¡Descarga Cálculo del Potencial Eléctrico Generado por Distintas Configuraciones de Cargas y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Electromagnetismo solo en Docsity!
2. Potencial elèctric. Dipol elèctric.
2.1 Un anell circular de radi a està carregat amb una densitat de càrrega λ uniforme. Determini
el potencial elèctric que crea en punts del seu eix.
El potencial creat per un dq de l’anell en el punt (0,0, z )
és:
2 2 0 0
dq dq dV
πε r πε a z
2 2 a + z és la distància del dq al punt on calculem el
potencial
El valor del dq és: dq = λ dl =λ a d ϕ
2 2 2 2 0 0
dq a d dV a z a z
Cal sumar la contribució de tots els dq , és a dir fer la integral:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 (^0 0 0 0 )
anell
dq a d a a V a z a z a z a z
π
∫ ∫
En termes de la càrrega total de l’anell:
2 2 0
Q
Q a V a z
Si el punt està molt allunyat de l’anell:
2 2 4 0 4 0
Q Q
z a V πε a z^ πε z
es comportaria com una càrrega puntual
2.2 Un disc de radi a està carregat amb una densitat σ uniforme. (a) Calculi el potencial
elèctric en els punts del seu eix. (b) A partir del potencial i de consideracions de simetria
determini el camp elèctric. (c) Determini el camp elèctric quan a → ∞.
Podem descompondre el disc en anells i, a partir del resultat del problema 2.1, utilitzarem el
principi de superposició per determinar el potencial creat pel disc.
Del problema 2.1:
2 2 (^40)
Q
V
πε r z
Podem considerar l’anell
com una corona circular
de radi interior r i radi
exterior r + dr. En aquest
cas, la càrrega d’aquesta
corona infinitesimal
seria:
dq = σ 2 π r dr
El potencial en (0,0, z ) creat per aquesta corona circular infinitesimal seria:
2 2 0
r dr dV r z
Per determinar el potencial en (0,0, z ) caldrà integrar per
tot el disc:
2 2 (^0 )
a r dr V r z
2 2 2 2 (^2 2 ) (^2 0 02 0 )
a (^) a r dr V r z a z z r z
Per a punts de l’eix z, donada la simetria del problema, el camp només tindrà component en
la direcció z.
Determinarem el camp elèctric a partir del gradient del potencial.
2.3 Una esfera de radi a té una càrrega Q uniformement distribuïda. A partir dels resultats
del problema 1.13, determini el potencial elèctric en funció de la distància r al centre de
l'esfera.
Resultats del problema 1.13:
Carrega distribuïda uniformement sobre la superfície:
r < a E = 0
2 (^4 )
r
Q
r a E a
πε r
Carrega distribuïda uniformement en el volum:
3 (^4 )
r
Q r r a E a
πε a
2 0
r
Q
r a E a
πε r
a) Com no hi ha càrrega a l’infinit, prendrem l’origen de potencials a l’infinit i
determinarem el potencial a partir de la circulació del camp.
Punts exteriors a l’esfera ( r > a ):
2 2 2 0 0 0 0 0
r r r r^ r
r
Q Q Q dr Q Q V r V V r E dl a dl dr
πε r πε r πε r πε r ∞ πε r
∞ ∞ ∞ ∞
∫ ∫ ∫ ∫
^
Punts interiors a l’esfera ( r < a ):
2 2 0 0
2 0 0 0
r a r a r a
r a r a r a a
a a
Q Q
V r V V r E dl E dl E dl a dl dl dr r r
Q dr Q Q
r r a
< ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
En resum:
0
Q
r a V r πε a
0
Q
r a V r
πε r
b) Com no hi ha càrrega a l’infinit, prendrem l’origen de potencials a l’infinit i
determinarem el potencial a partir de la circulació del camp.
Punts exteriors a l’esfera ( r > a ):
2 2 2 0 0 0 0 0
r r r r^ r
r
Q Q Q dr Q Q V r V V r E dl a dl dr
∞ ∞ πε r^ ∞ πε r^ πε ∞ r^ πε r^ ∞ πε r
∫ ∫ ∫ ∫
Punts interiors a l’esfera ( r < a ):
2 3 0 0
2
2 3 2 3 3 0 0 0 0 0 0
3 0 0
r a r a r
r a r a r r a a
a r a r a r
a a (^) a
Q Q r V r V V r E dl E dl E dl a dl a dl r a
Q Q r Q dr Q Q Q r dr dr r dr r a r a r a
Q Q
a a
< ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞
^
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
^ ^ ^ ^
( ) ( )
2 2 2 2 3 0
Q
a r a r
πε a
En resum:
( )
2 2 3 0
Q
r a V r a r
πε a
0
Q
r a V r
πε r
2
1
W ext = (^) ∫ Fext ⋅ dl
Si el desplaçament de la càrrega és sense acceleració:
Fext + FE = 0 ⇒ Fext = − FE = − q E ⋅
( ) ( )
2 2 2
2 1 1 2 1 1 1 0
ext ext E
q a W F dl F dl q E dl q V V q V V
∫ ∫ ∫
^ ^
Si la càrrega fos positiva, el treball seria negatiu. Això vol dir que la força que fa l’agent
extern s’oposa al desplaçament de la càrrega.
El camp faria que la càrrega s’accelerés anant d’1 cap a 2 i l’agent extern s’oposa a la força
del camp fent que la força total sigui nul·la.
2.5 En el model de Bohr de l'àtom d'hidrogen, l'electró gira al voltant del nucli en una òrbita
circular de radi R. Determini R a partir del valor mesurat de l'energia d’ionització (energia
necessària per separar l'electró) que és 13.6 eV.
L’energia total de l’electró és la suma de la seva energia
cinètica i la seva energia potencial.
L’energia potencial de l’electró és el producte de la càrrega
de l’electró pel potencial que crea el protó en el punt on hi
ha l’electró:
P
e U e πε R
L’energia cinètica de l’electró és la que li correspon a la
velocitat amb la qual orbita al voltant del protó:
U C = m ve
L’única força que actua sobre l’electró és la força atractiva entre protó i electró i, com el
moviment és circular, l’acceleració resultant és centrípeta:
2 2 2 2 2 (^4 0 )
p e e e
e v e F m m v πε R R πε R
− =^ =^ ⇒^ =
2 2 2 2
0 0 0 0
P C e
e e e e U U U e m v
πε R πε R πε R πε R
Aquesta energia és la que correspon a l’estat de l’electró. Per ionitzar l’àtom caldrà
proporcionar una energia d’aquest valor (amb signe positiu).
L’energia d’ionització és:
19 18 U (^) i 13, 6 eV 13, 6 1, 6 10 2,18 10 J
− − = = × × = ×
2 2 11
0 0
5,3 10 m 53 pm 8 8
i i
e e U R
πε R πε U
− = ⇒ = = × =
2.7 Tres càrregues puntuals de valor q estan situades als vèrtexs d’un triangle equilàter de
costat a. Determini: (a) l’energia potencial d’una càrrega pel fet d’estar en presència de les
altres dues, (b) l’energia del sistema de les tres càrregues.
a) Determinem l’energia potencial de la càrrega q 1 pel fet d’estar
en presència de les altres dues:
U 1 (^) = q V 1 1 (^) = q 1 (^) ( V 21 (^) + V 31 )
V 1 és el potencial en el punt on hi ha la càrrega q 1
V 21 és el potencial creat per la q 2 en el punt on hi ha q 1
V 31 és el potencial creat per la q 3 en el punt on hi ha q 1
2 2
21 31 1 0 0 0
q q q V V U
πε a πε a πε a
Anàlogament l’energia potencial de les altres dues càrregues seria:
( ) ( )
2
2 2 2 2 12 32 3 3 3 3 13 23 1 2 3 (^20)
q U q V q V V U q V q V V U U U πε a
b) L’energia del sistema format per les tres càrregues no serà la suma de les tres energies
potencials. Estaríem comptant dues vegades cada interacció:
U ≠ U 1 + U 2 + U 3
Per a determinar l’energia potencial del sistema, hem de calcular el treball que cal que faci
un agent extern per constituir-lo, és a dir, per portar les tres càrregues des de l’infinit fins
als 3 vèrtexs del triangle.
El treball per portar la primera càrrega és el valor de la càrrega q 1
multiplicat pel potencial en el vèrtex on s’acabarà situant.
W 1 (^) = q V 1 1
Però com no hi ha cap altra càrrega, el potencial en el vèrtex és nul:
W 1 = 0
El treball per portar la segona càrrega és el valor de la càrrega q 2
multiplicat pel potencial en el vèrtex on s’acabarà situant.
W 2 (^) = q V 2 2
El potencial és el degut a la càrrega q 1 , que és l’única que ja hi ha:
2 1 2 12 2 2 12 2 (^4 0 )
q q V V W q V q
πε a πε a
El treball per portar la tercera càrrega és el valor de la càrrega q 3
multiplicat pel potencial en el vèrtex on s’acabarà situant.
( )
2 1 2 3 3 3 3 13 23 3 0 0 0
q q q W q V q V V q πε a πε a πε a
El treball total per a constituir el sistema (l’energia potencial del
sistema) és:
2 2 2
1 2 3 0 0 0
q q q U W W W W
πε a πε a πε a
Aquest treball el podem escriure com:
( 1 1 2 2 3 3 )
U = q V + q V + q V
V 1 és el potencial en el punt on hi ha la càrrega q 1 , creat per les càrregues q 2 i q 3
V 2 és el potencial en el punt on hi ha la càrrega q 2 , creat per les càrregues q 1 i q 3
V 3 és el potencial en el punt on hi ha la càrrega q 3 , creat per les càrregues q 1 i q 2
b) Com el camp no és uniforme i l’àtom d’oxigen (amb càrrega negativa) és el més proper
al catió, la força és atractiva:
Si el camp estigués produït per un anió de càrrega − e , el camp tindria el sentit contrari, però
també el dipol s’orientaria segons el camp:
Com el camp no és uniforme i els àtoms d’hidrogen (amb
càrrega positiva) són els més propers a l’anió, la força també
és atractiva
c) L’energia requerida per invertir l’orientació de molècula és la diferència entre l’energia
en la situació final menys la inicial:
( )
( )
19 2 0
19 2 0
0 1, 43 10 J
1, 43 10 J
inicial
final
p e U U r
p e U U r
−
−
= = = − = − ×
= = = + = + ×
19 2 2 2 0 0 0
2,86 10 J
final inicial
p e p e p e U U U
πε r πε r πε r
∆ = − = + − − = = ×
