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Asignatura: bioestatistica, Profesor: Luís Coladas Uría, Carrera: Óptica y Optometría, Universidad: USC
Tipo: Apuntes
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Curso 2013-
1 Experimento aleatorio. Espacio muestral. Sucesos 2
2 Definiciones de probabilidad 3
3 Asignación de probabilidades. Regla de Laplace 4
4 Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. Regla del producto 5
5 Ley de probabilidades totales. Teorema de Bayes 9
1 Experimento aleatorio. Espacio muestral. Sucesos
Cuando de un experimento podemos averiguar de alguna forma cuál va a ser su resultado antes de que se realice, decimos que el experimento es determinista. Así, podemos conside- rar que las horas de salida del Sol, o la pleamar o bajamar son deterministas, pues podemos leerlas en el periódico antes de que se produzcan. Por el contrario, no podemos encontrar en ningún medio el número premiado en la Lotería de Navidad antes del sorteo.
Nosotros queremos estudiar experimentos que no son deterministas, pero no estamos intere- sados en todos ellos. Por ejemplo, no podremos estudiar un experimento del que, por no saber, ni siquiera sabemos por anticipado los resultados que puede dar. No realizaremos tareas de adivinación. Por ello definiremos experimento aleatorio como aquel que verifique ciertas condi- ciones que nos permitan un estudio riguroso del mismo.
Definición 1 Llamamos experimento aleatorio al que satisface los siguientes requisitos:
Todos sus posibles resultados son conocidos de antemano.
El resultado particular de cada realización del experimento es imprevisible.
El experimento se puede repetir indefinidamente en condiciones idénticas.
Espacio muestral. Es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento
Suceso. Cualquier subconjunto del espacio muestral.
Suceso elemental. Es un suceso unitario. Está constituido por un solo resultado del experi- mento aleatorio.
Decimos que ha ocurrido un suceso cuando se ha obtenido alguno de los resultados que lo forman.
El objetivo de la Teoría de la Probabilidad es estudiar con rigor los sucesos, que como vemos se pueden enunciar desde el lenguaje común, asignarles probabilidades y efectuar cálculos sobre dichas probabilidades. Observamos que los sucesos no son otra cosa que conjuntos y por tanto, serán tratados desde la Teoría de Conjuntos. Recordamos las operaciones básicas y las dotamos de interpretación para el caso de sucesos.
debida al ruso Kolmogorov, es muy parecida a la que damos a continuación.
Definición 2
La probabilidad del suceso seguro es 1.
Si A y B son sucesos incompatibles, entonces la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades.
A partir de la definición anterior se pueden extraer una serie de consecuencias:
En esta definición está basado todo el Cálculo de Probabilidades desde el siglo XX, pero es una definición muy abierta, en el sentido de que nos dice qué propiedades ha de cumplir nues- tra probabilidad, pero no nos dice cómo tenemos que actuar, ante un experimento concreto, para asignarle una probabilidad a cada suceso.
3 Asignación de probabilidades. Regla de Laplace
Nos encontramos ante un experimento, con su colección de sucesos, y nos preguntamos cómo tenemos que actuar para asignarle a cada suceso un número entre 0 y 1 de forma que se respeten los dos axiomas de la definición de probabilidad.
Por desgracia, no existe una solución universal a este problema. En los casos más sencillos podemos hacer deducciones de la propia estructura del experimento, generalmente utilizando su simetría. En otros casos tendremos que combinar la experimentación con la naturaleza teórica del experimento para poder obtener conclusiones.
Cuando el espacio muestral es finito, el problema se reduce a asignar probabilidades a los sucesos elementales. Las probabilidades de los demás sucesos se obtendrán sumando las de los sucesos elementales que lo componen (suma finita).
Sin duda el caso más fácil es aquél en el que no tenemos razones para suponer que unos
los sucesos elementales tienen la misma probabilidad, diremos que son equiprobables y podremos utilizar la conocida como Regla de Laplace :
casos favorables casos posibles
Ejemplo 2 Lanzamos dos dados y sumamos sus puntuaciones. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2?, ¿y de obtener un 7?
Solución. En el experimento de lanzar dos dados, hay 36 resultados posibles, que son:
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
Por razones de simetría, asumiremos que estos 36 resultados son equiprobables.
Consideramos el suceso A:“que al lanzar dos dados obtengamos una suma igual a 2".
Sólo hay un resultado favorable al suceso A y es “que salga el (1,1)",
entonces:
P (A) = n.o^ de resultados favorables al suceso A n.o^ de resultados posibles
Consideremos el suceso B=“que al lanzar dos dados obtengamos una suma igual a 7".
Hay seis resultados favorables al suceso B, que son:
“que salga el (1,6) o el (6,1) o el (2,5) o el (5,2) o el(3,4) o el (4,3)",
entonces:
P (B) = n.o^ de resultados favorables al suceso B n.o^ de resultados posibles =^
4 Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. Regla
del producto
Supongamos que en el estudio de un experimento aleatorio nos interesa conocer la probabi-
información adicional de que el resultado es impar reducimos los casos posibles de 6 a 3 (sólo
y, por último:
Definición 4
Comentarios:
No debemos confundir sucesos independientes con sucesos incompatibles: los sucesos incompatibles son los más dependientes que puede haber. Por ejemplo, si en el lanza- miento de una moneda consideramos los sucesos incompatibles ‘salir cara’ y ‘salir cruz’, el conocimiento de que ha salido cara nos da el máximo de información sobre el otro suceso: ya que ha salido cara es imposible que haya salido cruz. Ejercicio: Demostrar que si dos sucesos con probabilidades no nulas son incompatibles, entonces no son independientes. Solución. Consideremos, entonces, A y B, sucesos incompatibles, es decir: A ∩ B = ∅ entonces: P (A ∩ B) = 0 pero si fuesen independientes, como P (A) 6 = 0 y P (B) 6 = 0, tendríamos: P (A ∩ B) = P (A) · P (B) 6 = 0, lo cual contradice el resultado anterior. Por lo tanto, no pueden ser independientes si son incompatibles. 2
Ejemplo 4 En una unidad asistencial se atiende a 300 pacientes, de los cuales 185 son menores de 45 años y 115 son mayores de esa edad. De los 185 menores de 45 años, 15 presentan presbicia, mientras que de los 115 mayores de 45 años, 90 padecen esta dolencia. ¿Son independientes los sucesos “tener presbicia" y “ser mayor de 45 años"?
Solución. Tenemos los siguientes sucesos:
A:“ser mayor de 45 años"
B:“tener presbicia"
Y la información que nos proporciona el enunciado del problema es la siguiente:
Para comprobar si A y B son independientes, tenemos que ver si:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Calculamos entonces:
P (A) · P (B) = 0′ 383 · 0 ′35 = 0′ 134
Y por otro lado:
P (A ∩ B) = 0′ 3
Por lo tanto, A y B no son independientes, pues:
P (A ∩ B) ︸ ︷︷ ︸ 0 ′ 3
0 ′ 134
Se utiliza en experimentos aleatorios que están formados por etapas consecutivas (de la 1 a la n) y nos permite calcular la probabilidad de que ocurra una concatenación (intersección) de
en la etapa n). Esta probabilidad queda expresada como el producto de la probabilidad inicial
como probabilidades de transición.
Ejemplo 5 La primera aplicación de un insecticida mata al 80% de los mosquitos. Los supervivientes desarrollan resistencia y en cada aplicación posterior el porcentaje de muertos se reduce a la mitad del verificado en la aplicación inmediatamente anterior: así en la segunda aplicación muere el 40% de los supervivientes de la primera aplicación, en la tercera aplicación muere el 20%, etc.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un mosquito sobreviva a cinco aplicaciones?
(b) Idem, dado que sobrevivió a las dos primeras.
Solución. Si denotamos Ai:“que un mosquito elegido al azar sobreviva a la aplicación i-ésima", con i = 1, 2 , 3 , 4 , 5 , hay que calcular:
(a) P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∩ A 5 ) =
= P (A 1 ) · P (A 2 /A 1 ) · P (A 3 /A 1 ∩ A 2 ) · P (A 4 /A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) · P (A 5 /A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ) = 0′ 20 · 0 ′ 60 · 0 ′ 80 · 0 ′ 90 · 0 ′95 = 0′ 08208
(b) P (A 3 ∩ A 4 ∩ A 5 /A 1 ∩ A 2 ) = 0′ 8 · 0 ′ 9 · 0 ′95 = 0′ 684 2
Este teorema resulta de aplicar en el numerador la regla del producto y en el denominador la ley de probabilidades totales.
Ejemplo 7 La distribución de los grupos sanguíneos en Estados Unidos en la Segunda Guerra Mundial era: tipo A, 41%; tipo B, 9%; tipo AB, 4%; y tipo O, 46%. Se estima que en esa época, el 4% de las personas pertenecientes al tipo O fue clasificado como del tipo A; el 88% de los del tipo A fue correctamente clasificado; el 4% de los del tipo B se clasificó como del tipo A; y el 10% de los del tipo AB fue, igualmente, clasificado como del tipo A. Un soldado fue herido y conducido a la enfermería. Se le clasificó como del tipo A. ¿Cuál es la probabilidad de que tal grupo sea ciertamente el suyo?
Solución. La información que tenemos es:
A:“que un individuo elegido al azar tenga grupo sanguíneo A"
B:“que un individuo elegido al azar tenga grupo sanguíneo B"
AB:“que un individuo elegido al azar tenga grupo sanguíneo AB"
O:“que un individuo elegido al azar tenga grupo sanguíneo O"
CA:“que un individuo elegido azar sea clasificado en el grupo sanguíneo A"
Se pide:
P (A/CA) =
Ejemplo 8 Un equipo médico de investigación desea evaluar la utilidad de una cierta prueba en el diag- nóstico de una enfermedad ocular. En una muestra aleatoria de 110 personas que padecían la enfermedad, la prueba dio positivo en 98 de ellas. En otra muestra aleatoria independiente de 890 individuos sin la enfermedad, la prueba dio positivo en 19 de ellos. Se sabe, además, que la tasa de la enfermedad en la población general es 0’01.
Este ejemplo, que bajo distintas formas se presenta en multitud de ocasiones en las profe-
siones relacionadas con la Salud, da lugar a los conceptos que definimos a continuación:
Se llama sensibilidad de un test a la probabilidad de que dicho test conduzca a un resultado positivo supuesto que el sujeto presente la característica.
Se llama especificidad de un test a la probabilidad de que el resultado del test sea negativo cuando el sujeto no presenta la característica.
Se llama valor predictivo positivo de un test a la probabilidad de que un individuo presente la característica cuando el resultado del test ha sido positivo.
Se llama valor predictivo negativo de un test a la probabilidad de que un individuo no pre- sente la característica cuando el resultado del test ha sido negativo.
Estos valores tienen una interpretación muy clara respecto de la calidad del test. Así, interesa emplear tests (o métodos diagnósticos) que posean una alta sensibilidad y especificidad, así como valores predictivos positivo y negativo grandes.
Vamos a calcular cada uno de los valores que acabamos de definir con los datos del ejemplo. En base a los resultados obtenidos, responderemos a la siguiente pregunta:
“¿Se puede decir que la prueba diagnóstica es buena para detectar la enfermedad?"
Solución. Tenemos los siguientes sucesos:
E:“que en un individuo, elegido al azar, esté presente la enfermedad ocular"
T +:“que en un individuo, elegido al azar, la prueba dé positivo"
T −:“que en un individuo, elegido al azar, la prueba dé negativo"
El enunciado aporta la siguiente información:
P (E) = 0′ 01
P (T +/E) = 11098
P (T +/Ec) = 89019
Se pide:
Sensibilidad = P (T +/E) =
Especificidad = P (T −/Ec) = 1 − P (T +/Ec) = 1 − 19 890
P (T +/E) · P (E) + P (T +/Ec) · P (Ec)
P (T −/Ec) · P (Ec) P (T −)
−/Ec) · P (Ec) P (T −/Ec) · P (Ec) + P (T −/E) · P (E)
