Si L = lim x→x 0 f (x) = lim x→x 0 h(x) y f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) en un entorno reducido de x 0 , entonces L = lim x→x 0 g(x).
Se tienen las mismas propiedades cambiando las desigualdades de sentido.
Ejemplo 135.- Si f (x) = −x^2 , h(x) = x^2 , g(x) = x^2 sin
( 1 x
) , entonces, para x 6 = 0, se
cumple f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), por lo que
lim x→ 0 g(x) = 0.
Las propiedades aritm´eticas de los l´ımites nos proporcionan una segunda herramienta de c´alculo. Son las que uno razonablemente espera.
Proposici´on 136 ( ´Algebra de l´ımites).- Sean L 1 = lim x→x 0 f (x) y L 2 = lim x→x 0 g(x), L 1 y
L 2 valores finitos, entonces
- (^) xlim→x 0 (f (x) + g(x)) = limx→x 0 f (x) + limx→x 0 g(x) = L 1 + L 2.
- (^) xlim→x 0 (f (x) g(x)) = limx→x 0 f (x) limx→x 0 g(x) = L 1 L 2.
- (^) xlim→x 0
( f (x) g(x)
)
xlim→x 0 f (x)
xlim→x 0
g(x)
L 1
L 2
, si L 2 6 = 0.
2.2 L´ımite de una funci´on en un punto. Propiedades e indeterminaciones. ma t
• 1 ∞; 00 ; ∞^0
Infinit´esimos e infinitos. Principio de sustituci´on
Como en el caso de sucesiones, a continuaci´on introducimos los conceptos de infinit´esimo e infinito, herramientas fundamentales en el c´alculo de l´ımites:
Definici´on 137.- Se dice que una funci´on f (x) es un infinit´esimo en x 0 si lim x→x 0 f (x) = 0.
Proposici´on 138.- Si f (x) es un infinit´esimo en x 0 y g(x) est´a acotada en un E(x 0 , δ), entonces f (x) g(x) es un infinit´esimo en x 0.
Definici´on 139.- Una funci´on f (x) se dice que es un infinito en x 0 si limx→x 0 f (x) = ∞.
Una regla ´util para resolver indeterminaciones es el principio de sustituci´on, que per- mite sustituir una funci´on por otra m´as sencilla (normalmente, infinito o infinit´esimo) bajo ciertas condiciones. El principio est´a basado en el establecimiento de una forma de comparar funciones.
Definici´on 140.- Sean f, g : A → IR dos funciones reales de variable real y x 0 un punto de acumulaci´on de A.
- Se dice que g(x) es una o peque˜na de f (x) en x 0 y se escribe g(x) = o(f (x)), x → x 0 , si g(x)/f (x) es un infinit´esimo en x 0.
- Se dice que g(x) es una o grande de f (x) en x 0 y se escribe g(x) = O(f (x)), x → x 0 , si existe K > 0 y un entorno reducido de x 0 tal que para x en dicho entorno se cumple que |g(x)| < K|f (x)|.
- Se dice que f y g son equivalentes en x 0 (y se escribe f ∼ g, x → x 0 ) si g(x)−f (x) = o(f (x)), x → x 0. En particular, si f no se anula en un entorno de x 0 , entonces f ∼ g, x → x 0 , si (^) xlim→x 0
g(x) f (x)
= 1. As´ı, dos funciones equivalentes en x 0 tienen el mismo l´ımite en x 0.
Las equivalencias de mayor inter´es se suelen dar entre infinit´esimos.
Ejemplo 141 (Equivalencias ´utiles entre infinit´esimos).- Si lim x→x 0 f (x) = 0
sen f (x) ∼ f (x) tan (f (x)) ∼ f (x) arcsenf (x) ∼ f (x) arctgf (x) ∼ f (x) 1 − cos f (x) ∼ f (x)^2 / 2 ln(1 + f (x)) ∼ f (x) (1 + f (x))p^ − 1 ∼ pf (x) ef^ (x)^ − 1 ∼ f (x) bf^ (x)^ − 1 ∼ f (x) ln(b)(b > 0)
Ejemplo 142 (Equivalencias ´utiles entre infinitos).- akxk^ + ak− 1 xk−^1 + · · · + a 1 x + a 0 ∼ akxk^ (ak 6 = 0) si x → ±∞
ln(akxk^ + ak− 1 xk−^1 + · · · + a 1 x + a 0 ) ∼ k ln x (ak > 0) si x → ±∞
2.2 L´ımite de una funci´on en un punto. Propiedades e indeterminaciones. ma t
La comparaci´on entre funciones lleva al principio de sustituci´on. Este afirma que, en´ el c´alculo de l´ımites, podemos sustituir una funci´on por otra equivalente (en el punto l´ımite) en un producto o cociente (pero no, por ejemplo, en sumas o restas) sin que var´ıe el l´ımite.
Proposici´on 143 (Principio de sustituci´on).- Si g(x) y h(x) son equivalentes en x 0 y f es una funci´on cualquiera, entonces
xlim→x 0 g(x)f (x) = limx→x 0 h(x)f (x) y (^) xlim→x 0
f (x) g(x)
= limx→x 0
f (x) h(x)
siempre que estos l´ımites existan.
Este principio y otras reglas comunes nos permiten ilustrar la resoluci´on de los dife- rentes tipos de indeterminaci´on (cf. Tema 1).
Ejemplo 144 (Algunos l´ımites a tener en cuenta).-
x^ lim→∞(1 + 1/x)x^ =^ e^ ≈^2.^718281 ...
x^ lim→x 0
( 1 +
f (x)
)f (x) = e, (^) xlim→x 0 f (x) = ∞
lim x→±∞
xp^
= 0, p > 0 , lim x→ 0
xp^
{ +∞ si p es par No existe si p es impar
xlim→∞ akxk^ +^ ak−^1 xk−^1 +^ · · ·^ +^ a^1 x^ +^ a^0 =
{ +∞ si ak > 0 −∞ si ak < 0
xlim→∞
apxp^ + ap− 1 xp−^1 + · · · + a 1 x + a 0 bqxq^ + bq− 1 xq−^1 + · · · + b 1 x + b 0
(+∞)signo(ap/bq) si p > q ap/bq si p = q 0 si p > q
lim x→+∞ ax^ =
{ +∞ si a > 1 0 si 0 < a < 1
lim x→−∞ ax^ =
{ 0 si a > 1 +∞ si 0 < a < 1 Ejemplos de aplicaci´on:
xlim→∞
x^2
= lim x→∞
x^3 /^2
= lim x→∞
√ (^5) x = 0.
x^ lim→∞
3 x+ 2 x^
= +∞ (^) xlim→∞
x 2 x^
lim x→ 0
x^4
= lim x→ 0
x^2
= 0, lim x→ 0
x
no existe.
Ejemplo 145 (Indeterminaciones de Tipo I:
x^ lim→∞
2 x^3 − x^2 + x + 1 x^2 + 2x − 1
= +∞, (^) xlim→∞
− 2 x^3 − x^2 + x + 1 x^2 + 1
= −∞, (^) xlim→∞
x^4 + 1 3 x^4 + 2x − 1
x^ lim→∞
− 2 x^4 − x^2 + x + 1 x^4 + 2x^3 − 1
= − 2 , (^) xlim→∞
2 x^3 − x^2 + x + 1 x^4 + 2x − 1
= 0, (^) xlim→∞
−x + 1 x^2 + 2x − 1
2.3 Continuidad y propiedades ma t
Ejemplo 147 (Indeterminaciones de Tipo III: 1 ∞, ∞^0 , 00 ).- Como hemos visto, si f (x) → L 1 , g(x) → L 2 cuando x → x 0 , entonces f (x)g(x)^ → LL 1 2 , siempre que todas las potencias tengan sentido. Este l´ımite est´a indeterminado en los casos: (1) L 1 = L 2 = 0 (indeterminaci´on 0^0 ); (2) L 1 = ∞, L 2 = 0 (indeterminaci´on ∞^0 ); (3) L 1 = 1, L 2 = ±∞ (indeterminaci´on 1∞).
Siempre que tenga sentido, estas tres indeterminaciones suelen resolverse escribiendo
f (x)g(x)^ = eln(f^ (x) g(x)) = eg(x) ln(f^ (x))^ de modo que lim x→a f (x)g(x)^ = e xlim→a g(x) ln(f^ (x)) , con lo que
se reducen al c´alculo de lim x→a g(x) ln(f (x)), que en los tres casos es una indeterminaci´on
del tipo 0(±∞).
Ejemplo 1.
x→lim+∞
( (^) 1 + x
1 + x^2
) 1 /x = 1,
pues
x→lim+∞
x
ln
( (^) 1 + x
1 + x^2
) = 0.
Ejemplo 2.
xlim→∞(x^ + 2x)
2 + 3x (^) = 3
2 (¿por qu´e?).
Ejemplo 3.
lim x→0+ (1 + x)
x (^) = e,
porque
lim x→0+
x
ln(1 + x) = lim x→0+
x x
2.3 Continuidad y propiedades
La definici´on de l´ımite de una funci´on en un punto no tiene en cuenta inicialmente, como hemos dicho, el valor de la funci´on en ´el (que puede incluso que no exista). Cuando este valor entra en juego, aparece el concepto de continuidad.
Definici´on 148 (Funci´on continua en un punto).- Se dice que f : A −→ IR es con- tinua en un punto x 0 ∈ A, si es un punto aislado de A ´o si es un punto de acumulaci´on y ∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ A con |x − x 0 | < δ se tiene que |f (x) − f (x 0 )| < ε, es decir si lim x→x 0 f (x) = f (x 0 ). Una funci´on que no es continua en c se dice que tiene una discontinuidad en ese punto.
2.3 Continuidad y propiedades ma t
Gr´aficamente, la definici´on significa lo siguiente: f es continua x 0 si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que la ventana de altura 2 ε y anchura 2δ, centrada en el punto (x 0 , f (x 0 )), deja ver la gr´afica de f la base de la ventana. Esta deja ver pasar la funci´´ on desde su jamba izquierda a su jamba derecha, sin salirse ni por arriba ni por abajo.
Definici´on 149.- Una funci´on f se dice que es continua en un conjunto A si y s´olo si f es continua en todos los puntos del conjunto A.
Como en el caso del l´ımite de una funci´on en un punto, puede hablarse de continuidad por la izquierda o por la derecha de una funci´on en un punto.
Definici´on 150.- Se dice que f : A −→ IR es continua por la derecha en un punto x 0 ∈ A si y s´olo si lim x→x 0 +
f (x) = f (x 0 ).
Definici´on 151.- Se dice que f : A −→ IR es continua por la izquierda en un punto x 0 ∈ A si y s´olo si lim x→x 0 − f (x) = f (x 0 ).
La expresi´on limx→x 0 f (x) = f (x 0 ) es equivalente a la expresi´on lim h→ 0
f (x 0 + h) = f (x 0 ).
Discontinuidades
Seg´un hemos visto, para que f sea continua en un punto de acumulaci´on x 0 se han de verificar las condiciones siguientes:
- f debe estar definida en x 0.
- Debe existir lim x→x 0 f (x).
- (^) xlim→x 0 f (x) = f (x 0 ).
De las tres, la m´as exigente es la segunda. Si se cumple que existe L = (^) xlim→x 0 f (x) y
no se verifican las otras dos, sin m´as que redefinir f (x 0 ) = L (tanto si no exist´ıa f (x 0 ) como si exist´ıa f (x 0 ) pero no val´ıa L) se consigue que f pase a ser continua en x 0. As´ı, las discontinuidades en puntos de acumulaci´on del dominio se clasifican en funci´on de la existencia o no, y de la coincidencia o no, de los l´ımites laterales de la siguiente manera.
- De primera especie: si existen los dos l´ımites laterales
- Evitable: si lim x→x 0 f (x) existe y es finito.
- Infinita: si lim x→x 0 f (x) existe y no es finito.
- De salto: si lim x→x 0 f (x) no existe
∗ De salto finito: si los l´ımites laterales son finitos. ∗ De salto finito: si al menos uno de los l´ımites laterales es infinito.
- De segunda especie: si alguno de los l´ımites laterales no existen.
2.4 Teoremas fundamentales sobre funciones continuas en intervalos ma t
- f + g es continua en el punto x 0.
- f g es continua en el punto x 0.
- f /g es continua en el punto x 0 siempre que g(a) 6 = 0.
- |f | es continua en el punto x 0.
- max {f, g}(x) y min {f, g}(x) son continuas en el punto x 0.
Proposici´on 158 (Composici´on de funciones continuas).- Si f es una funci´on con- tinua en un punto x 0 y g es otra funci´on continua en f (x 0 ), entonces g ◦ f es continua en el punto x 0.
Proposici´on 159 (Continuidad de las funciones elementales).- V´ease el ap´endice al final del Tema 3.
2.4 Teoremas fundamentales sobre funciones conti-
nuas en intervalos
A trav´es de propiedades locales de una funci´on, como es la continuidad, se pueden dar resultados sobre su comportamiento global. A continuaci´on se presentan los resultados m´as importantes sobre funciones definidas y continuas en intervalos.
Teorema 160 (Bolzano).- Sea f una funci´on continua en el intervalo [a, b] tal que f (a) f (b) < 0, entonces ∃c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
−2−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−
0
1
2
3
4
5
6
f(c)=
a f(a)<0 b
f(b)>
Fig. 2.13: Teorema de Bolzano.
Ejemplo 161.- ¿Hay alg´un n´umero que x que sea exactamente una unidad mayor que su cubo? Tal x, si existe, debe verificar
x^3 + 1 = x ⇒ f (x) = x^3 − x + 1 = 0
. Como f (−2) = − 5 < 0, f (0) = 1 > 0 y f es continua en [− 2 , 0], por el teorema de Bolzano, existe un valor c ∈ (− 2 , 0) tal que f (c) = 0.
2.4 Teoremas fundamentales sobre funciones continuas en intervalos ma t
−2−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−
0
1
2
3
4
5
6
a b
Fig. 2.14: Teorema de acotaci´on.
Teorema 162 (Acotaci´on).- Sea f una funci´on continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f est´a acotada en dicho intervalo. Es decir el conjunto imagen por la funci´on f del intervalo [a, b] es un conjunto acotado.
Ejemplo 163.- Es necesario que el intervalo sea cerrado. Consid´erese, por ejemplo, f : (0, 1] → IR, f (x) = 1/x, que es continua en (0, 1], pero no est´a acotada.
Teorema 164 (Transformaci´on en intervalo).- Sea f una funci´on continua en un in- tervalo I ⊂ IR, entonces f (I) es un intervalo de IR (¡pero no tiene por qu´e ser del mismo tipo que I!).
Teorema 165 (Weierstrass).- Si f es una funci´on continua en el intervalo [a, b], enton- ces f alcanza un m´aximo y un m´ınimo en [a, b]. Es decir: ∃α ∈ [a, b] tal que f (x) ≤ f (α), ∀x ∈ [a, b] y ∃β ∈ [a, b] tal que f (x) ≥ f (β), ∀x ∈ [a, b].
−4−0.5 0 0.
−
−
−
0
1
2
3
4
a b
m
M
Fig. 2.15: Teorema de Weierstrass.
Ejemplo 166.- Es necesario que el intervalo ea cerrado. Consid´erese, por ejemplo, f : (0, 1) → IR, f (x) = x, que es continua en (0, 1), pero no alcanza sus extremos en (0, 1).
Teorema 167 (Valores intermedios).- Si f es una funci´on continua en el intervalo [a, b], y M y m son respectivamente los valores m´aximo y m´ınimo que toma la funci´on f en el intervalo [a, b], entonces: ∀c con m < c < M , ∃x ∈ (a, b) tal que f (x) = c.
