¡Descarga Dinámica: Estudio del movimiento y sus causas. Primeras leyes de Newton y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
TEMA 3. Dinàmica newtoniana
3.1. Introducció
Hem estudiat el moviment de la partícula sense vore les seues causes. Dinàmica: estudi del moviment analitzant les seues causes. Concepte d'interacció: “un cos A interacciona amb un cos B quan el moviment de A es veu afectat per B”. El moviment d'una partícula queda determinat per la posició i la naturalesa Isaac Newton (1642-1727) dels cossos que la rodegen (medi ambient). Incloem només els mas pròxims. La mecànica clàssica , que és la que estudiarem, tracta sobre velocitats molt més xicotetes que la velocitat de la llum i grandàries molt majors que el de l'àtom. Realment servix per a tot el nostre entorn. Quan un enginyer dissenya un pont, aplica la mecànica clàssica. O quan un arquitecte fa un edifici.. La mecànica relativista estudia efectes produïts quan les velocitats són pròximes a la de la llum. Quan s'estudien objectes de grandàries inferiors o iguals als atòmics, s'aplica la mecànica quàntica.
3.2. Primera llei de Newton. Llei d'inèrcia
Newton va enunciar les tres lleis de la mecànica. La primera es deu a Galileu. Abans de Galileu es pensava que per a mantindre el moviment era necessari
una força. El “estat natural” dels cossos era el repòs, i per a aconseguir el moviment rectilini i uniforme calia aplicar una força perquè, si no, es detindria. No obstant, Galileu es va adonar que al polir la superfície de contacte, es desplaça mes temps: si aconseguim eliminar el fregament, tindrem un moviment infinit. Galileu: “és necessari certa força externa per a canviar la velocitat d'un cos, però no es necessita cap força per a conservar la velocitat d'un cos”. Newton enuncia la seua 1 a^ llei : “tot cos conserva el seu estat de repòs o de moviment rectilini uniforme a menys que siga obligat a canviar eixe estat per forces que se li apliquen” ( llei d'inèrcia ). O bé “una partícula lliure (sense interacció) roman en repòs o moviment uniforme”. Puc arrossegar un cos amb una força igual i oposada a la força de fregament, amb la qual cosa la velocitat és constant. “Quan la força neta que actua sobre un cos és nul·la, la seua acceleració és zero”. En realitat, l'acceleració depén del sistema de referència. Si la força neta és zero, llavors podem trobar sistemes de referència en els quals l’acceleració siga zero. S’anomenen sistemes de referència inercials (normalment lligats a la Terra, el Sol o les estreles fixes). En un sistema de referència no inercial apareixen pseudoforces (exemple dins d'un autobús que frena o que gira).
3.3. Segona llei de Newton: la llei fonamental de la
dinàmica
Costa mes treball detindre un camió que un cotxe, o una bola metàl·lica d'1 kg que una boleta. Costa més parar la bola d'1 kg si va més ràpida que si va lenta. Doncs, influïxen les dos coses, la massa i la velocitat.
Definim la quantitat de moviment o moment lineal pG = m G v El que fa que canvie pG és la força:
G
F = (^) dtd (m
G
v ) 2 a^ llei : “la variació per unitat de temps de la quantitat de moviment d'un cos és igual a la força neta que actua sobre ell”
partícula exercix sobre la primera. G F 1 G F 2 G F 1 = -
G
F 2
són iguals, oposades, en la mateixa línia, però aplicades a objectes diferents. Exemple: la Terra i la Luna, clarió i taula, la Terra i jo. En un sistema de n partícules cada parella de partícules exercixen entre elles forces iguals i oposades.
Exemple 2. Considera un objecte en equilibri sobre una taula. Identifica les forces que actuen. (Suposa la massa de la taula zero).
Si anomenem O = objecte, T = Terra i t = taula: La Terra atrau a l'objecte amb una força FG^ TO. L'objecte atrau a la Terra amb una força
G
F OT.
Si només actuaren estes dos forces, l'objecte cauria. No es cau perquè la taula exercix una força sobre l'objecte (F normal)
G
F tO. Com a reacció l'objecte exercix una força sobre la taula FG^ Ot. La taula no es cau perquè la Terra exercix una força sobre la taula
G
F Tt (força normal).
Com a reacció, la taula exercix sobre la terra una força
G
F tT. Tot en equilibri.
3.5. Conservació del moment lineal
Suposem dos partícules 1 i 2 interactuant. Segons la 3a^ llei, les forces entre elles són iguals i oposades FG 1 = - FG^2 Segons la 2a^ llei
G
F =
G
d p d t ⇒
G
d p 1 d t =
G
- d p 2 d t ⇒ G d p 1 d t +
G
d p 2 d t = 0^ ⇒
G G
d (p 1 + p ) 2 d t = 0 Per a qualsevol interacció entre dos partícules, la quantitat de moviment total (suma) és constant, abans i després d'actuar dites forces.
Igual ocorre per a n partícules.
Principi de conservació de la quantitat de moviment: “si no hi ha forces externes, la quantitat de moviment total de n partícules es conserva”.
∑
n G i i i=
m v = constant
Exemples:
- dos boles de billar; en xoc frontal i en xoc lateral
- retrocés d'un arma de foc
- propulsió a doll (calamars, coets, avions a reacció...)
- joc de les boles
Exemple 3. Dos vehicles de masses m 1 i m 2 xoquen frontalment amb velocitats inicials v 1 i v 2. Suposant que continuen junts després del xoc, analitzar la velocitat resultant i la direcció i sentit segons les masses i velocitats. Aplica'l a un camió de 10 tn i v 1 = 100 km/h i un cotxe de 1000 kg i v 2 = 140 km/h.
Si el camió va cap a la dreta (sentit positiu): m 1 v 1 - m v 2 = (m 1 + m 2 ) v ⇒ v = 1 1 2 2 1 2
m v - m v m + m Si les masses i les velocitats són iguals la v = 0. Igual ocorre si m 1 v 1 = m v 2 Per al cotxe i el camió v = 10000·100 -1000·140 11000 = 78 km/h (cap a la dreta). ∆vcotxe = vf – vi = 78 – (– 140) = 218 km/h. ∆vcamió = vf – vi = 78 – 100 = – 22 km/h.
3.6. Tipus de forces
Totes les forces es poden explicar en funció de quatre interaccions bàsiques que ocorren entre partícules elementals: gravitatòria, electromagnètica, nuclear fort (manté estables els nuclis) i nuclear dèbil.
Exemple 4. Emprant el sistema de corrioles sense fregament i les cordes de la figura, un home intenta arrossegar un carro a velocitat constant en contra d'una força horitzontal de 100 N exercida pel sòl sobre el carro. Quina força ha d'exercir ell sobre la corda?
Anomenem S = sistema; T = Terra; A = arbre (és el mateix que Terra). Es mou perquè el sistema fa una força sobre l’arbre F (^) ST = FSA , doncs, l’arbre (i la Terra) fan una força sobre el sistema FTS que és igual a la força de fregament (perquè la velocitat és constant). ⇒ FSA = 100 N ⇒ com és una tensió, serà Fhome-corda = 50 N = Fcarro-corda
Exemple 5. Determinar l'acceleració amb la qual es mouen les masses m i m´ (màquina d'Atwood).
Suposem que m cau (m’ puja). Si ho fiquem tot en valor absolut: mg – T = m a T – m’ g = m’ a ⇒ m g – m’ g = m’ a + m a a = (^) m + m'm - m' g
T = 2 m m'm + m' g Conclusions: si m = m’ ⇒ a = 0; si m > m’ ⇒ a > 0.
3.6.3. Forces de fregament i arrossegament
Quan hi ha dos cossos sòlids en contacte, hi ha una resistència que s'oposa al moviment relatiu entre els cossos. Exemple: si movem un objecte sobre la taula, al deixar-lo es para. Doncs, hi ha una força, anomenada de fregament, FR, que s'oposa al moviment. Depén de la matèria, dels tipus de superfícies i de la velocitat. S'observa experimentalment que eixa FR és proporcional a la força normal, N, de pressió d'un cos sobre un altre. A la constant de proporcionalitat se li anomena coeficient de fregament μ.
⇒ FJJ RG = - μ N JJuG v
sent uJJ v Gun vector unitari en la direcció de v.
En general hi ha dos situacions distintes depenent de si hi ha o no lliscament. Canvia μ.
Per a lliscament ⇒
JJJG
F Rd = - μd N
JJG
u v on μd = coeficient de fregament dinàmic
Cas estàtic ⇒ FJJJ Rd G ≤ μe N on μe = coeficient de fregament estàtic
Es complix que μd < μe
Exemple: objecte sobre la taula, apliquem una força cada vegada major.
material (^) μ e μ d acer sobre acer 0,7 0, coure sobre ferro 1,1 0, vidre sobre vidre 0,9 0, esquí sobre la neu 0,1 0, (aproximats)
La mula espenta el sòl cap a arrere amb F (^) MT i com a reacció el sòl espenta a la mula amb una força F (^) TM cap a davant. Eixa força és la que es transmet per la barra fins al carro i servix per a véncer la força de fregament FR.
Exemple 7. Després de parar el seu motor, una barca experimenta una força de frenada proporcional al quadrat de la seua velocitat respecte a l'aigua. Si la velocitat de la barca quan es va parar el motor era de 20 m/s i 20 s després de 4 m/s, calcula l'acceleració (-) i la distància recorreguda.
F α – v^2 ⇒ a α – v^2 ⇒ d vd t = - C v^2 ⇒ d vv 2 = - C dt ⇒ ec. dif.
∫ (^0)
v v^2
d v v =^ ∫
t 0 C dt^ ⇒^
v v
-^1
v =^ ]
t
v - 0
v = C t^ (*)^ ⇒
⇒ C = 0
v v t =
20 = 0,01 m^
Acceleració inicial: a 0 = - C v 02 = - 0,01 · 20^2 = - 4 m/s^2 (variable) Distància: en (*) ⇒ v = 0
C t + 1 v
0
v 1 + C t v ⇒^
d x d t =^
0 0
v 1 + C t v ⇒
∫
x 0 d x^ =^ ∫
t (^0) (^0 )
v 1 + C v t d t^ ⇒^ x =^
C ln (1 + C v^0 t) = = (^) 0,01^1 ln (1 + 0,01·20·20) = 160,9 m
3.6.4. Força centrípeta
Quan la trajectòria és corba, descomponem l'equació FG = m aG segons les components normal i tangencial. G F = FT
JJG
u T + FN
JJG
u N = m (aT
JJG
u T + a
JJG
u N ) = m d vd t
JJG
u (^) T + m v^2 R
JJG
u N
A la quantitat FN = m v^2 R li anomenem^ força centrípeta. (O siga, dirigida cap al centre de la trajectòria). Pot ser una tensió, la gravetat, el fregament (cavallets)... En general, la força centrípeta és la component en la direcció normal a la trajectòria de la força neta que actua sobre la partícula. No es dibuixa en els diagrames de força (perquè ja és una component). En el cas particular del moviment circular ⇒ v = ω R ⇒ FN = m ω^2 ^ ^ R.
Exemple 8. Les línies del ferrocarril i les pistes d'alta velocitat tenen peralt en les revoltes per a proporcionar la força centrípeta necessària perquè el vehicle es moga al llarg de la corba. Troba l'angle de peralt en funció de la velocitat del vehicle.
La resultant del pes i la normal ha de ser prou per a proporcionar la força centrípeta.
tg α = FPN = m v / R^2 m g =
v^2 R g
⇒ si R ↓ ⇒ α ↑ ⇒ si v ↑ ⇒ α ↑
La “força centrípeta”, que intervé en el moviment circular és una força d'inèrcia. La sentim (per exemple, quan anem en un cotxe que pren una revolta) però és la tendència a continuar el moviment en línia recta. Si no hi ha revolta, desapareix. Exemple: una pedra amb una corda (onda) que gira; al soltar, seguix la trajectòria rectilínia.
En un sistema de referència en moviment circular (SRNI) m
G
a =
G
F –
G
F (^) centrípeta
3.6.6. Gravetat efectiva
La força entre dos partícules de masses m 1 i m 2 separades una distància r és una força d'atracció que actua sobre la línia que unix les partícules, de valor
F = G m^1 r^2 m^2 Llei de gravitació universal On G = 6,7·10-11^ N m 2 /kg^2 (G és molt xicotet, els seus efectes no es noten per a masses xicotetes i mitjanes)
En la superfície de la Terra 2 T T
G m r
= g ⇒
G
F = pes = m G g
En un SRNI el pes aparent canvia (el real és el mateix) ⇒ sensació d'ingravitació o gravidesa superior a la normal (per exemple, l'ascensor a l’arrancar o parar, la muntanya russa,...)
Un observador quiet en un SRNI que es mou amb aG , mesura una G g efectiva G g (^) ef =
G
g -
G
a
Exemple 9: una vagoneta d'una muntanya russa cau amb 45 o^ sense fregament. Calcula la gravetat efectiva.
a = 9,8 cos 45º = 7 m/s^2 ⇒ a^ G = 5 G i - 5 G j ⇒ gG ef =^
G g - aG = -10 G j – (5 G i - 5 G j ) = - 5 G i - 5 G j
3.7. Moment d'una força
Quan una força produïx rotació, importa
- el punt on s'aplica la força
- l'angle que forma la força amb la perpendicular a l'eix de gir Si anomenem O al centre de rotació, es definix el moment d'una força respecte al punt
O com τ
G
G
r ∧
G
F
La direcció del moment seguix la regla de la mà dreta (és a dir, el polze indica τ^ G^ al portar G r sobre FG ). τ
G = G
r
G
F sin^ θ^ = r┴
G
F
r┴ = FG sin θ = braç de la palanca. Si θ = 0 ⇒ sin θ = 0 ⇒ τ
G
= 0; si θ = 90o^ ⇒ τ
G
és màxim.
