Regresión Simple: Análisis de la Correlación Lineal entre Dos Variables, Apuntes de Estadística

¡Descarga Regresión Simple: Análisis de la Correlación Lineal entre Dos Variables y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!

Regresión Simple.

Consideramos dos variables X e Y, que medimos conjuntamente:

X Y

x 1

x 2

xn

y 1

y 2

yn

Observaciones

Por ejemplo: X=distancia a una planta industrial, Y=contaminación por cierto elemento, peso y altura, nivel de CO 2 en una ciudad y nº de habitantes, etc.

Sin embargo, cuando trabajamos con variables estadísticas, la situación que se da es…

En los casos anteriores decimos que entre las variables X e Y existe correlación (ó que X e Y son variables correladas). El tipo de correlación tiene que ver con el tipo de función que ajusta bien la relación entre X e Y:

Lineal Cuadrática

Exponencial Cúbica

Dadas dos variables X e Y (continuas),

• (^) ¿Están linealmente correlacionadas? Supone evaluar la idoneidad de un modelo del tipo Y = a + bX para predecir la variable Y a partir de la variable X…

Dadas dos variables X e Y (continuas),

• (^) ¿Funciona bien algún otro tipo de correlación (cuadrática, cúbica, exponencial, …)?

Este es el problema de la regresión simple.

(Se habla de regresión lineal, cuadrática, exponencial… Nosotros nos centraremos en el modelo más común, que es el lineal )

Si la nube de puntos sugiere la existencia de correlación lineal, tiene sentido buscar cuál es la recta que “mejor” aproxima la nube de puntos ( recta de regresión )

0 100 200 300 400

0

20

40

60

80

100

120

Y = a + bX

b: pendiente a: ordenada en el origen

Corr. directa o positiva: b>0; corr. inversa o negativa: b< (si b=0 se entiende que no hay correlación lineal)

0 100 200 300 400

0

20

40

60

80

100

120

y i (^) :valor real

• (^) Sirve para hacer predicciones sobre y (conocido x ).
• (^) Residuo de cada observación : diferencia entre el valor real, y el valor predicho.
• (^) La recta de regresión se obtiene por el método de mínimos cuadrados: es aquella que hace mínima la suma de los cuadrados de los residuos).

0 100 200 300 400

0

20

40

60

80

100

120

y ˆ i

Valor predicho: y ˆ^ i  a  bxi

Residuo: diferencia entre el valor real y el valor predicho

Y  a  bX

a  y  b x

Media marginal de Y

Media marginal de X

2 x

xy

S

S

b 

Varianza marginal de X

Covarianza

Ecuación de la recta de regresión y/x :

Coeficiente de correlación lineal de Pearson.

x y

xy S S

S



 

-1 -0.9 -0.5 0 0.5^ 0.9^1

Débil - Débil +

Moderada - Moderada +

Fuerte - (Fuente: Susan Milton, Fuerte + p.412)

¿Basta con esto para evaluar la bondad del

modelo? NO!!

Ejemplos de ANSCOMBE: cuatro conjuntos de datos, todos con el mismo coeficiente de correlación (0.8164), pero “muy distintos”…

Gráfico del Modelo Ajustado

x

y

4 6 8 10 12 14

4,

6,

8,

10,

12,

Razonable…

Gráfico del Modelo Ajustado

x

y

4 6 8 10 12 14

3,

5,

7,

9,

11,

No hay linealidad…