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2 POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS
E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Escribe cada potencia como producto y calcula su valor. a) ( 7)^3 b) 4^5 c) ( 8)^3 d) ( 3)^4 a) (7)^3 (7) (7) (7) 343 c) (8)^3 (8) (8) (8) 512 b) 4^5 4 4 4 4 4 1024 d) (3)^4 (3) (3) (3) (3) 81
Expresa como potencias de base negativa. a) 49 b) 8 c) 16 d) 27 a) 49 (7)^2 b) 8 (2)^3 c) 16 (4)^2 d) 27 (3)^3
Halla las potencias sucesivas de ( 1) y explica qué observas. (1)^1 1, (1)^2 1, (1)^3 1, (1)^4 1… Si el exponente es par, el resultado es 1. Si el exponente es impar, el resultado es 1.
Escribe como una sola potencia.
a) 2^4 26 b) ( 5)^8 ( 5)^3 c) [ ( 9)^2 ]^3 d) ( 4)^3 ( 4)^3 ( 4)
a) 2^4 2 6 24 ^6 2 10 c) [(9)^2 ]^3 (9)^2 ^3 (9)^6
b) (5)^8 (5)^3 (5)^8 ^3 (5)^5 d) (4)^3 (4)^3 (4) (4)^3 ^3 (4) (4)^6 (4) (4)^5
Sustituye a por el número que corresponda.
a) ( 4)^5 ( 4) a^ ( 4)^7 b) ( 6)^12 [ ( 6)^4 ] a^ ( 6)^4
a) (4)^5 (4) a^ (4)^7 ⇒ (4)^5 ^ a^ (4)^7 ⇒ 5 a 7 ⇒ a 2
b) (6)^12 [(6)^4 ] a^ (6)^4 ⇒ (6)^12 (6)^4 ^ a^ (6)^4 ⇒ (6)^12 ^4 a^ (6)^4 ⇒ 12 4 a 4 ⇒ a 2
Escribe como una sola potencia. a) 3^5 ( 7)^5 b) ( 15)^4 54 c) ( 8)^2 ( 4)^2 32 a) 3^5 (7)^5 [3 (7)] 5 (21) 5 b) (15)^4 54 [(15) 5]^4 (3)^4 c) (8)^2 (4)^2 3 2 [(8) (4) 3]^2 (96)^2
Copia y completa.
a) ( 2)^4 ( 3)^4 ( )^4 b) ( 18)^6 ( 9)^6 2 ^ c) ( )^3 53 ( 25)^3 d) 7^2 ( )^2 22 ( 42)^2
a) (2)^4 (3)^4 64 c) (125) 3 53 (25)^3 b) (18)^6 (9)^6 2 6 d) 7^2 (3)^2 22 (42)^2
Sustituye las letras por los números que hagan que las igualdades sean ciertas. a) ( 6)^9 ( 3)^9 ( 2) a^ ( 36)^9 b) 2^5 ( 8)^5 ( 16) a^ c) ( 9) a^ 34 ( 3)^4 d) ( 30) a^ ( 5) a^ b^2 a) a 9. En efecto, (6)^9 (3)^9 (2)^9 [(6) (3) (2)]^9 (36) 9 b) a 5. En efecto, 2 5 (8)^5 [2 (8)] 5 (16)^5 c) a 4. En efecto, (9)^4 34 [(9) 3]^4 (3)^4 d) a 2, b 6. En efecto, (30)^2 (5)^2 [ 30 (5)]^2 6 2
Escribe 216 8 ( 5)^3 en forma de potencia y calcula el resultado. Descomponiendo 216 y 8 se obtiene: 216 23 3 3 y 8 2 3. Aplicando en primer lugar la propiedad conmutativa, y poste- riormente la asociativa: 216 8 (5) 3 (2 3 3 3 ) 2 3 (5) 3 (3 3 2 3 ) 2 3 (5) 3 3 3 (2 3 2 3 ) (5) 3 3 3 1 (5) 3 3 3 (5)^3 153
Estudia si son cuadrados perfectos. a) 64 b) 70 c) 100 d) 225 e) 111 a) Sí es cuadrado perfecto. En efecto, 8 2 64. b) No es cuadrado perfecto, ya que 8 2 64, 9^2 81 y 64 70 81. c) Sí es cuadrado perfecto. En efecto, 10 2 100. d) Sí es cuadrado perfecto. En efecto, 15 2 225. e) No es cuadrado perfecto, ya que 10 2 100, 11^2 121 y 100 111 121.
Calcula la raíz cuadrada exacta de 196. Se puede resolver por tanteo. En el ejercicio anterior se ha visto que 11 2 121 y 15^2 225. Como 121 196 225, el número buscado ha de ser mayor que 11 y menor que 15. Probando: 12 2 144, 13^2 169, 14^2 196. La raíz cuadrada exacta de 196 es 14. Se escribe (^) (^196) 14.
Calcula la raíz cuadrada entera y el resto de los siguientes números. a) 7 b) 39 c) 13 d) 55 e) 110 a) Se observa que 2^2 4 y 3^2 9. Como 4 7 9, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 7 es 2 y 7 22 3. La raíz cuadrada entera de 7 es 2, y el resto, 3. Se puede escribir de la siguiente forma: 7 2 2 3. b) Se observa que 6^2 36 y 7^2 49. Como 36 39 49, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 39 es 6 y 39 6 2 3. La raíz cuadrada entera de 39 es 6, y el resto, 3. Se puede escribir de la siguiente forma: 36 62 3. c) Se observa que 3^2 9 y 4^2 16. Como 9 13 16, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 13 es 3 y 13 3 2 4. La raíz cuadrada entera de 13 es 3, y el resto, 4. Se puede escribir de la siguiente forma: 13 32 4. d) Se observa que 7^2 49 y 8^2 64. Como 49 55 64, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado esmenor que 55 es 7 y 55 7 2 6. La raíz cuadrada entera de 55 es 7, y el resto, 6. Se puede escribir de la siguiente forma: 55 72 6. e) Se observa que 10^2 100 y 11^2 121. Como 100 110 121, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 110 es 10 y 110 102 10. La raíz cuadrada entera de 110 es 10, y el resto, 10. Se puede escribir de la siguiente for- ma: 110 102 10.
Sustituye la letra a para que sean ciertas las igualdades. a) (^) (^25) (^) (^4) (^) a b) (^) (^4) (^) a (^) (^36) c) (^) a (^) (^64) (^) (^16) d) (^) (^8) a 3 1
a) (^) (^25) (^) (^4) (^) (^25) 4 (^) (^100) ⇒ a 100 b) (^) (^4) (^) a (^) (^4) a (^) (^36) ⇒ 4 a 36 ⇒ a 9 c) (^) a (^) (^64) (^) (^16) (^) (^64) (^16) (^) (^4) 2 ⇒ (^) a 2 ⇒ a 4 d) (^) (^8) a 3 (^) (^8) a (^) a (^) a (^) (^8) (^) a ^3 (^) (^8) a^3 1 ⇒ 8 a^3 1 ⇒ a^3 1 ⇒ a 1
Expresa en forma de potencia.
a) 36 ^3
b) 3 ^5 —
—^5
c) 64 ^7
d) 32 ^3 2 ^3
a) (^) (^36) ^3 (^36)
3 63
b) 3 ^5 ^623 ^5 3 ^5 ^623 ^5 ^3
^5
^ ^3
^4 ^252 ^ ^3 ^4 ^ ^25 ^2 ^32 ^52 ^152
c) (^) (^64) ^7 (^64)
7 8 7
d) (^) (^32) ^3 (^) (^2) ^3 (^) (^32) ^3 (^23) (^) (32 2 ) ^3 (^) (^16) ^3 (^16) 3 43
Si un folio lo doblamos por la mitad, obtenemos 2 partes iguales. Si lo volvemos a doblar, obtenemos 4 partes iguales, y así sucesivamente. ¿En cuántas partes queda dividida una hoja si la doblamos 10 veces?
Si se dobla una hoja por la mitad 10 veces, se obtienen 1024 partes iguales.
C Á L C U L O M E N T A L
Copia y completa la tabla.
Indica el signo de estas potencias. a) ( 7)^12 b) ( 8)^21 c) ( 3)^9 d) ( 2)^36 a) El signo es positivo porque el exponente es par. b) El signo es negativo porque el exponente es impar. c) El signo es negativo porque el exponente es impar. d) El signo es positivo porque el exponente es par.
¿Cuáles de los siguientes números son cuadrados perfectos? 24 16 169 50 225 84 Son cuadrados perfectos los siguientes números: 16 4 2 , 169 132 , 225 152. 24 no es cuadrado perfecto, puesto que 4 2 16, 5^2 25 y 16 24 25. 50 no es cuadrado perfecto, puesto que 7 2 49, 8^2 64 y 49 50 64. 84 no es cuadrado perfecto, puesto que 9 2 81, 10^2 100 y 81 84 100.
Calcula la raíz cuadrada entera y el resto de los siguientes números. a) 3 b) 10 c) 75 a) Como 1 2 1 3 22 4 y 3 12 2, se tiene que la raíz cuadrada entera de 3 es 1, y el resto, 2. b) Como 3^2 9 10 4 2 16 y 10 3 2 1, se tiene que la raíz cuadrada entera de 10 es 3, y el resto, 1. c) Como 8^2 64 75 9 2 81 y 75 8 2 11, se tiene que la raíz cuadrada entera de 75 es 8, y el resto, 11.
¿Qué números enteros elevados al cuadrado dan como resultado cada uno de los siguientes? a) 9 b) 64 c) 144 a) 3, ya que 3 2 9. b) 8, ya que 8 2 64. c) 12, ya que 12 2 144.
Doblez n. o^ Partes obtenidas 1 2 2 2 2 2 2 4 3 4 2 2 3 8 4 8 2 2 4 16 5 16 2 25 32 6 32 2 26 64 7 64 2 27 128 8 128 2 28 256 9 256 2 29 512 10 512 2 2 10 1024
a 2 4 7 5 a^2 a^3 8 27
a 2 4 7 3 5 a^2 4 16 49 9 25 a^3 8 64 343 27 125
Calcula. a) (^) (^900) b) (^) (^3600) c) (^) 10 000
a) (^) (^900) (^) (^9) 100 (^) (^9) (^) (^100) 3 10 30 b) (^) (^3600) (^) (^36) (^100) (^) (^36) (^) (^100) 6 10 60 c) (^) 10 000 (^) (^100) (^100) (^) (^100) (^) (^100) 10 10 100
Sustituye a por el número que hace que la igualdad sea cierta.
a) ( 4)^3 ( 4) a^ ( 4)^8 c) ( 3 a )^5 310
b) 14^4 a^4 74 d) ( 2)^4 ( 2)^3 ( 2) a
a) (4)^3 (4) a^ (4)^3 ^ a^ (4)^8 ⇒ 3 a 8 ⇒ a 5 b) 14 4 a^4 (14 a )^4 74 ⇒ 14 a 7 ⇒ a 2
c) ( 3 a )^5 3 a^ ^5 3 10 ⇒ 5 a 10 ⇒ a 2
d) (2)^4 (2)^3 (2)^4 ^3 (2) a^ ⇒ 4 3 a ⇒ a 1
Razona si son ciertas estas igualdades. a) ( 6)^3 ( 6)^3 ( 6)^6 b) ( 6)^3 ( 6)^3 363
a) La igualdad es cierta. En efecto, (6)^3 (6)^3 (6)^3 ^3 (6)^6
b) La igualdad es cierta. En efecto, (6)^3 (6)^3 (6)^6 y 36^3 [(6)^2 ]^3 (6)^2 ^3 (6)^6
Escribe como producto de raíces y calcula. a) (^) (^121) (^16) b) (^) (^81) (^1) 00 (^25) c) (^) (^225) (^196)
a) (^) (^121) (^16) (^) (^121) (^) (^16) 11 4 44 b) (^) (^81) (^100) 25 (^) (^81) (^) (^100) (^) (^25) 9 10 5 450 c) (^) (^225) (^196) (^) (^225) (^) (^196) 15 14 210
Calcula. a) 41 32 25 c) 5^2 42 8 b) 2^3 (^) (^49) 32 d) [( 2)^3 ]^2 [5 ( 3)] ( 2)
a) 41 32 25 41 9 25 50 25 25 b) 2^3 (^) (^49) 32 8 7 9 8 63 71 c) 5^2 4 2 8 25 16 8 25 2 23
d) [(2)^3 ]^2 [5 (3)] (2) (8)^2 2 (2) 64 4 68
E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E
Potencias
Escribe en forma de potencia estos productos. a) 8 ( 8) ( 8) c) 9 ( 3) ( 3) b) 2 16 d) 125 25
a) 8 (8) (8) (8)^3 c) 9 (3) (3) 32 (3)^2 34 b) 2 16 2 24 25 d) 125 25 ( 5)^3 52 (5)^5
Calcula utilizando operaciones con potencias. a) ( 4)^3 ( 4) 42 b) 213 [( 2) ( 2)^5 27 ] a) (4)^3 (4) 42 (4)^3 ^1 4 2 (4)^2 42 42 4 2 4 4 256 b) 213 [(2) (2)^5 2 7 ] 2 13 [(2)^5 ^1 27 ] 2 13 [(2)^6 27 ] 2 13 (2^6 2 7 ) 2 13 26 ^7 213 213 1
Cuadrados perfectos y raíces cuadradas
Escribe para cada número el cuadrado perfecto anterior y el posterior. a) 60 b) 23 c) 94 d) 110 a) 7^2 49 60 8 2 64 b) 4^2 16 23 52 25 c) 9^2 81 94 102 100 d) 10^2 100 110 112 121
Escribe todos los cuadrados perfectos que hay entre 200 y 300.
Los cuadrados perfectos entre 200 y 300 son: 225, 256 y 289.
Razona si son ciertas estas afirmaciones. a) La raíz cuadrada exacta de un cuadrado perfecto es él mismo. b) El resto de una raíz cuadrada exacta es 0. a) Falso, la raíz cuadrada exacta de un cuadrado perfecto es él mismo o su opuesto. b) Verdadero.
Encuentra un número cuyo cuadrado sea 256. ¿Cómo se llama la operación que permite calcular el nú- mero anterior? La operación se llama raíz cuadrada: (^) (^256) 16. Los números cuyos cuadrados son 256 son 16 y 16.
Indica si las raíces cuadradas de los siguientes números son exactas o enteras. a) 68 b) 169 c) 36 d) 82 a) Entera: 8^2 64 68 9 2 81. La raíz cuadrada es 8, y el resto, 4. b) Exacta: 13 2 169. La raíz cuadrada es 13. c) Exacta: 6^2 36. La raíz cuadrada es 6. d) Entera: 9 2 81 82 10 2 100. La raíz cuadrada es 9, y el resto, 1.
Halla la raíz cuadrada entera y el resto de: a) 13 b) 58 c) 92 d) 140 a) Se observa que 3^2 9 y 4^2 16. Como 9 13 16, el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 13 es 3, y 13 32 4. La raíz cuadrada entera de 13 es 3, y el resto, 4. Se puede escribir de la siguiente forma: 13 32 4. b) Se observa que 7^2 49 y 8^2 64. Como 49 58 64, el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 58 es 7 y 58 72 9. La raíz cuadrada entera de 58 es 7, y el resto 9. Se puede escribir de la siguiente forma: 58 72 9. c) Se observa que 9^2 81 y 10^2 100. Como 81 92 100, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 92 es 9 y 92 92 11. La raíz cuadrada entera de 92 es 9, y el resto 11. Se puede escribir de la siguiente forma: 92 92 11. d) Se observa que 11 2 121, y 12^2 144. Como 121 140 144, el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 140 es 11, y 140 112 19. La raíz cuadrada entera de 140 es 11, y el resto, 19. Se puede escribir de la siguiente forma: 140 112 19.
x x^2 14 142 196 15 152 225 16 162 256 17 172 289 18 182 324
Calcula un número tal que su raíz cuadrada entera es 15 y el resto 40.
El número buscado es a 152 40 225 40 264.
Regla de cálculo de la raíz cuadrada
Escribe un número cuya raíz cuadrada tenga estas cifras. a) 1 cifra b) 3 cifras c) 4 cifras
Para saber cuántas cifras tiene la raíz cuadrada de un número, basta separar el radicando en grupos de dos cifras empezando por la derecha. El número de grupos obtenidos coincide con el número de cifras de la raíz. a) Cualquier número de una o dos cifras. Ejemplo: 25 b) Cualquier número de cinco o seis cifras. Ejemplo: 49 729 c) Cualquier número de siete u ocho cifras. Ejemplo: 1 752 976
Calcula estas raíces con dos decimales. a) (^) (^769) b) (^) (^1500) c) (^) (^7585) d) (^) 62 413 Indica el resto para cada caso.
Comprueba de dos formas diferentes que la raíz cuadrada entera de 234 es 15 y el resto es 9.
Un modo de comprobarlo es realizar la raíz cuadrada con el algoritmo estudiado en el tema:
Otro modo es comprobar que 15 2 225 234 162 256 y 225 9 234.
a) (^) 7.6910 (^000) 27, 4 47 7 329 369 547 7 3829 (^329 5543) 3 16629 340, 3 38, 3 01, 000,0471 → RESTO
d) (^) 6.24.13 (^1111) 1 249, 4 44 4 176 224 489 9 4401 (^176 4988) 8 39904 (^04813 49962) 2 99924 0 4401 40412, 44 399, 44 012, 44 019, 44 012,9676 → RESTO
c) (^) 75.850 (^0001) 87, 64 167 7 1169 1185 1740 0 0 (^1169 17409) 9 156681 0016, 0000, 0016, 0015, 0010,3319 → RESTO
b) (^) 15.000 (^000) 38, 9 68 8 544 600 767 7 5369 (^544 7742) 2 15484 556, 3 53, 3 02, 3 01, 3 00,7616 → RESTO
2.341 15 1 25 5 125 134 125 009 → RESTO
Jerarquía de las operaciones
Realiza las siguientes operaciones. a) ( 5) 3 4 25 b) 3 4 (8^2 5 12) 2 c) 6^2 24 6 2 d) (^) (^100) (^36) (^) (^16) (^) (^25) 1
a) (5) 3 4 2 5 (5) 12 32 25 b) 3 4 (8 2 5 12)^2 3 4 (64 60)^2 3 4 42 3 4 16 3 64 67 c) 6^2 24 6 2 36 24 6 2 36 4 2 36 2 34 d) (^) (^100) 36 (^) (^16) (^) (^25) 1 (^) (^64) 4 5 1 8 4 5 1 2 5 1 2
Calcula.
a) [ 32 ]^4 [( 2) ( 5)^2 ] 3
b) ( 4) (^) (^9) (^42) ( 6)^3 12
c) [(8^2 1) 32 ]^2 5 [34 ( 17)]
d) 4^2 8 23 ( 12) (^) ( 5) 7 (^3) (^) (^4)
a) ( 32 )^4 [(2) (5)^2 ] 3 38 [(2) 25] 3 38 (27) 3 38 (9) 38 9 6552
b) (4) (^) 9 42 (6)^3 12 (4) (^) (^9) 16 (216) 12 (4) (^) (^25) (18) (4) 5 18 20 18 2
c) [(8^2 1) 32 ]^2 5 [34 (17)] [(64 1) 9]^2 5 17 (63 9)^2 85 72 85 49 85 134
d) 4^2 8 23 (12) (^) (5) 7 3 (^) (^4) 16 8 8 (12) (^) (^16) (^) (^4) 2 8 (12) 4 2 2 8 (3) 2 2 8 3 2 10 5 5
P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R
Expresa en forma de potencia de base 10 las siguientes medidas. a) 1000 kg b) 10 000 m^2 c) 1 000 000 m d) 1 m 3
a) 1000 kg 103 kg b) 10 000 m^2 104 m^2 c) 1 000 000 m 106 m d) 1 m^3 100 m^3
La capacidad de almacenamiento de un ordenador se mide en bytes y sus múltiplos. 1 kilobyte 1 kb 210 bytes 1 megabyte 1 Mb 210 kb 1 gigabyte 1 Gb 210 Mb Calcula a cuántos bytes equivalen 1 Mb y 1 Gb.
1 Mb 2 10 kb 210 210 bytes 210 ^10 bytes 2 20 bytes 1 Gb 210 Mb 210 2 10 kb 210 210 2 10 bytes 2 10 ^10 ^10 2 30 bytes
Los alumnos de 2. o^ de un centro escolar van a sembrar azucenas y tulipanes en el patio. Quieren colo- carlos formando cuadrados y tienen 8 bulbos de azucenas y 20 de tulipanes. a) ¿Cuál es el máximo cuadrado que pueden formar con cada tipo de planta? ¿Cuántas les sobran? b) ¿Cuál es el mínimo número de bulbos que deben plantar para conseguir los cuadrados sin que sobre ninguno?
a) El problema se resuelve calculando la raíz cuadrada entera y el resto de 8 y 20, ya que la raíz cuadrada entera de un número dado es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que el número dado. Como 2 2 4 8 32 9, la raíz cuadrada entera de 8 es 2, y el resto, 4. Por tanto, el máximo cuadrado que pueden formar con las azucenas es un cuadrado de lado 2, para el que consumen 2 2 4 azucenas. Les sobran 8 4 4 azucenas. Como 4 2 16 20 52 25, la raíz cuadrada entera de 20 es 4, y el resto, 4. Por tanto, el máximo cuadrado que pue- den formar con los tulipanes es un cuadrado de lado 4, para el que consum en 42 16 tulipanes. Les sobran 20 16 4 tulipanes.
b) El mínimo número de bulbos que hay que plantar para conseguir cuadrados sin que sobre ninguno es el menor entero cuadrado perfecto que es mayor que el número de bulbos. En el caso de las azucenas se tiene que 2 2 4 8 3 2 9, luego se necesitan 9 bulbos. En el caso de los tulipanes, se tiene que 4 2 16 20 52 25, luego se necesitan 25 tuli- panes. Ambos apartados del problema se pueden ilustrar con el siguiente dibujo.
El cociente de dos potencias de igual exponente es ( 6) 4 , y el divisor, ( 2)^4. Calcula el dividendo.
En una división exacta, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente. Por tanto, el dividendo es: (6)^4 (2)^4 [(6) (2)]^4 124 En efecto, 12^4 (2)^4 [12 (2)] 4 (6)^4
¿A qué número hay que elevar 100 para obtener 10^12?
En primer lugar, es necesario calcular 10 12 1 000 000 000 000. En total aparecen 12 ceros en el número. Para la resolución del ejercicio se puede observar en primer lugar qué sucede al elevar 100 a potencias sucesivas.
1001 100 (dos ceros) 1002 10 000 (cuatro ceros) 1003 1 000 000 (seis ceros) …
Es decir, obtenemos un 1 seguido del doble de ceros de lo indicado en el exponente. Por ello, para obtener 12 ceros, el expo- nente habrá de ser 6. En efecto, 100 6 1 000 000 000 000.
9 8 7
4 3 6
(^1 2 5 1 2 3 4 )
5 6 7 8 24
9 10 11 12 23
13 14 15 16 22
17 18 19 20 21
Se quiere construir un cuadrado con cuadraditos de 1 centímetro de lado. ¿Cuántos centímetros mide el lado del cuadrado si se hace con 121 cuadraditos? ¿Qué relación existe entre el número de cuadrados que añades y la medida del lado?
El área del cuadrado son 121 cm 2 , y el lado, (^) (^121) 11 cm. La figura muestra cómo construir gráficamente el cuadrado. Se observa que en cada paso, para que el lado del cuadrado aumente 1 cm hay que añadir el doble de cuadraditos que componen el lado del cuadrado anterior más 1.
El número de páginas de un libro es un cuadrado perfecto más 13, y si se le suma 20, se obtiene el cua- drado perfecto siguiente. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
En el ejercicio anterior se ha visto que si a un cuadrado perfecto se le suma el doble de su raíz exacta más 1, se obtiene el cua- drado perfecto siguiente. Inicialmente se tiene un cuadrado perfecto. Si se le suman 13 20 33, se obtiene el cuadrado per- fecto siguiente. Por tanto, 33 será el doble de la raíz del cuadrado inicial más 1. Como 33 16 2 1, la raíz del cuadrado inicial es 16, y el cuadrado, 16 2 256. Por tanto, el libro ha de tener 256 13 269 páginas. Para comprobarlo, basta ver que 269 20 289 172.
R E F U E R Z O
Potencias
Escribe en forma de producto y luego calcula las potencias. a) ( 4)^5 b) ( 3)^6 c) 5^3 d) ( 2)^9
a) (4)^5 (4) (4) (4) (4) (4) 1024 b) (3)^6 (3) (3) (3) (3) (3) (3) 729 c) 5^3 5 5 5 125 d) (2)^9 (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) 512
Expresa en forma de potencia el resultado de las siguientes operaciones.
a) ( 3)^4 ( 3)^6 3 d) [( 5)^3 ]^7
b) ( 8)^7 82 e) 64 ( 4)^3 c) ( 2)^5 35 f) ( 10)^3 ( 2)^3 53
a) (3)^4 (3)^6 3 34 36 3 34 ^6 ^1 311 b) (8)^7 82 87 82 87 ^2 85 c) (2)^5 35 [(2) 3]^5 (6)^5
d) [(5)^3 ]^7 (5)^7 ^3 (5)^21
e) 64 (4)^3 4 3 (4)^3 43 43 1 f) (10)^3 (2)^3 53 [(10) (2) 5]^3 1003
Escribe en forma de potencia.
a) [( 4)^6 ]^5 ( 4)^6
b) [( 40)^3 ]^4 [( 20)^6 ]^2
a) [(4)^6 ]^5 (4)^6 (4)^6 ^5 (4)^6 (4)^30 (4)^6 (4)^30 ^6 (4)^36
b) [(40)^3 ]^4 [(20)^6 ]^2 (40) 3 ^4 (20)^6 ^2 (40)^12 (20)^12 [(40) (20)]^12 2 12
...
3 2 1
3 2 1
5 4 3 2 1
7 6 5 4
Cuadrados perfectos y raíces cuadradas
Estudia si son cuadrados perfectos los siguientes números. a) 72 b) 225 c) 289 d) 120 a) No es cuadrado perfecto, ya que 8 2 64 72 92 81 b) Sí es cuadrado perfecto: 225 152 c) Sí es cuadrado perfecto: 289 172 d) No es cuadrado perfecto, ya que 10 2 100 120 112 121
La raíz cuadrada exacta de un número es 21. ¿Cuál es el número? El número es 21^2 441.
Halla la raíz cuadrada entera y el resto de los siguientes números. a) 56 b) 67 c) 109 d) 124 a) Se observa que 7^2 49 y 8^2 64. Como 49 56 64, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 56 es 7 y 56 72 7. La raíz cuadrada entera de 56 es 7, y el resto 7. Se puede escribir de la siguiente forma: 56 7 2 7. b) Se observa que 8^2 64 y 9^2 81. Como 64 67 81, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 67 es 8, y 67 82 3. La raíz cuadrada entera de 67 es 8, y el resto, 3. Se puede escribir de la siguientem forma: 67 8 2 3. c) Se observa que 10 2 100 y 11^2 121. Como 100 109 121, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 109 es 10, y 109 102 9. La raíz cuadrada entera de 109 es 10, y el resto, 9. Se puede escribir de la siguiente forma: 109 102 9. d) Se observa que 11 2 121 y 12^2 144. Como 121 < 124 < 144, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 124 es 11, y 124 112 3. La raíz cuadrada entera de 124 es 11, y el resto, 3. Se puede escribir de la siguiente forma: 124 112 3.
Regla de cálculo de la raíz cuadrada
Sin resolver, indica cuántas cifras tiene la raíz cuadrada de los siguientes números. a) 957 b) 5843 c) 18 302 d) 508 270 Basta separar el radicando en grupos de dos cifras empezando por la derecha. El número de grupos obtenidos coincide con el de cifras de la raíz. a) 9.57 ⇒ 2 cifras b) 58.43 ⇒ 2 cifras c) 1.83.02 ⇒ 3 cifras d) 50.82.70 ⇒ 3 cifras
Calcula estas raíces. a) (^) (^32) c) (^) (^3028) e) (^) (^4275) b) (^) (^184) d) (^) 15 340 f) (^) 36 045
d) (^) 1.53.40 (^11) 123 1 22 2 44 053 243 3 729 044 00940 00729 00211 → RESTO
c) (^) 30.281 55 25 105 5 525 2528 2 525 2 253 → RESTO
f) (^) 360.45 (^111) 189 1 28 8 224 (^260 369) 9 3321 224 03645 3 3321 3 0324 → RESTO
e) (^) 42.751 (^1) 65 36 125 5 625 3675 3 625 6350 → RESTO
a) (^) (^321) 5 25 27 → RESTO
b) (^) (^1841) 1 1 23 3 69 084 0 69 015 → RESTO
Realiza las siguientes operaciones. a) ( 5)^7 47 ( 10)^7 c) 3 (5^2 4) (^) (^49)
b) ( 9)^3 92 [( 9)^2 ]^2 d) [ 32 ( 2)^3 ]^2 4
a) (5)^7 47 (10)^7 (20) 7 (10)^7 27 128
b) (9)^3 9 2 [(9)^2 ]^2 93 92 (9)^2 ^2 93 ^2 94 95 94 9
c) 3 (5^2 4) (^) (^49) 3 (25 4) 7 3 21 7 63 7 9
d) [ 32 (2)^3 ]^2 4 [32 (8)]^2 4 (4)^2 4 16 4 20
A M P L I A C I Ó N
¿Existe un número entero que elevado al cuadrado dé 1? ¿Y 4? ¿Y 9? ¿Y un número negativo en general? Escribe la conclusión que obtienes para el cálculo de raíces cuadradas de radicando negativo. Todo número entero con potencia par es positivo. Por tanto, ningún número elevado al cuadrado puede dar un número negativo. La raíz cuadrada de un número dado es otro número que elevado al cuadrado da el primero. Como ningún número elevado al cuadrado puede ser negativo, no se pueden calcular raíces cuadradas de números negativos.
El cubo de un cuadrado perfecto, ¿es otro cuadrado perfecto? Sí, el cubo de un cuadrado perfecto es un cuadrado perfecto. Obsérvese el siguiente ejemplo: 4 es un cuadrado perfecto, ya que 4 22. El cubo de 4 es 4 3 64, que es un cuadrado perfecto, ya que 64 82.
La razón es la siguiente: 4 3 ( 22 )^3 ( 23 )^2
El resultado es general: un cuadrado perfecto es de la forma a^2. Su cubo es de la forma ( a^2 )^3 ( a^3 )^2 , luego es un cuadrado perfecto.
Escribe como suma de dos cuadrados perfectos los siguientes números. a) 17 b) 29 c) 41 d) 109 a) 17 16 1 42 1 2 b) 29 25 4 5 2 2 2 c) 41 25 16 5 2 42 d) 109 100 9 102 3 2
Sustituye a por el número que corresponda.
a) [( 2) a ]^3 212 1 b) ( a^3 )^3 79 1
a) a 4. En efecto [(2)^4 ]^3 212 (2)^4 ^3 212 (2)^12 212 212 212 1
b) a 7. En efecto ( 73 )^3 79 (7)^3 ^3 79 79 79 1
¿En qué números terminan los cuadrados perfectos? Los cuadrados perfectos terminan en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9. Una forma de verlo es la siguiente: Un número cualquiera puede acabar en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Veamos para cada caso en qué termina su cuadrado:
Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) La suma de dos cuadrados perfectos es un cuadrado perfecto. b) El producto de dos cuadrados perfectos es un cuadrado perfecto.
a) En general es falso. Por ejemplo, 4 2 52 16 25 41, y 41 no es cuadrado perfecto.
b) Cierto, ya que a^2 b^2 ( a b )^2 , que es cuadrado perfecto. Con un ejemplo concreto: 4 2 52 (4 5)^2 202.
Escribe primero en forma de potencia y después calcula.
a) 49 2 ( 343) [( 7)^3 ]^2
b) ( 15)^7 [3^5 ( 5)^5 ]
c) 32^2 ( 22 )^3 1024
d) 9^2 [( 32 )^3 81 ]
a) 49^2 (343) [(7)^3 ]^2 ( 72 )^2 (7)^3 (7)^3 ^2 (7)^4 (7)^3 (7)^3 ^2 (7)^4 ^3 ^6 71 7
b) (15)^7 [3^5 (5)^5 ] (15)^7 (15)^5 (15)^7 ^5 (15) 2 225
c) 32^2 ( 22 )^3 1024 ( 25 )^2 22 ^3 1024 210 26 2 10 210 ^6 ^10 214 16 384
d) 9^2 [( 32 )^3 81 ] ( 32 )^2 [3^2 ^3 34 ] 32 ^2 [3^2 ^3 34 ] 3 4 [3^6 34 ] 34 36 ^4 34 3 2 3 4 ^2 36 729
Expresa como el cuadrado de una raíz y luego calcula.
a) (^) (^25) (^34)
b) (^) (^2) ^6 (^49)
c) (^) (^100) ^3 64
a) (^) (^25) 3 4 (^) (^5) ^2 3 4 (^) ( 5 32 )^2 (^) (5 32 ) (5 32 ) (^) (^5) 32 (^) (^5) 32 (^5) 32 2 (^45) 2 45
b) (^) (^2) ^6 49 (^) (^2) ^6 7 2 (^) ( 23 7 )^2 (^) (2^3 7 ) (2^3 7) (^) (^2) ^3 7 (^) (^2) ^3 7 (^2) ^3 7
2 (^56)
2 56
c) (^) (^100) ^3 (^64) (^) ( 102 )^3 (^8) ^2 (^) ( 103 )^2 (^8) ^2 (^) [(10^3 ) (^8) ]^2 (^) [(10^3 ) 8] [( (^10) ^3 ) 8]
(^) (^10) ^3 8 (^) (^10) ^3 8 (^10) ^3 8
2 (^8000)
2 8000
A U T O E V A L U A C I Ó N
Escribe en forma de potencia. a) 4 ( 4) ( 4) ( 4) b) 9 ( 9) ( 9) a) 4 (4) (4) (4) (4)^4 b) 9 (9) (9) (9)^3
Calcula. a) ( 8)^3 b) ( 6)^4 c) 52 d) ( 3)^5 a) (8)^3 (8) (8) (8) 512 b) (6)^4 (6) (6) (6) (6) 1296 c) 52 5 5 25 d) (3)^5 [(3) (3) (3) (3) (3)] (243) 243
Estudia si son cuadrados perfectos y, en su caso, calcula su raíz cuadrada. a) 316 b) 441 c) 625 d) 279 a) No es cuadrado perfecto, ya que 17 2 289 316 324 182. b) 441 212 ; por tanto, es cuadrado perfecto y (^) (^441) 21. c) 625 252 ; por tanto, es cuadrado perfecto y (^) (^625) 25. d) No es cuadrado perfecto, ya que 16 2 256 279 289 172.
¿Cuántas cifras tiene la raíz cuadrada de los siguientes números? a) 3 b) 18 c) 314 d) 5601 e) 82 435 f) 139 007 a) 1 b) 1 c) 2 d) 2 e) 3 f) 3
Calcula la raíz cuadrada entera y el resto. a) 72 b) 130 c) 250 d) 420 e) 905 f) 1349 a) Puesto que 8^2 64 72 9 2 81, se tiene que 72 82 8. La raíz cuadrada entera de 72 es 8, y el resto, 8. b) Puesto que 11^2 121 130 122 144, se tiene que 130 112 9. La raíz cuadrada entera de 130 es 11, y el resto, 9. c) Puesto que 15^2 225 250 162 256, se tiene que 250 152 25. La raíz cuadrada entera de 250 es 15, y el resto, 25. d) Puesto que 20^2 400 420 212 441, se tiene que 420 202 20. La raíz cuadrada entera de 420 es 20, y el resto, 20. e) Puesto que 30^2 900 905 312 961, se tiene que 905 302 5. La raíz cuadrada entera de 905 es 30, y el resto, 5. f) Puesto que 36 2 1296 1349 372 1369, se tiene que 1349 362 53. La raíz cuadrada entera de 1349 es 36, y el resto, 53.
Halla el número tal que su raíz cuadrada entera es 124 y el resto es 19. El número buscado es a 1242 19 15 395.
Escribe como una única potencia:
a) 7 4 ( 7)^9 b) ( 34 )^2 36 c) ( 5)^3 ( 5) d) 18^6 ( 2)^6
a) 7^4 (7)^9 (7)^4 (7)^9 (7)^13 c) (5)^3 (5) (5)^3 (5)^1 (5)^3 ^1 (5)^2
b) ( 34 )^2 36 34 ^2 36 38 36 38 ^6 32 d) 18 6 (2)^6 [18 (2)] 6 366
Expresa cada raíz como producto de dos raíces cuadradas exactas y calcula. a) (^) (^2500) b) (^) (^1600) c) (^) (^36) a) (^) (^2500) (^) (^25) (^100) (^) (^25) (^) (^100) 5 10 50 b) (^) (^1600) (^) (^16) (^100) (^) (^16) (^) (^100) 4 10 40 c) (^) (^36) (^) (^9) 4 (^) (^9) (^) (^4) 3 2 6
2.A
2.A
2.A
2.A
2.A
2.A
2.A
2.A
Escribe cada raíz como cociente de dos raíces cuadradas y calcula. a) (^) (^64) (^16) b) (^) (^441) (^49) c) (^) (^900) 36
a) (^) (^64) (^16) (^) (^64) (^) (^16) 8 4 2 b) (^) (^441) (^49) (^) (^441) (^) (^49) 21 7 3 c) (^) (^900) (^36) (^) (^900) (^) (^36) 30 6 5
Calcula. a) [( 4)^2 ]^5 ( 36) (^) (^9) b) 300 [ (^121) ( 3)^2 ] 122 24
a) [(4)^2 ]^5 (36) (^) (^9) 165 (36) 3 165 12 1 048 564
b) 300 (^121) (3)^2 122 24 300 (11 9) 144 16 300 20 9 280 9 289
M U R A L D E M A T E M Á T I C A S
Jugando con las matemáticas
Sumas de cuadrados
Diofanto fue un famoso matemático de la antigua Grecia que enunció el siguiente problema:
“Todo número positivo puede ser escrito como la suma de cuatro números elevados al cuadrado” Por ejemplo: 15 12 12 22 32 ¿Sabrías hacer tú lo mismo con los números 26, 39, y 58?
Una pista: puedes usar el 0.
26 52 1 2 02 02 39 62 1 2 12 1 2 58 72 3 2 02 0 2
2.A
2.A
