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Tema 2: Tablas de Contingencia
Introducci´on
Una tabla de contingencia es una de las formas m´as comunes de resumir datos ca- teg´oricos. En general, el inter´es se centra en estudiar si existe alguna asociaci´on entre una variable denominada fila y otra variable denominada columna y se calcula la intensidad de dicha asociaci´on. De manera formal, se consideran X e Y dos variables categ´oricas con I y J categor´ıas respectivamente. Una observaci´on puede venir clasificada en una de las posibles I × J categor´ıas que existen. Cuando las casillas de la tabla contienen las frecuencias observadas, la tabla se deno- mina tabla de contingencia , t´ermino que fue introducido por Pearson en 1904. Una tabla de contingencia (o tabla de clasificaci´on cruzada), con I filas y J columnas se denomina una tabla I × J.
Ejemplo
Por ejemplo, se considera la distribuci´on conjunta de dos variables y la correspondiente tabla de contingencia en una muestra de pacientes de un hospital. Se tiene la siguiente tabla donde se consideran el riesgo de ataque al coraz´on respecto a la toma de aspirinas:
X ≡ Se toma aspirina o placebo ( I = 2). Y ≡ Se sufre ataque card´ıaco o no ( J = 3).
Mortal No mortal No ataque Totales Placebo 18 171 10845 11034 Aspirina 5 99 10933 11037
Como resumen de la informaci´on que presenta la tabla, de los 11034 enfermos que tomaron un placebo, 18 tuvieron un ataque al coraz´on, mientras que de los 11037 que tomaron aspirina, 5 tuvieron ataques al coraz´on. La distribuci´on conjunta de dos variables categ´oricas determina su relaci´on. Esta dis- tribuci´on tambi´en determina las distribuciones marginales y condicionales.
Distribuci´on conjunta
La distribuci´on conjunta viene dada por πij = P ( X = i, Y = j )
con i = 1 ,... , I y j = 1 , ,... , J. Es la probabilidad de ( X, Y ) en la casilla de la fila i y la columna j.
Distribuci´on marginal
Las distribuciones marginales son πi + = P ( X = i ) = ∑^ J j = P ( X = i, Y = j ) = ∑^ J j = πij
π + j = P ( Y = j ) = ∑^ I i = P ( X = i, Y = j ) = ∑^ I i = πij es decir, el s´ımbolo + indica la suma de las casillas correspondientes a un ´ındice dado. Se cumple siempre que ∑ j π + j = ∑ i πi + = ∑ i
∑ j πij = 1
Distribuci´on condicional
En muchas ocasiones en las tablas de contingencia, como en el ejemplo anterior, una de las variables, digamos Y , es una variable respuesta y la otra variable X es una variable explicativa o predictora. En esta situaci´on no tiene sentido hablar de distribuci´on conjunta. Cuando se considera una categor´ıa fija de X , entonces Y tiene una distribuci´on de probabilidad que se expresa como una probabilidad condicionada. As´ı, se puede estudiar el cambio de esta distribuci´on cuando van cambiando los valores de X.
Ejemplo con SAS
Muchas veces, los datos categ´oricos se presentan en forma de tablas de contingencia como la anterior. Supongamos, por ejemplo:
Tratamiento Favorable Desfavorable Placebo 16 48 Test 40 20
En SAS el modo de introducir esta tabla ser´ıa:
/ * O P T I O N S n o d a t e l s = 7 5 f o r m c h a r = ’ | - - - - | + | - - - + = | - / \ < > * ’; * / OPTIONS nodate ls =75; / * P a r a S A S U n i v e r s i t y * / ODS rtf file = ’/ folders / myfolders / resultado. rtf ’ style = minimal startpage = no ; DATA respira ; INPUT treat $ outcome $ count ; DATALINES ; placebo f 16 placebo u 48 test f 40 test u 20 ; PROC freq ; weight count ; tables treat * outcome ; RUN ; ODS rtf close ;
Estos datos tambi´en se podr´ıan presentar tambi´en en forma de matriz de datos, donde cada individuo est´e representado por una fila con valores en distintas variables. En ese caso el programa en SAS ser´ıa semejante al anterior, pero NO se tendr´ıa que usar el comando weight ya que los datos se presentar´ıan en forma de dos columnas con las dos variables.
Ejemplo sobre otro tratamiento cl´ınico con dos variables: tipo de tratamiento y tipo de respuesta. El siguiente programa funciona tambi´en con SAS University.
OPTIONS nodate ls =75; / * P a r a S A S U n i v e r s i t y * / ODS rtf file = ’/ folders / myfolders / resultado. rtf ’ style = minimal startpage = no ; DATA respira ; INPUT treat $ outcome $ @@ ; DATALINES ; placebo f placebo f placebo f placebo f placebo f placebo u placebo u placebo u placebo u placebo u placebo u placebo u test f test f test f test f test f test u test u test u
El mismo programa se puede escribir en SAS est´andar:
/ * O p c i o n S A S e s t a n d a r * / OPTIONS nodate ls =75 formchar = ’ | - - - -|+| - - -+=| -/\ < > * ’; / * F i j o e l d i r e c t o r i o d e t r a b a j o * / x ’ cd " e :\ Categoricos " ’; / * S e g r a b a n l o s r e s u l t a d o s e n u n f i c h e r o r t f o e n u n o p d f * / / * O D S p d f f i l e = ’ c o s a. pdf ’ s t y l e = m i n i m a l s t a r t p a g e = n o ; * / ODS rtf file = ’ cosa. rtf ’ style = minimal startpage = no ; DATA respira ; INPUT treat $ outcome $ @@ ; DATALINES ; placebo f placebo f placebo f placebo f placebo f placebo u placebo u placebo u placebo u placebo u placebo u placebo u test f test f test f test f test f test u test u test u test u test u test u test u test u test u test u test u ;
PROC freq ; tables treat * outcome ; RUN ; PROC GCHART DATA = respira ; VBAR outcome ; RUN ; PROC GCHART DATA = respira ; HBAR outcome / DISCRETE ; RUN ; PROC GCHART DATA = respira ; PIE outcome / DISCRETE VALUE = INSIDE PERCENT = INSIDE SLICE = OUTSIDE ; RUN ; ODS rtf close ; / * O D S p d f c l o s e ; * /
El mismo programa se puede escribir en SAS est´andar incluyendo varios gr´aficos con GCHART:
/ * O p c i o n S A S e s t a n d a r * / OPTIONS nodate ls =75 formchar = ’ | - - - -|+| - - -+=| -/\ < > * ’; / * F i j o e l d i r e c t o r i o d e t r a b a j o * / x ’ cd " cd " e :\ Categoricos " ’; / * S e g r a b a n l o s r e s u l t a d o s e n u n f i c h e r o r t f o e n u n o p d f * / / * O D S p d f f i l e = ’ c o s a. pdf ’ s t y l e = m i n i m a l s t a r t p a g e = n o ; * / ODS rtf file = ’ cosa. rtf ’ style = minimal startpage = no ; DATA artritis ; INPUT genero $ tratamiento $ mejora $ recuento @@ ; DATALINES ; mujer activo activo 16 mujer activo escasa 5 mujer activo ninguno 6 mujer placebo activo 6 mujer placebo escasa 7 mujer placebo ninguno 19 hombre activo activo 5 hombre activo escasa 2 hombre activo ninguno 7 hombre placebo activo 1 hombre placebo escasa 0 hombre placebo ninguno 10 ; RUN ; PROC freq order = data ; weight recuento ; tables genero * tratamiento * mejora / nocol nopct ; RUN ; PROC GCHART DATA = artritis ; pie3d mejora / sumvar = recuento ; RUN ; PROC GCHART DATA = artritis ; hbar3d mejora / sumvar = recuento patternid = midpoint group = genero ; RUN ; ODS rtf close ; / * O D S p d f c l o s e ; * /
Cell Contents | - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -|| N | || (^) Chi - square contributionExpected N || | N / Row Total | || (^) N N/ /Table Col TotalTotal || | - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -|
Total Observations in Table : 124
| Situacion
- - - -| - - - - - - - - - - -| - - - - - - - - - - -| - - - - - - - - - - -|Tratamiento^ |^ Favor^ |^ Desfavor^ |^ Row^ Total^ | Placebo || (^) 28 .903 16 || (^) 35 .097 48 || 64 || | 5 .760 | 4 .744 | | || 0 .2500 .286 || 0 .7500 .706 || 0 .516 || | 0 .129 | 0 .387 | | - - - - - - - - - - - - -| - - - - - - - - - - -| - - - - - - - - - - -| - - - - - - - - - - -|Test | 40 | 20 | 60 | | 27 .097 | 32 .903 | | || 6 .1440 .667 || 5 .0600 .333 || (^) 0 .484 || | 0 .714 | 0 .294 | | - - - - - - - - - - - - -| - - - - - - - - - - -| - - - - - - - - - - -| - - - - - - - - - - -||^ 0 .323^ |^ 0 .161^ |^ | Column Total || (^) 0 .452 56 || (^) 0 .548 68 || 124 || - - - - - - - - - - - - -| - - - - - - - - - - -| - - - - - - - - - - -| - - - - - - - - - - -| Statistics for All Table Factors Pearson ’s Chi - squared test Chi ˆ2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = 21 .70868 d.f. = 1 p = 3 .173515e - Pearson ’s- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Chi - squared test with Yates ’ continuity correction Chi ˆ2 = 20 .05886 d.f. = 1 p = 7 .509491e -
Distribuci´on multinomial en tablas 2 × 2
Cuando se consideran tablas de contingencia, es habitual asumir que los recuentos de las casillas en las tablas se distribuyen como una multinomial. En el muestreo multinomial, fijamos el tama˜no total n pero no los totales de filas y columnas. Es decir, solo el tama˜no muestral est´a fijado previamente en el experimento. As´ı, si se tienen observaciones en I × J casillas, la distribuci´on de probabilidad de los recuentos es n! n 11! · · · nIJ!
∏ i
∏ j πn ijij. En otros casos, las observaciones de una variable respuesta Y aparecen de manera separada seg´un el nivel de una variable explicativa X. En este caso se consideran los totales por filas como fijos. De este modo, se simplifica la notaci´on como ni + = ni y suponemos que dado un nivel fijo de i de X , las ni observaciones de Y son independientes entre s´ı y con distribuci´on de probabilidad { π 1 | i,... , πJ | i } . Los recuentos { nij , j = 1 ,... , J } tal que ∑ j nij = ni se distribuyen como ∏^ ni! j^ nij^!
∏ j^ π jn | iji.^ (1)
As´ı, cuando las muestras que se toman en diferentes niveles de X son independientes, la distribuci´on conjunta de todos los datos es el producto de distribuciones multinomiales (1) para cada nivel i de X. Este esquema se denomina muestreo multinomial independiente o muestreo de pro- ductos de multinomiales.
( iii) La raz´on de plausibilidad odds : θ = π π^12 // (1(1^ −−^ ππ^12 ))
Ejemplo:
Influencia de la toma de aspirina respecto a los ataques card´ıacos:
Ataque No ataque Placebo 189 10845 Aspirina 104 10933
Para contrastar H 0 : pa = pp (igual probabilidades de ataque al coraz´on por grupo), se puede usar el comando prop.test. Para contrastar una hip´otesis unilateral, H 0 : pa ≥ pp frente a H 1 : pa < pp se hace usando la opci´on alternative.
x = c (104 , 189) # aspirina y placebo n = c ((104+10933) , (189+10845)) prop.test (x , n )
2 - sample test for equality of proportions with continuity correction data :X - squared x out= 24 .429 ,of n df = 1 , p - value = 7 .71e - 95 alternative percent confidencehypothesis : interval :^ two.sided -0 .010814914 -0. sampleprop estimates : 1 prop 2 0 .00942285 0.
prop.test (x , n , alt = " less " )
2 - sample test for equality of proportions with continuity correction data :X - squared x out= 24 .429 ,of n df = 1 , p - value = 3 .855e - 95 alternative percent confidencehypothesis : interval :^ less -1 .000000000 -0. sampleprop estimates : 1 prop 2 0 .00942285 0.
Se pueden obtener las proporciones a partir del componente estimate que en este caso es un vector num´erico de longitud 2. As´ı, la diferencia de las proporciones se calcula como: temp = prop.test (x , n ) names ( temp $ estimate ) = NULL
Diferencia de las proporciones
temp $ estimate [1] - temp $ estimate [2] [1] -0.
Se puede calcular tambi´en el riesgo relativo y la raz´on de odds:
Riesgo relativo
temp $ estimate [2] / temp $ estimate [1] [1] 1.
Razon de odds
x [2] * ( n [1] - x [1]) / ( x [1] * ( n [2] - x [2])) [1] 1.
Para programar las razones de odds en SAS, se usa:
/ * O P T I O N S n o d a t e l s = 6 5 f o r m c h a r = ’ | - - - - | + | - - - + = | - / \ < > * ’; * / OPTIONS nodate ls =75; / * P a r a S A S U n i v e r s i t y * / ODS rtf file = ’/ folders / myfolders / resultado. rtf ’ style = minimal startpage = no ; DATA riesgos ; INPUT ataque $ medica $ cuenta ; DATALINES ; ataque placebo 189 ataque aspirina 104 NOataque placebo 10845 NOataque aspirina 10933 ; PROC freq order = data ; weight cuenta ;
Odds y raz´on de odds
Si π es la probabilidad de ´exito entonces los odds se definen como Ω = (^1) − π π
o de modo equivalente π = (^) Ω + 1Ω. Se tiene que Ω > 1 cuando un ´exito es m´as probable que un fallo. Por ejemplo, cuando π = 0 , 75 , entonces Ω =^00 ,,^7525 = 3
es decir un ´exito es tres veces m´as probable que un fallo. Si se tiene una tabla 2 × 2 se pueden definir los odds en la fila i : Ω i = (^1) − πi πi. El cociente de los odds de las dos filas se denomina raz´on de odds : θ = Ω Ω^12 = π π^12 //^ (1(1^ −−^ ππ^12 ))
y se obtiene de manera equivalente, cuando se tiene distribuciones conjuntas, πij que
θ = π π^1112 ππ^2221
por lo que tambi´en se denomina cociente de los productos cruzados.
Propiedades
Puede ser cualquier valor positivo. θ = 1 significa que NO hay asociaci´on entre X e Y. Valores de θ alejados de 1 indican una asociaci´on mayor. Se suele trabajar con log θ ya que el valor que se obtiene es sim´etrico respecto a cero. La raz´on de odds no cambia cuando se intercambian filas y columnas.
Raz´on de odds condicionales y marginales
Las asociaciones marginales y condicionales pueden ser descritas mediante la raz´on de odds. Supongamos una tabla 2 × 2 × K , si denominamos μijk a la frecuencia esperada en la celda correspondiente. Fijamos Z = k , y se define la raz´on de odds condicional como θXY ( k ) = μ μ^1112 kkμμ^2221 kk
y la raz´on de odds marginal como
θXY = μ μ 11+12+ μμ 22+21+ Un valor a 1 en la raz´on de odds supone, o bien independencia marginal, o bien condicionada a que Z = k , es decir, cuando θXY ( k ) = 1.
NOTA:
La independencia condicional cuando Z = k es equivalente a que P ( Y = j | X = i, Z = k ) = P ( Y = j | Z = k )
para todo i, j. Si se cumple para todo valor de la variable Z , entonces se dice que X e Y son condi- cionalmente independientes dado Z y se obtiene que
πijk = πi π + k ++ π + kjk
para cualquier i, j, k. La independencia condicional no implica la independencia marginal.
