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TEMA 6: INCUMPLIMIENTO DE LAS HIPÓTESIS BÁSICAS
6.1 Introducción 6.2 Multicolinealidad 6.3 Normalidad 6.4 Heterocedasticidad 6.5 Autocorrelación
Objetivos del Tema 6:
- Entender la intuición del problema de colinealidad perfecta y colinealidad elevada
- Contraste de normalidad
- Consecuencias del incumplimiento de la normalidad
- Saber explicar en qué consiste la heterocedasticidad
- Propiedades de los estimadores bajo el problema de la heterocedasticidad
- Contrastes de heterocedasticidad
- Estimación consistente de las varianzas-covarianzas de los estimadores
- Saber explicar en qué consiste la autocorrelación
- Propiedades de los estimadores bajo el problema de la autocorrelación
- Contrastes de autocorrelación
6.1 Introducción
Las propiedades de los estimadores MCO en el MRL se han obtenido suponiendo que se cumplen las h.e.b. En concreto, si se cumplen las h.e.b los estimadores mínimo- cuadráticos son ELIO. Ahora cabe preguntarse, ¿Qué ocurre si no se cumplen algunas de las h.e.b?
Recordemos las hipótesis estadísticas básicas:
I) Hipótesis sobre la forma funcional:
El modelo es lineal en los parámetros: Yi =β 1 +β 2 X 2 i +β 3 X 3 i +β kXki + ui
II) Hipótesis sobre la perturbación aleatoria:
- Las perturbaciones, ui , son v.a. no observables.
- E(u (^) i ) = 0 ∀i = 1, ...... n
- Var(ui ) = σ^2 ∀i = 1, ...... n (Homoscedasticidad)
- Cov(ut , us ) = 0 ∀ t ≠ s
- La perturbación aleatoria sigue una distribución normal.
III) Hipótesis sobre los regresores:
- Los regresores son no estocásticos, o sea, son fijos. 1*) Los regresores se distribuyen independientemente del término de perturbación: E(Xki ui ) = 0 ∀k
- No hay relaciones lineales exactas entre los regresores
- Los regresores no tienen errores de medida.
IV) Hipótesis sobre β:
Los parámetros del modelo son fijos.
La multicolinealidad es un problema muestral que, aunque no incumple el supuesto 2 sobre los regresores, está relacionado con el comportamiento de los regresores y puede afectar gravemente a la estimación.
Por otro lado, los supuestos sobre las perturbaciones:
- Las perturbaciones son independientes
- Las perturbaciones se distribuyen normalmente
- Las perturbaciones tienen media 0
- Las perturbaciones tienen varianza constante (independientes del valor de alguna X)
Cuando los errores se grafican contra la variable independiente o el tiempo, el patrón debería de parecer aleatorio.
Uriel (2013): Introducción a la Econometría , Manual electrónico, Valencia (http://www.uv.es/~uriel/libroes.htm)
Vamos a ver cómo podemos comprobar que un modelo cumple con los
siguientes supuestos:
Normalidad
Homocedasticidad
Autocorrelación
Hay distintos contrastes para verificar esos supuestos pero vamos a ver
únicamente uno de ellos:
- Normalidad: Contraste de Bera-Jarque
- Homocedasticidad: Contraste de White
- Autocorrelación: Contrate de Durbin y Watson
Para comprobar que los parámetros se mantienen estables en el tiempo se
puede realizar el contraste de estabilidad estructural. En nuestro caso, lo
haremos utilizando variables ficticias.
Ejemplo: Especificación incorrecta
6.1 Multicolinealidad
Uno de los objetivos del MRL es explicar el comportamiento de una variable (Y) en función de una serie variables explicativas (X 1 ..... Xk ). Para ello se han de separar los efectos de cada uno de los regresores sobre Y.
Si las variables explicativas tienden a moverse conjuntamente (es decir están correlacionadas), el modelo presentará cierto grado de multicolinealidad y la separación de los efectos individuales de cada X sobre Y se verá dificultada. (Ejemplo: la experiencia laboral y la edad como variables explicativas de los salarios).
Multicolinealidad PERFECTA
Se trata de un caso teórico puesto que en la práctica no suele producirse este tipo de multicolinealidad. Se produce cuando hay un regresor que es C.L exacta de otros regresores del modelo (incumplimiento de la hipótesis III.2). Por ejemplo: trampa de las ficticias.
En este caso no es posible efectuar estimaciones de los parámetros, los estimadores no están definidos por lo que ni siquiera cabe plantearse las propiedades de los estimadores.
Multicolinealidad (no perfecta)
El problema de la multicolinealidad elevada consiste en que es difícil separar los efectos individuales de los regresores correlacionados. Por lo tanto, las estimaciones concretas del efecto de un regresor pueden contener grandes errores al absorber en la estimación la influencia de las otras variables con las que está correlacionada. Por lo tanto, si hay un elevado grado de colinealidad entre los regresores:
a) Las varianzas de los estimadores serán elevadas, a pesar de que los estimadores MCO siguen siendo ELIO. b) Alta sensibilidad de los estimadores MCO y de sus varianzas a pequeños cambios en la muestra.
c) Es posible que se obtenga un valor elevado de R^2 (si las variables son relevantes
conjuntamente) pero pocas variables significativas individualmente. Es decir, los contrastes de significatividad individual y de significatividad conjunta de los parámetros del modelo pueden darnos conclusiones contradictorias. d) Se puede aceptar con frecuencia la hipótesis nula de que un parámetro es cero, aun cuando la correspondiente variable sea relevante.
Formas de detectar el problema de la multicolinealidad.
Como la multicolinealidad es un problema esencialmente muestral asociada a los datos de las variables explicativas no se cuenta con un método único para detectar cuando la multicolinealidad constituye un problema serio. Lo que tenemos en realidad son unas reglas generales (algunas formales y otras informales), algunas de ellas son:
- Un R^2 elevado (por lo tanto los regresores serán conjuntamente significativos) pero
pocas ratios t significativas (o sea, los regresores individualmente no serán significativos).
- Altas correlaciones entre parejas de regresores.
- Pequeños cambios en la muestra provocan grandes cambios en las estimaciones.
- Factor de agrandamiento de la varianza. En un MRLM, si el regresor j-ésimo fuera ortogonal con respecto a los demás regresores (es decir, si la correlación con el resto de los regresores fuera nula), la fórmula para la varianza quedaría reducida a:
ˆ^2
vaˆr ˆ j
j (^) nS
que al compararlo con la siguiente expresión (dividiendo una por la otra):
2
1
vaˆr j j
j n − R S
Obtenemos el factor de agrandamiento:
R j
FAV
que es la razón entre la varianza observada de βˆ^ j y la varianza que tendría βˆ^ j en el
caso de que Xj estuviera incorrelacionada con el resto de regresores del modelo. Dicho de otra forma, el FAV muestra en qué medida se «agranda» la varianza del estimador como consecuencia de la existencia de correlación entre los regresores.
Se considera que existe un problema serio de colinealidad si FAV >10 o
alternativamente si R^2 j > 0,9.
Soluciones a la multicolinealidad
La multicolinealidad es un problema muestral y no hay por tanto una solución específica aunque si que hay ciertas reglas generales para tratar de solucionar el problema.
- Intentar reducir la varianza de los estimadores: Tratar de reducir la varianza de las perturbaciones (encontrar variables relevantes omitidas) Tratar de incrementar el número de observaciones. No siempre es viable. Tratar de incrementar la varianza de los regresores. Variabilidad Tratar de obtener una muestra en que las variables explicativas estén menos correlacionadas. Mejora del diseño muestral, p.ej. si se quiere ver como afecta la edad y la experiencia en el salario, parece que en las mujeres estas dos variables están menos correlacionadas.
- Eliminar el regresor colineal. El problema de la multicolinealidad esencialmente es un problema de insuficiencia de la información muestral para estimar de forma precisa los efectos individuales. A veces, estamos más interesados en unos parámetros que en otros pero si optamos a eliminar el regresor colineal podemos incurrir en un sesgo de especificación que da lugar a estimadores sesgados por lo que la solución puede acarrear problemas incluso más graves que los que genera la multicolinealidad.
- Utilizar infomación extramuestral. Por ejemplo, conocer el valor de ciertos parámetros por otras investigaciones. Estableciendo restricciones sobre los parámetros o combinando las variables si son conceptualmente parecidas, de esta forma se reducen los parámetros a estimar y se palian posibles deficiencias muestrales (p.ej.: el gasto en publicidad o la educación del padre y de la madre)
- Transfomar las variables (ratios, tasas de crecimiento, primeras diferencias, desviaciones respecto a una tendencia). Debe tenerse en cuenta la teoría económica para ver si tienen sentido.
Finalmente, cabe preguntarse ¿La multicolinealidad es necesariamente un problema?. Si el objeto de la regresión no es la interpretación teórica de los coeficientes, la multicolinealidad puede no ser un problema grave, (recordar que el problema básico es la interpretación de los coeficientes de regresión, pues no se puede separar efectos de forma nítida). Si el objetivo es la predicción, entonces un elevado R 2 será suficiente para que el modelo sea adecuado.
Ejemplos:
c) ¿Hay discriminación por razón de sexo? Razone su respuesta. d) Plantee un modelo de regresión que permita analizar si la diferencia salarial entre hombres y mujeres aumenta con la experiencia laboral e indique como realizaría el contraste pertinente. e) ¿Detecta algún problema en la estimación del modelo? ¿Cómo lo solucionaría? Razone su respuesta.
- En un modelo de regresión lineal múltiple, con k=4, se tiene que (^) X (^) 2 i = 3 X 4 i , ¿Qué
supuesto básico se está incumpliendo? ¿Qué consecuencias tendrá sobre la aplicación de
MCO? ¿Cambiaría sus respuestas anteriores si X (^) 2 i = ( X 4 i )^2?
6.3 Normalidad
Los estimadores son ELIO con independencia del tipo de distribución que sigan las perturbaciones, es decir, las propiedades de los estimadores se siguen verificando en ausencia de normalidad.
Sin embargo, la mayoría de las distribuciones obtenidas se basan en la hipótesis de normalidad de las perturbaciones:
u i → N ( 0 , σ^2 )
La construcción de intervalos de confianza y la realización de contrastes de hipótesis se han desarrollado partiendo de:
ˆ (^) ( ,^2 ˆ ) i i i β → N β σ β
Si las perturbaciones no siguen una distribución normal, entonces los contrastes de hipótesis no estarían plenamente justificados. Los estadísticos utilizados para realizar contrastes y que siguen distribuciones derivadas de la normal (t de Student, F de Snedecor) ya no tendrán distribuciones conocidas que nos sirvan para realizar los contrastes. Por tanto vamos a proceder a contrastar la normalidad de las perturbaciones.
Para contrastar la hipótesis de normalidad sobre la perturbación vamos a utilizar los residuos. Uno de los contrastes más utilizados es el de Bera y Jarque que utilizan un estadístico basado en el coeficiente de asimetría y curtosis de los residuos^2 :
( ) (^)
= ^ + −^2 2
2 6 γ^1 24 γ^3
n n BJ
(^2) El coeficiente de asimetría es un momento de tercer orden estandarizado que mide la asimetría respecto
al origen. El coeficiente de curtosis mide la curvatura de la distribución y es el momento de cuarto orden estandarizado. En una normal el coeficiente de curtosis es igual a 3 y el de asimetría es igual a 0.
Bajo la hipótesis de normalidad, el estadístico de BJ se distribuye asintóticamente como una chi-cuadrado con dos grados de libertad.
Puntualizaciones: a) Es un contraste asintótico. b) El contraste es sensible a la presencia de observaciones atípicas. c) El contraste no da información sobre la razón por la que se rechaza la Normalidad. d) El contraste se puede aplicar a cualquier variable, pero previamente se ha de quitar la media. (El contraste fue diseñado para aplicar a los residuos que tienen media cero).
El GRETL proporciona por defecto el Contraste de Doornik-Hansen, denominado Contraste Chi-Cuadrado, que es válido en muestras pequeñas y también se distribuye como una Chi-cuadrado con dos grados de libertad.
6.4 Heterocedasticidad
Naturaleza del problema
La heterocedasticidad es un problema que es más probable que aparezca con datos de corte transversal.
Bajo la hipótesis de homocedasticidad (suponiendo no autocorrelación), la variabilidad o volatilidad es la misma para todos los individuos. En este caso, en el MRL se deben
estimar k+1 parámetros: k coeficientes más la varianza de las perturbaciones ( σ 2 ).
Bajo la hipótesis de heterocedasticidad (suponiendo no autocorrelación), la varianza es distinta para cada individuo. En este caso tendremos que estimar k+n parámetros; k coeficientes más las n varianzas de las perturbaciones. Dado que el tamaño muestral es n, se tiene que el número de parámetros a estimar es mayor que el número de observaciones disponibles. No es posible estimar y en ese caso es necesario suponer que la heterocedasticidad sigue un determinado esquema de comportamiento.
Por ejemplo, σ (^) i^2^ = λ Xji. En este caso el número de parámetros a estimar sería de
nuevo k+1.
Cuando los errores se grafican contra la variable independiente o el tiempo, el patrón debería de parecer aleatorio.
Formas de detectar el problema
Como una primera aproximación puede analizarse el gráfico de los residuos mínimo- cuadráticos en función de la variable endógena estimada o en función de la variable explicativa que supuestamente genera la heterocedasticidad.
A continuación se recoge el gráfico de dispersión de los residuos en del modelo:
Marktvali = β 1 + β 2 Bookvali + u i (Uriel^ et^ al.^ pág.^ 93)^ y^ la^ variable^ explicativa
Bookval.
El siguiente gráfico es el gráfico de dispersión de los residuos del modelo:
Lmarktvali = β 1 + β 2 Lbookvali + u i (Uriel et al. pág. 123) y la variable explicativa
Lbookval.
Contraste de White
Se estima un modelo y se sospecha que puede haber heterocedasticidad:
Ejemplos:
Contraste de White en el modelo Bookval-Marktval
Demanda de Lácteos:
Se tiene además la siguiente información:
Contrasta el cumplimiento o no de la hipótesis de homoscedasticidad de las perturbaciones. Explica, detalladamente, en qué consiste el contraste y qué consecuencias tendría la existencia de heteroscedasticidad sobre los estimadores MCO.
Tratamiento de la heterocedasticidad
¿Qué hacemos si hemos estimado un modelo por MCO y los contrastes de heterocedasticidad nos indican que hay problemas de heterocedásticidad? Recordad que si existe heterocedasticidad, los estimadores mínimo-cuadráticos son no óptimos y la inferencia no es válida.
Si aun existiendo heterocedasticidad, se continúa estimando los parámetros por MCO, al menos tendremos que corregir la estimación de las varianzas-covarianzas de los estimadores MCO. Es decir, tendremos que obtener una estimación consistente de las varianzas-covarianzas de los estimadores. En este caso la inferencia es válida pero los estimadores mínimo-cuadráticos no son óptimos.
