Modelo de Regresión Múltiple: Funcionamiento, Interpretación y Bondad de Ajuste, Apuntes de Econometría

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Econometría (3º GADE)

TEMA 2

EL ESTIMADOR MCO

S. Álvarez, A. Beyaert, M. Camacho, M. González, A. QuesadaDepartamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa

Econometría (3º GADE)

Tema 2

Lo que estudiaremos en este tema: 1.^

El modelo de regresión múltiple

2.^

Funcionamiento e interpretación del estimador MCO 2.1 Introducción2.2 Estimación MCO. Modelo de regresión simple2.3 Estimación MCO. Modelo de regresión múltiple2.4 Estimación MCO. Interpretación2.5 Propiedades algebraicas del estimador MCO2.6 Bondad del ajuste: R-cuadrado2.7 Bondad del ajuste: R-cuadrado ajustado

3.^

Unidades de medida y forma funcional 3.1 Unidades de medida3.2 Formas funcionales

Bibliografía básica: Wooldridge, 2008, cap. 2, 3 y 6

Econometría (3º GADE)

Tema 2

1.^

El modelo de regresión múltiple

0

1 1

k^ k

y^

x^

...^

x

-^ Los

coeficientes

son

efectos

ceteris

paribus

,^ si

se

cumple

el

supuesto de

media condicionada nula:

Dos implicaciones:

• Es

un^

supuesto

clave.

Implica

que

el^

valor

esperado

de^

^ sea

independiente de los valores de

x,…,xk^1

• No es restrictivo, cumpliéndose lo anterior, siempre que el modeloincluya término constante

E^  

^ 

^

^

2

k 1 E^

x , x ,

, x

E^

^

^

^ 

^

^

2

k 1 E^

x , x ,

, x

E

^

^

Econometría (3º GADE)

Tema 2

1.^

El modelo de regresión múltiple

0

1 1

k^ k

y^

x^

...^

x

-^ Es un

modelo lineal en parámetros

-^ La interpretación de

es:^1 1

2

3

k

y^1

x^

x^

...^

x^

 x  ^

^

 ^

^

 ^

^

si

Econometría (3º GADE)

Tema 2

2.^

Funcionamiento e interpretación del estimador MCO2.1 Introducción

-^ Objetivo: estimar

,^0

dek^

la función de regresión poblacional

-^ Necesitamos una

muestra

de la población

•^

son los valores estimados de los coeficientes y definen la

función de regresión muestral • La diferencia entre el valor verdadero y el ajustado es el

residuo

0

1 1

k^ k

y^

x^

...^

x

i^

0

1 1i^

k^ ki^

i

y^

x^

x^

;^ i^

1,^

, N

 ^

^ 

i^

0

1 1i^

k^ ki

ˆ^

ˆ^

ˆy^

x^

x

i^

i^

i^

i^

0

1 1i^

k^ ki

ˆ^

ˆ^

e^

y^

y^

y^

x^

x

^

^

^

^

1

k^

0

1 1

k^ k

E y x ,

, x

x^

x

^

0 1

k ˆ^ ˆ^

,^ ,^

^ 

Econometría (3º GADE)

Tema 2

2.^

Funcionamiento e interpretación del estimador MCO2.2 Estimación MCO. Modelo de regresión simple

0

1 y^

x    

^

E y x 

E y x

x

^

E y x

x

^

E y x

x

^

^

0

1

E y x

x     x

x^3 x^2 x^1

y

Función de regresiónFunción de regresiónpoblacionalpoblacional

Ilustración gráfica en modelo de regresión simple:

Econometría (3º GADE)

Tema 2

2.^

Funcionamiento e interpretación del estimador MCO2.2 Estimación MCO. Modelo de regresión simple

0

1 y^

x    

^

E y x 

E y x

x

^

^

0

1

E y x

x     x

x^3

y

Función de regresiónpoblacional

y^3

^3

Econometría (3º GADE)

Tema 2

2.^

Funcionamiento e interpretación del estimador MCO2.2 Estimación MCO. Modelo de regresión simple

En general, para la observación “i”

x^ i

x

0

1 y^

x    

Función de regresiónpoblacional^ ^

^

0

1

E y x

x    

^ i

^



i^

i^

i^

0

1 i

i y^

E y x

y^

x

 ^

^

^

^

i

E y x

x y^ i

^

E y x

y

Econometría (3º GADE)

Tema 2

2.^

Funcionamiento e interpretación del estimador MCO2.2 Estimación MCO. Modelo de regresión simple

0

1 y^

x    

i^

0

1 i ˆ^

ˆy^

x    

x

y

Función de regresiónmuestral, que tenemosque obtener a partir delos datos de la muestra

Econometría (3º GADE)

Tema 2

2.^

Funcionamiento e interpretación del estimador MCO2.2 Estimación MCO. Modelo de regresión simple

0

1 y^

x    

i^

0

1 i ˆ^

ˆy^

x    

i^

i e^  

y^ i

i^

i^

i^

i^

0

1 i ˆ^

e^

y^

y^

y^

x

^

^

^

x

xi

y ˆyi

Función de regresiónmuestral

Econometría (3º GADE)

Tema 2

2.^

Funcionamiento e interpretación del estimador MCO2.2 Estimación MCO. Modelo de regresión simple

0

1 y^

x    

i^

0

1 i

ˆ^

ˆy^

x

x

y

^

^

0

1

E y x

x    

Residuo “e

” vs. error “i

“i

dato i-ésimo de lamuestra

Econometría (3º GADE)

Tema 2

2.^

Funcionamiento e interpretación del estimador MCO2.2 Estimación MCO. Modelo de regresión simple

i^

0

1 i ˆ^

ˆy^

x    

-^ MCO escoge

para minimizar la suma de los cuadrados de los

residuos:• Las condiciones de primer orden son:

0

1 ˆ^

ˆy ^

 ^

^

^

0 1

0 1

N^

2 i^

0

1 i^

0 1

b ,b^

b ,b

i 1 Min

y^

b^

b x^

Min Q b , b



^

^

^

0 1 1 0 0 1 1 0 1 0

ˆ^ ˆb ,b 0 1 1

ˆ^ ˆb ,b Q b , b

b Q b , b^

b

^  ^ 

^

-^ Mínimos Cuadrados Ordinarios

(MCO),

regresión simple

-^ Buscamos

i^

0

1 i^

i

y^

x^

;^ i^

1,^

, N

Econometría (3º GADE)

Tema 2

2.^

Funcionamiento e interpretación del estimador MCO2.3 Estimación MCO. Modelo de regresión múltiple

-^ Condiciones de primer orden:

i^

0

1 1i^

k^ ki

ˆ^

ˆ^

ˆy^

x^

...^

x

^

^

^

0 1

k^

0 1

k

N^

2

i^

0

1 1i^

k^ ki^

0 1

k

b ,b ,^

,b^

b ,b ,^

,b

i 1 Min^

y^ b

b x

b x

Min^

Q b , b ,...b



^

^

^ 



^

^

0 1 1

k^

k 0 0 1

1

k^ k

0 1

k 0

ˆ^ ˆ

ˆ b^ ,b

,...,b

0 1

k k^

ˆ^ ˆ

ˆ b^ ,b

,...,b

Q b , b ,..., b

b Q b , b ,..., b

b

^ 

 ^ 



^

^

-^ R

egresión múltiple

-^ Buscamos:•^ MCO escoge

para minimizar la suma de los cuadrados de

los residuos:

0 1

k ˆ^ ˆ

,^ ,^

^ 

i^ 

0

1 1i^

k^ ki^

i

y^

x^

...^

x^

i^ 1,

, N

 ^

Econometría (3º GADE)

Tema 2

2.^

Funcionamiento e interpretación del estimador MCO2.3 Estimación MCO. Modelo de regresión múltiple

-^ El

sistema de ecuaciones normales

es:

-^ Resolviendo obtenemos

0

1

k ˆ^ ˆ^

,^ ,^

^ 

^

^

^

N

i^

0

1 1i^

k^ ki

i 1N 1i

i^

0

1 1i^

k^ ki

i 1 N ki

i^

0

1 1i^

k^ ki

i 1

ˆ^

ˆ^

y^

x^

...^

x^

ˆ^

ˆ^

x^ y

x^

...^

x^

ˆ^

ˆ^

x^ y

x^

...^

x^

  

 ^  