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CALCULO NUMÉRICO
3. SISTEMAS DE ECUACIONES
En este tema nos ocuparemos de determinar un conjunto de valores que satisface simultáneamente
un sistema de ecuaciones, que pueden ser lineales o no lineales.
Para ello, en el instituto aprendimos a resolver sistemas lineales con un número reducido de
ecuaciones. Sin embargo, cuando se trabaja con sistemas de cuatro ecuaciones o más, el uso de
métodos numéricos adecuados puede acelerar en gran medida la consecución del resultado, y
estos mismos métodos nos permitirán resolver incluso los grandes sistemas de ecuaciones que se
generan en la aproximación numérica de muchos fenómenos fisicoquímicos estudiados en
Ingeniería Química.
Antes de adentrarse en este tema es conveniente repasar siquiera brevemente algunos conceptos
básicos sobre notación matricial y operaciones con matrices, que no se mencionarán aquí pero que
resultan básicos para afrontar el estudio de los métodos numéricos aquí recogidos. Se puede
encontrar la información necesaria en los libros mencionados en la Bibliografía de la asignatura
(Chapra y Canale, 2002), y aquí tan sólo diremos que en general, un sistema de ecuaciones lineales
de la forma:
n 11 n 2 2 nn n n
211 22 2 2 n n 2
11 1 12 2 1 n n 1
a x a x ... a x b
...
a x a x ... a x b
a x a x ... a x b
(3.1)
puede representarse por medio del producto matricial
[ ][ ] [ ]
n
2
1
n
2
1
n 1 n 2 nn
21 22 2 n
11 12 1 n
b
b
b
x
x
x
a a ... a
a a ... a
a a ... a
A X B
(3.2)
3.1. Eliminación de Gauss
En general, los métodos de eliminación de incógnitas para la resolución de un sistema formado por
n ecuaciones se basan en la eliminación de i-1 incógnitas en la ecuación i (i=1, 2, …, n), de manera
que se construya una matriz triangular superior. De esta manera, en la n-ésima ecuación tan sólo
quedará la incógnita x (^) n , que se despeja directamente y se sustituye en la ecuación n-1 para calcular
x (^) n-1 , y así progresivamente.
Partiremos de un sistema general formado por n ecuaciones:
a 11 x 1 + a 12 x 2 +a 13 x 3 +...+a 1 nxn=b 1 (3.3a)
a 21 x 1 + a 22 x 2 +a 23 x 3 +...+a 2 nxn=b 2 (3.3b)
3 SISTEMAS DE ECUACIONES
…
a (^) n 1 x 1 + an 2 x 2 +an 3 x 3 +...+annxn=bn (3.3c)
Para reducir la matriz [A] a un sistema triangular superior tenemos que eliminar de la i-ésima
ecuación i-1 incógnitas. Por tanto para i=1, la ecuación se escribe como está (ec. 3.3a). Pero para
i=2 (ec. 3.3b), tenemos que eliminar la variable x 1. Para ello multiplicaremos la primera ecuación (ec.
3.3a) por a 21 /a 11 :
1 11
21 1 n n 11
21 13 3 11
21 12 2 11
21 21 1
11 1 12 2 13 3 1 n n 1 11
21
b a
a a x a
a a x ... a
a a x a
a a x
a x a x a x ... a x b a
a
(3.4)
y restaremos el resultado de la ec. 3.3b. De esta manera obtenemos una nueva expresión en la que
no aparece x (^1)
1 11
21 1 n n 2 11
21 13 3 2 n 11
21 12 2 23 11
21 22 b a
a a x b a
a a x ... a a
a a x a a
a a = −
Procediendo de esta manera tenemos que eliminar la incógnita x 1 de las siguientes ecuaciones
(desde i=3 hasta n), siendo el coeficiente de multiplicación a (^) i1 /a 11. Así el sistema de ecuaciones se
transforma en:
a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 +...+a 1 nxn=b 1
1 11
21 1 n n 2 11
21 13 3 2 n 11
21 12 2 23 11
21 22 b a
a a x b a
a a x ... a a
a a x a a
a a = −
1 11
31 1 n n 3 11
31 13 3 3 n 11
31 12 2 33 11
31 32 b a
a a x b a
a a x ... a a
a a x a a
a a = −
− (^) (3.6a)
…
1 11
n 1 1 n n n 11
n 1 13 3 nn 11
n 1 12 2 n 3 11
n 1 n 2 b a
a a x b a
a a x ... a a
a a x a a
a a = −
− (^) (3.6b)
En los pasos anteriores, la ec 3.3a se utiliza como pivote, y a 11 se denomina coeficiente o elemento
pivote.
Ahora se repite el procedimiento descrito para eliminar la segunda incógnita en las ecuaciones
desde i=3 hasta n utilizando como ecuación pivote la ec. 3.5, y posteriormente se continúa el
procedimiento usando como ecuación pivote el resto de las ecuaciones hasta i=n-1, de manera que
el sistema se habrá trasformado en un sistema triangular superior.
3 SISTEMAS DE ECUACIONES
3.2. Sistemas de ecuaciones no lineales
Hasta ahora nos hemos ocupado de sistemas de ecuaciones lineales, de manera que en cualquiera
de las n ecuaciones se puede despejar la incógnita xi en función del resto.
Sin embargo, en ocasiones se plantean sistemas de ecuaciones no lineales que por tanto no podrán
expresarse en la forma general indicada en la ec. (3.1). Un ejemplo lo tenemos en:
y 3 xy 57
x xy 10
2
2
(3.9)
que para los fines de este apartado conviene expresar de esta otra manera:
g(x,y) y 3 xy 57
f(x,y) x xy 10
2
2
(3.10)
La mayoría de los métodos para resolver este tipo de sistemas utilizan el método de Newton-
Raphson para transformar las expresiones anteriores en ecuaciones lineales mediante la expansión
de la serie de Taylor de primer orden, y posteriormente se aplica la eliminación de Gauss estudiada
en el apartado anterior.
Para la expansión de la serie de Taylor hay que tener en cuenta que para un sistema de n
ecuaciones en cada una de ellas puede llegar a haber hasta n incógnitas, por lo que se hace
necesario usar series de Taylor de múltiples variables o multidimensionales. Así, para la k-ésima
expresión:
n
k,i n,i 1 n,i 2
k,i 2 ,i 1 2 ,i 1
k,i k ,i 1 k,i 1 ,i 1 1 ,i x
f ... (x x ) x
f (x x ) x
f f f (x x ) ∂
+ =^ + + − + + (3.11)
donde el subíndice k representa la ecuación o incógnita y el segundo subíndice representa si el
valor de la función es el actual (i) o el nuevo (i+1).
Una vez escritas las expresiones correspondientes a las n ecuaciones del sistema, la solución del
mismo consiste en el n conjunto de valores x (^) k,i+1 que hacen que todas las f (^) k,i+1 = 0, y por tanto la ec.
(3.11) y sus equivalentes se convierten en:
n
k,i n,i 2
k,i 2 ,i 1
k,i k,i 1 ,i n
k,i n,i 1 2
k,i 2 ,i 1 1
k,i 1 , i 1 x
f ... x x
f x x
f f x x
f ... x x
f x x
f x ∂
donde las únicas incógnitas son los términos x (^) k,i+1 del lado izquierdo. Efectivamente, los valores x (^) k,i
representan el valor actual (i), y por tanto son conocidos en cualquier iteración. En consecuencia, el
sistema de ecuaciones representado por la ec. (3.12) y sus equivalentes constituye un sistema de
ecuaciones lineales que se puede resolver por eliminación de Gauss.
Para la resolución de este tipo de sistemas también se puede utilizar la aplicación Solver de
Microsoft Excel, que permite la optimización de una celda determinada (maximizar, minimizar o
ajustar a un valor concreto) modificando de los valores de una o varias celdas. Conviene recordar
CALCULO NUMÉRICO
que los valores de x e y que representan la solución del sistema mostrado en la ec. (3.9) son
aquellos que hacen que f(x,y) y g(x,y) sean simultáneamente igual a 0. Por tanto se puede definir
una función objetivo tal y como sigue:
FO f (x,y) g(x,y) 0
2 2 = + = (3.13)
Se utilizan los valores cuadráticos de f(x,y) y g(x,y) para evitar que se considere solución óptima
aquella que de el mismo valor con signo contrario a las dos funciones. En lugar de usar la expresión
cuadrática, también se podría utilizar la suma del valor absoluto de las dos funciones.
3.3. Gauss-Jordan
Este método es una variación de la eliminación de Gauss consistente en normalizar la ecuación
pivote dividiéndola entre su elemento pivote y eliminar las incógnitas no solo en las ecuaciones
siguientes sino en todas las ecuaciones del sistema. De esta forma se genera una matriz identidad
en vez de una triangular, y no es necesario usar la sustitución regresiva para obtener la solución
definitiva.
Se puede conocer más acerca de este método en la Bibliografía, pero tiene la gran desventaja de
que requiere aproximadamente un 50% más de operaciones que el método de eliminación de
Gauss, por lo que generalmente se prefiere aquel.
3.4. Métodos de descomposición
Estos métodos se utilizan preferentemente cuando se quiere resolver [A]{X} con distintos vectores
{B}, y difieren de la eliminación gaussiana en que se realiza por separado la manipulación de [A] y
{B}.
Para entender básicamente como funcionan estos métodos, partiremos de la ec. (3.2), que
expresada de otra forma nos lleva a:
[A ]{X}− {B}= 0 (3.14)
La eliminación gaussiana, como hemos visto, consiste en desarrollar una matriz triangular superior
de manera que:
[U]{X} {D}
d
d
d
x
x
x
0 0 u
0 u u
u u u
3
2
1
3
2
1
33
22 23
11 12 13
⇒ =
(3.15)
Igualmente, esta ecuación se puede expresar de forma análoga como:
[U ]{X}− {D}= 0 (3.16)
Supongamos ahora que existe una matriz diagonal inferior [L] tal que todos los elementos de la
diagonal principal son igual a 1 y que tiene la propiedad de que cuando se multiplica por la ec.
(3.16), el resultado es la ec. (3.14):
CALCULO NUMÉRICO
Pues bien, si guardamos los coeficientes f en una nueva matriz en la posición correspondiente al
coeficiente a que hacen 0 (es decir, guardamos f 21 en la posición de a 21 , f 31 en la de a 31 y f 32 en la de
a 32 ), y teniendo en cuenta que según este criterio los coeficientes de la matriz principal son igual a 1
obtenemos una nueva matriz que coincide precisamente con la forma triangular deseada para [L]
f f 1
f 1 0
[L]
31 32
21 (3.23)
El álgebra matricial nos permitirá comprobar que efectivamente se cumple la ec. (3.18), es decir, el
producto de [U] por [L] es precisamente [A].
Segundo paso
El siguiente paso consiste en transformar el vector {B}, que contiene los coeficientes b 1 , b 2 , b 3 y
sucesivos, en el vector {D}, que contiene los nuevos coeficientes b 1 , b’ 2 , b” 3 , etc. Para ello se utilizan
los mismos factores que en el primer paso, y que han quedado almacenados en la matriz [L]. De
otra forma, se trata de resolver la ec. (3.19).
Puesto que esta ecuación equivale a la siguiente expresión:
3
2
1
" 3
' 2
1
31 32
21
b
b
b
b
b
b
f f 1
f 1 0
(3.24)
para el caso que nos ocupa se obtiene que:
3 32 (^2211 )^311
" 3 3
" 3
' 31 1 32 2
2 21 1
' 2 2
' 21 1 2
f b f b b b b b f b f b f b
f b b b b b f b
(3.25)
Teniendo en cuenta la definición de los coeficientes f y que d 1 =b 1 , d 2 =b’2, d 3 =b” 3 y sucesivamente,
este paso se puede representar de forma genérica como:
−
=
i 1
j 1
di bi fijdj (3.26)
Tercer paso
En el tercer paso se utilizan la matriz [U] y el vector [D] para obtener {X}, y por tanto coincide
exactamente con la sustitución regresiva de la eliminación gaussiana. De forma análoga a como se
ha procedido en el paso anterior, la ecuación matricial se puede representar por la ec. (3.15), y por
tanto:
3 SISTEMAS DE ECUACIONES
11
22
33
3 2 23
12 33
3 1 13
11 1 12 2 13 3 1 1
22
33
3 2 23
22 2 23 3 2 2
33
3 33 3 3 3
u
u
u
d d u
u u
d d u
u x u x u x d x
u
u
d d u
u x u x d x
u
d u x d x
(3.27)
Este paso se puede representar de forma genérica como:
ij
n
ji 1
i ii j
i u
d ux
x
=+
para i=n-1, n-2, ..., 1.
3.5. Gauss-Seidel
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para hallar una aproximación a la solución de
sistemas de ecuaciones cuyo planteamiento es similar al de los métodos abiertos de búsqueda de
raíces, es decir, se trata de suponer un valor y luego usar un método sistemático para obtener una
aproximación mejorada.
Supongamos un sistema de tres ecuaciones tal y como se muestra en la ec. (3.29):
3
2
1
3
2
1
31 32 33
21 22 23
11 12 13
b
b
b
x
x
x
a a a
a a a
a a a
(3.29)
Si los elementos de la diagonal no son todos cero, utilizaremos la primera ecuación (primera fila)
para despejar x 1 , la segunda para despejar x 2 y la tercera para despejar x 3 :
11
1 12 2 13 3 1 a
b a x a x x
= (^) (3.30a)
2
2 21 1 23 3 2 a
b a x a x x
= (^) (3.30b)
