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Tema 4
Probabilidad
Fenómeno aleatorio: es aquel cuyos resultados son impredecibles.^
Ejemplos:
Lanzamiento de una moneda: Resultados posibles: cara, cruz.
Selección al azar de un alumno entre los 30 de una clase: Resultados posibles unocualquiera de los 30.
La imprecisión de los resultados nos lleva a plantearnos la
medición de la
incertidumbre
ligada a estos resultados, evaluándola numéricamente.
Esto nos lleva a la probabilidad.
Conceptos básicos
Supongamos que se realiza un experimento aleatorio
Se llama
suceso elemental
a cada uno de los resultados posibles.
Se llama
Espacio muestral
al conjunto formado por todos los resultados posibles
Se llama
suceso
al compuesto por uno o más sucesos elementales
Se llama
suceso seguro
, que notaremos con E, al formado por todos los resultados
posibles
Se llama
suceso imposible
, que notaremos con
,al que no contiene ninguno de
resultados posibles
Tema 4: Probabilidad
Ejemplo: Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado
E ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Espaciomuestral
SucesoElemental: A={5} Suceso: B={2, 4, 6}
B
A
•Operaciones con sucesos
A y B es un nuevo suceso, AUB, constituido por los
sucesos elementales de A y los de B. Se realiza cuando tiene lugar cualquieralos sucesos elementales que lo forma.• Intersección de dos sucesos
A y B es un nuevo suceso,
, constituido
por los sucesos elementales que están a la vez en A y en B. Se realiza,cuando se realiza A y B.• Contrario de un suceso A
: Está formado por todos los suceso elementales de
E que no están en A. Se nota con•Dos sucesos A y B se dicen
incompatibles
si su intersección es el suceso
A
Tema 4: Probabilidad
Algebra de sucesos^
El conjunto de todos los sucesos está dotado de una estructura denominada álgebra de sucesos.
Un álgebra de sucesos es una clase, F, formada por subconjuntos de Edenominados sucesos del espacio muestral que verifica:
Si un suceso pertenece a F, también pertenece su complementario o contrario.
Si una serie de sucesos A1, A2, … , An, … pertenece a F, también pertenece la unión.
El suceso imposible también pertenece a F
Por tanto, las propiedades de unión, intersección y complementación de sucesos de F da lugar a sucesos que pertenecen a F.
Tema 4: Probabilidad
Concepto de probabilidad^
Dado un experimento y su espacio muestral asociado, E, una aplicación queasocia a cada suceso un número real
R
P: F
P(A)
A
es una probabilidad si verifica los siguientes axiomas:
Para cualquier suceso A, su probabilidad P(A) es mayor o igual a cero
La probabilidad del suceso seguro, E, es uno: P(E)=
Dados dos sucesos incompatibles A y B se verifica que la probabilidad de launión es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos:
P(AUB) = P(A) + P(B)
Toda aplicación que cumpla esos axiomas es una probabilidad definidasobre el álgebra de sucesos F. Se denomina espacio de probabilidad a laterna (E, F, P).
Tema 4: Probabilidad
Propiedades derivadas de los axiomas de la probabilidad
A
P
A
P
La probabilidad del suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad delsuceso
La probabilidad del suceso imposible es cero
(^
φ
P
La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las
probabilidades menos la probabilidad de la intersección
(^
B A P B P A P
AUB
P
Si el suceso A está incluido en el B, la probabilidad de A es menor o igual
a la de B
(^
B P A P B A
La probabilidad del cualquier suceso es menor o igual a 1
(^
A
P
Tema 4: Probabilidad
Probabilidad condicionada
Dado un suceso B con probabilidad no nula, la probabilidad de que ocurra A, supuesto queha ocurrido B, se denomina probabilidad condicionada de A dado B. Se determina como el cociente entre la probabilidad de la intersección y la del suceso condicionado:
) (
)
(
) / (^
B P
B A P B A P ∩
=
De modo similar se define la probabilidad del suceso condicionado B dado A, supuesto que A no es el suceso imposible:
Observa que estas igualdades nos permiten expresar la probabilidad del suceso intersección mediante:
(^
A
P
B A P A B P
(^
B P B A P A P A B P B A P
Sucesos independientes
Dos sucesos A y B se dice que son independientes si la realización de uno deellos no afecta a la realización del otro. Es decir:
P(A/B)=P(A), o de modo equivalente, P(B/A)=P(B)
O bien, también de modo equivalente, si la probabilidad de la intersección esigual al producto de las probabilidades
(^
B P A P B A P
Tema 4: Probabilidad
Ejemplos
(^
Q M P Q P M P
c)
(^
Q M P Q P M P Q M P
d)
(^85) , 0
(^15) , 0 1 ) ( 1 )
(^
=
−
− =^
Q P
Q P
e)
(^7) , 0 (^3) , 0 1 ) ( 1 ) ( )
(^
= − = ∪ − = ∪ = ∩
Q M P Q M P Q M
P f)
Q P M P Q M P
No son independientes
Tema 4: Probabilidad
Ejemplo
La tabla siguiente muestra la clasificación de un grupo de trabajadores deuna empresa según sector de producción en que trabaja y número de bajasregistradas durante un año.
sector producción
Dias deBAJA
Sector A
Sector B
Sector C
0-
100
120
50
10-
150
100
60
más de 20
98
130
80
Seleccionado un trabajador al azar, determina: a)
Probabilidad de que esté de baja más de 20 días b)
Probabilidad de que pertenezca al sector B c)
Probabilidad de que esté de baja más de 20 días y pertenezca al sector B d)
Probabilidad de que esté de baja más de 20 días o que pertenezca al sector B e)
Dado que pertenece al sector B, ¿qué probabilidad hay de que esté de baja más de 20 días? f) Son independientes los sucesos estar de baja más de 20 días y pertenecer^ al sector B? g) Probabilidad de no estar de baja más de 20 días h) Probabilidad de no estar de baja más de 20 días y no pertenecer al sector B
Tema 4: Probabilidad
Teorema de la Probabilidad Total
Dado un conjunto de sucesos A1, A2, …, An que verifica^
Su unión es el suceso seguro
E
An
A
A
=
∪ ∪
... 2
1 U
Para cualesquiera sucesos Ai, Aj, su intersección es el suceso imposible
j i
Aj
Ai
En estas condiciones, dado un suceso cualquiera, S, se verifica
(^
1
Ai S P Ai P
S
P
n ∑ i =
= A
A
A
Aj
Ai
… An
S …
Tema 4: Probabilidad
Teorema de Bayes
Dado un conjunto de sucesos A1, A2, …, An que verifica^
Su unión es el suceso seguro
E
An
A
A
=
∪ ∪
... 2
1 U
Para cualesquiera sucesos Ai, Aj, su intersección es el suceso imposible
j i
Aj
Ai
En estas condiciones, dado un suceso cualquiera, S, se verifica
1
Aj S P Aj P
Ai S P Ai P
S
Ai P
n ∑ j =
Ejemplo 1: 3 oficinas O1, O2 y O3 de una Compañía Aseguradora tienen respectivamente un total de asegurados igual a 1200, 2300 y 750. Los porcentajes de reclamaciones por parte de sus clientes son respectivamente del 2%, 1,8% y 3%. -Si se selecciona al azar un asegurado, ¿cuál es la probabilidad de que reclame? -Dada una reclamación ¿qué probabilidad hay de que proceda de la oficina O2?
Tema 4: Probabilidad
Ejemplo 2
Dos máquinas M1 y M2 producen el 70% y 30%, respectivamente del total de artículos de la producción. El 10% de los artículos producidos por M1 y 15% de^ los producidos por M2 son defectuosos. Se selecciona al azar un artículo y resulta ser defectuoso. ¿Qué probabilidad hay de que proceda de M2?
(^
M
P
M
P
(^
M D P M D P
(^
2 1
Mj D P Mj P
M D P M P D M P
j
