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TEMA II. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
REPASO
Ecuación lineal con dos incógnitas
Es una igualdad de la forma ax + by = c donde a, b y c son números reales. A los números “a” y “b” se les llama coeficientes; al número “c”, término independiente y a “x” e “y” se las llama incógnitas.
Ejemplos: 3x – y = 5 ; x + 5y = – 2 ; 2x + 3y = 0 ; 6x + y = – 3
Solución de una ecuación con dos incógnitas
Es un par de números reales que sustituidos el la ecuación, hacen que se cumpla la igualdad.
Ejemplo: Para la ecuación 3x – y = 5, los valores x = 2 y = 1 son una solución
También lo es x = 0 y = – 5; x = 1 y = – 2 ; x = 3 y = 4 etc….
Observamos que hay infinidad de parejas de valores que verifican la ecuación y todas ellas se obtienen dándole un valor arbitrario a una de ellas y calcular el correspondiente de la otra.
La forma de expresar todas las soluciones es la siguiente: x = λ y = 3 λ – 5 ó
también y = λ x = 3
5 + λ dependiendo de cual sea la incógnita a la que se le asigna el valor
arbitrario
Ecuación lineal con tres incógnitas
De la misma manera una expresión de la forma ax + by + cz = d es una ecuación lineal con tres incógnitas. En este caso, una solución será una terna de números que la verifiquen
Ejemplo: a) x + 2y – z = 5; b) 2x + y – 3z = – 1.
Una solución de la primera sería x = 2 y = 3 z = 3 ó también x = – 1 y = 5 z = 4
Se observa que también hay infinitas soluciones. En este caso serán dos las incógnitas que tomen valores arbitrarios y la tercera se calculará en función de éstas. Para escribirlas todas pondremos para la primera de ellas lo siguiente:
x = λ y = μ z = λ + 2 μ− 5. Obsérvese que la solución se puede plantear de otra forma si las
incógnitas a las que se le asignan valores cualesquiera no son la “x” y la “y”
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Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Son igualdades de la forma
2 2 2
1 1 1 a x b y c
a x by c
Ejemplos: a)
x 4 y 5
2 x 5 y 16 b)
5 x 6 y 4
7 x 4 y 80
Una solución es una pareja de valores que verifican simultáneamente las dos ecuaciones. Para la
primera sería x = 3 y = – 2
Sistemas equivalentes
Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Ejemplo: los sistemas
x 4 y 5
2 x 5 y 16 y
4 x 3 y 6
x y 5 tienen la misma solución
x = 3 y = – 2
Criterios de equivalencia
a) Si se multiplican los dos miembros de una ecuación por un número distinto de 0 se obtiene otro sistema equivalente al que teníamos b) Si a una ecuación de un sistema se le suma otra ecuación del mismo, resulta un sistema equivalente al dado c) Si a un sistema de ecuaciones se le suprime una o más ecuaciones que son combinación lineal de las restantes, se obtiene un sistema equivalente al que teníamos.
Método de reducción
Consiste en conseguir que una de las incógnitas tenga coeficientes opuestos en las dos ecuaciones. Para ello se puede multiplicar todos los coeficientes de una o las dos ecuaciones por los números adecuados. Después se sumarán miembro a miembro y obtendremos una ecuación con una incógnita.
Ejemplo:
x 4 y 5
2 x 5 y 16
Si queremos eliminar la “y” tendremos que multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por
- Obtenemos así el sistema
5 x 20 y 25
8 x 20 y 64
. Al sumar nos queda
13x = 39 y despejando x = = 13
3. Sustituimos ahora en cualquiera de las ecuaciones iniciales,
por ejemplo la segunda y nos queda 3 + 4y = – 5 de donde 4y = – 8 y = –
La solución es por tanto x = 3 y = – 2
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SOLUCIONES 1.- x = 1 y = 1 2.- x = 8 y = 6 3.- x = – 20 y = – 15
4.- x = 2 y = 4 5.- x = 7 y = 2 6.- x = 3 y = 2
Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
Son igualdades de la forma
3 3 3 3
2 2 2 2
1 1 1 1
a x b y c z d
a x b y c z d
a x by cz d
Para resolverlos se utiliza generalmente el método de reducción. Para ello se eligen dos ecuaciones y por este método se elimina una incógnita, obteniendo así una ecuación con dos incógnitas. A continuación se coge la ecuación que no se ha usado todavía, y con cualquiera de las otras dos se vuelve a eliminar por reducción “la misma incógnita de antes” obteniendo otra ecuación con las mismas incógnitas. Con estas se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que ya sabemos resolver
Ejemplo:
3 x 2 y z 24
2 x y z 5
x y z 11 Observando el sistema, vemos que la incógnita más fácil
de eliminar es la “z”. Cogemos las dos primeras y multiplicando la primera por –1 nos
queda:
2 x y z 5
x y z 11 Sumando obtenemos x – 2y = – 6
Ahora cogemos la tercera y la primera por ejemplo y multiplicando ésta por – 1 de nuevo nos
queda
3 x 2 y z 24
x y z 11 Sumando obtenemos 2x + y = 13
Entre estas dos formamos el siguiente sistema
2 x y 13
x 2 y 6 que por sustitución, por ejemplo lo
resolvemos.
Despejamos x de la primera x = – 6 + 2y.
Sustituimos en la segunda 2(– 6 + 2y) + y = 13 de donde – 12 + 4y + y = 13
y de aquí 5y = 25 de donde y = 5.
La x valdrá x = – 6 + 2·5 = – 6 + 10 = 4.
Ahora sustituimos en cualquiera de las ecuaciones iniciales y calculamos z que nos dará z = 2
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PROBLEMAS PROPUESTOS
8 x y 4 z 110
4 x 8 y z 76
x 4 y 8 z 8 2.-
x 5 y 6 z 29
2 x 3 y 5 z 11
x y z 2 3.-
y z 5
x z 4
x y z 6
x z 6
y z 8
x y 12 5.-
3 x y 12
2 y 3 z 15
x y z 3 6.-
x 4 y z 20
5 x y 5 z 16
2 x y z 15
SOLUCIONES
1.- x = 16 y = 2 z = 4 2.- x = 1 y = – 2 z = 3 3.- x = 1 y = 2 z = 3
4.- x = 5 y = 7 z = 1 5.- x = y = z = 3 6.- x = 5 y = 4 z = – 1
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3.-REGLA DE CRAMER
Es un método para resolver los sistemas de ecuaciones lineales cuando se cumplen dos condiciones:
a) El sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas
b) El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0
En el caso que se cumplan estas premisas se puede demostrar que el valor de cada incógnita se obtiene al dividir dos determinantes. El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes y el numerador es el determinante de la matriz de coeficientes pero cambiando la columna correspondiente a los coeficientes de la incógnita que se quiere calcular, por los coeficientes de los términos independientes. Veámoslo con los ejemplos resueltos de los sistemas anteriores.
Ejemplo 1. Resolver por la regla de Cramer el sistema
x 4 y 5
2 x 5 y 16
La primera condición la cumple y comprobamos que también cumple la segunda
≠ 0. Entonces Cramer nos permite afirmar que
x = 3 13
y = 2 13
que era la solución obtenida antes
Ejemplo 2.
3 x 2 y z 24
2 x y z 5
x y z 11
. La primera condición la cumple ya que son tres ecuaciones con
tres incógnitas. Veamos la segunda. El determinante de la matriz de coeficientes es
− = ≠ En este caso
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x = 4 5
y = 5 5
z = 2 5
Problemas propuestos.
Se pueden resolver todos los anteriores, tanto los de dos como los de tres incógnitas
4.- RANGO DE UNA MATRIZ
Dada una matriz A de orden mxn, su rango es el número de filas o columnas que tiene la mayor submatriz cuadrada que se puede extraer de la A cuyo determinante sea distinto de 0.
PROBLEMAS PROPUESTOS
Calcular el rango de las matrices:
c) 2 2 0
b) 1 10 8
a)
g ) 5 1 24 37
f)
4 1 1 2
e)
1 4 2
d)
SOLUCIONES a) 2; b) 3; c) 3; d) 3; e) 3; f) 2; g) 3
5.- TEOREMA DE ROUCHÉ
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es que el rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada.
Si dicho rango es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado (solución única) y si es menor el sistema es compatible e indeterminado (infinitas soluciones)
Ejemplo 1:
3 x 3 y 3 z 4
2 x y 2 z 2
x 2 y z 1 Las matrices asociadas son:
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2 x y 2 2 z
x 2 y 1 z Este sistema lo resolvemos por reducción por ejemplo multiplicando la primera
por – 2 quedando
2 x y 2 2 z
2 x 4 y 2 2 z Al sumar queda – 3y = 0 de donde y = 0 y la x
valdría x = 1 z 2
2 2 z = −
Si a z le damos el valor λ , la solución quedaría x = 1 – λ ; y = 0 z = λ. Si este parámetro toma valores arbitrarios, el sistema toma infinitas soluciones
Problemas propuestos
Discutir los sistemas siguientes
6 x y z 0
x y z 4
2 x y z 1 2.-
x y z 0
2 x y z 6
x y 3 z 10 3.-
3 x 2 y 2 z 10
2 x y z 6
x y 3 z 4
x y z 2
x y z 22
x y z 14 5.-
3 x 2 y 13
x 3 z 0
x y z 4
SOLUCIONES
1.- incompatible 2.- compatible determinado 3.- compatible indeterminado
4.- compatible determinado 5.- compatible determinado
6.- SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Un sistema es homogéneo si todos sus términos independientes valen 0.
Ejemplos: a)
3 x y 0
x 2 y 0 b)
x y 2 z 0
2 x 4 y z 0
x 11 y 4 z 0
Obsérvese que cualquier sistema homogéneo, admite la solución trivial (aquella en la que todas las incógnitas toman el valor 0). La cuestión consiste en poder averiguar si el sistema admite alguna otra solución que no sea ésta. La condición nos la aclara el teorema de Rouché para sistemas homogéneos
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7.- TEOREMA DE ROUCHÉ PARA SISTEMAS HOMOGÉNEOS
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones homogéneo tenga solución distinta de la trivial es que el rango de la matriz de coeficientes sea menor que el número de incógnitas.
Nótese que en los sistemas homogéneos la matriz ampliada no tiene sentido al añadirle a la matriz de coeficientes la de los términos independientes que son todo ceros y por lo tanto no puede ampliar el rango
Resolvamos los ejemplos anteriores:
Ejemplo a)
3 x y 0
x 2 y 0
. En este caso la matriz de coeficientes es (^)
Como su determinante es 7 ≠ 0 el rango es 2 = nº de incógnitas y el sistema sería compatible determinado y por tanto la solución sería única y tendría que ser x = y = 0
Ejemplo b)
x y 2 z 0
2 x 4 y z 0
x 11 y 4 z 0 la matriz de coeficientes es
Como su determinante es 0, el rango no es 3. Si encontramos una submatriz cuadrada de orden 2
con determinante ≠ 0 , su rango será 2. Puede ser, por ejemplo ésta (^)
(hay otras muchas
posibilidades).
Como el rango es menor que el número de incógnitas el sistema es compatible e indeterminado. Veamos cómo se resuelve. Al elegir esta matriz de 2x2 como matriz de rango, nos indica que las filas que quedan fuera son ecuaciones que se pueden eliminar (en este caso la primera) y las columnas que también quedan fuera corresponden a “incógnitas no principales” que pasadas al segundo miembro, actúan como término independiente (en este caso la tercera, correspondiente a la incógnita “z”).
Estas incógnitas toman valores cualesquiera y se les llama parámetros.
El sistema a resolver sería
x y 2 z
2 x 4 y z Por reducción, multiplicando la 2ª por 2
obtenemos
2 x 2 y 4 z
2 x 4 y z y sumando 6y = 3z de donde y = 2
z y la “x” valdría
x = 2z – y = 2z – 2
z
2
3 z
. No obstante la solución puede darse de esta forma. Si le damos a z =
λ (parámetro) la x = 2
3 λ y la y = 2
λ
Obsérvese que la solución puede variar según qué ecuaciones tomemos en el sistema a resolver.
