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Tema Función real de variable real.
Función real de variable real
Se define como función real de variable real a toda aplicación de la forma : ( )
f A x A f x y
esto quiere decir que a todo número real x le corresponde un único valor de y que también es un número real. A la x se la llama variable independiente y a la y (que toma sus valores a partir de la x) se la llama variable dependiente.
Denotamos por F A ( , )al conjunto de todas las funciones reales de variable real.
Las funciones reales de variable real se representan sobre ejes cartesianos. El eje horizontal se denomina eje de abcisas o eje OX y corresponde con la ecuación x=0. El eje vertical se denomina eje de ordenadas o eje OY y corresponde con la ecuación y=0.
Las funciones reales de variable real no tienen por que existir para todos los números reales. Al conjunto A de los números reales para los que la función calcula una imagen (que es un número real) se le denomina dominio de la función.
Dom f ( ( )) x x tales que y f x ( )
Cálculo del dominio de una función.
Si ( ) 1 ( ( )) ( ) 0 ( ) f x entonces Dom f x x tales que g x g x
Si f ( ) x g x entonces Dom f ( ) ( ( )) x x tales que g x ( ) 0
Si f x ( ) ln( g x ( )) entonces Dom f ( ( )) x x tales que g x ( ) 0
Los dominios de las funciones se expresan mediante la unión de intervalos
a b ,^ ^ x^ ^ tales que^ a^ ^ x^ b
a b^ ,^ ^ x^ ^ tales que^ a^ ^ x^ b
a b^ , ^ ^ x^ ^ tales que^ a^ ^ x^ b
a b^ ,^ ^ x^ ^ tales que^ a^ ^ x^ b
a^ ,^ x^ ^ tales que^ a^ x
a^ ,^ x^ ^ tales que^ a^ x
^ ,^ b ^ ^ x^ ^ tales que^ x^ b
^ ,^ b^ ^ x^ ^ tales que^ x^ b
^ ,
Para ver donde una función toma valores positivos o iguales a cero tendremos que estudiar las funciones más habituales y las desigualdades.
Las rectas y=ax+b
Para la igualdad
ax b 0 ax b x b a
y se puede obtener una o ninguna solución.
La resolución de la desigualdad
ax b 0 depende de si a es un número positivo o negativo si a 0 entonces ax b 0 ax b x b a
si a 0 entonces ax b 0 ax b x b a
a>0 a<
Igualdad de funciones
Sean dos funciones f y g definidas en el mismo dominio, decimos que f y g son iguales si f(x)=g(x) para todos los puntos x del dominio.
Puntos de corte de la función con los ejes
Los cortes de la función f(x) con el eje horizontal se calculan resolviendo la ecuación f(x)=0.
Los cortes de la función f(x) con el eje vertical sólo existen si 0 pertenece al dominio y se calculan hallando f(0).
Operaciones con funciones.
Suma de dos funciones
Tiene las propiedades Asociativa Conmutativa Elemento neutro Elemento simétrico
Producto de dos funciones
Tiene las propiedades Asociativa Conmutativa Elemento neutro Distributiva respecto de la suma
Producto de una función por un número
Tiene las propiedades Asociativa Elemento neutro Distributivas
Composición de funciones
Sean dos funciones f(x) y g(x)
: ( )
f A x A f x y
g f A y A f y z
Llamamos función compuesta de f con g a la función (gf) (x)=g(f(x))
g f A x A g f x g f x
Tiene la propiedad asociativa pero no es conmutativa
Función inversa y función recíproca.
Se llama función recíproca de una función f(x) a la función 1/f(x)
Se llama función inversa de una función f(x) y se denota f-1^ (x) a la función tal que f-1(f(x))=x y además f(f-1(x))=x
Límite de una función real de variable real.
Límites laterales de una función en un punto
Se dice que una función f(x) tiene un límite L 1 cuando x tiende al punto x 0 por la derecha si
( 0 0 tal que x x 0 , x 0 entonces f x ( ) L 1 )
Y eso se escribe 0 1 x lim x ^^ f^ ( ) x^^ L
Se dice que una función f(x) tiene un límite L 2 cuando x tiende al punto x 0 por la izquierda si
( 0 0 tal que x x 0 , x 0 entonces f x ( ) L 2 )
Y eso se escribe 0 2 x lim x ^^ f^ ( ) x^^ L
Se dice que una función f(x) tiene un límite L cuando x tiende al punto x 0 si tiene límite por la derecha de x 0 y tiene límite por la izquierda de x 0 y y ambos son iguales a L. Y eso se escribe 0 x^ lim x^ f^ ( ) x^ L
Si una función f(x) tiene límite en un punto x 0 ese límite es único.
Asíntotas verticales
Si el límite de una función f(x) cuando x tiende al punto x 0 por la derecha es + eso significa que a medida que los puntos se acercan a x 0 por la derecha la función se hace cada vez más grande. Y eso se escribe 0 x^ lim x ^^ f^ ( ) x^
lim g( ) lim ( ) (^ ) lim ( ) x^ a
x f x g x f x x a x a
^
^ ^
( ) lim^ f (^ ) lim x^ a f x^ x e e x a
^ ^ ^
lim ln f ( ) x ln lim f ( ) x
x a ^ x a
^
- Sea a un número real distinto de cero
INDETERMINACION
a a a
0 INDETERMINACION
INDETERMINACION
a
a
0 INDETERMINACION
a a
0
0
0
0 INDETERMINACION
1 INDETERMINACION
INDETERMINACION
a
a
a si a si a
a si a si a si a si a
^
^
^
INDETERMINACIÓN significa que hay que buscar algún otro método que nos permita calcular el valor del límite.
- Si al calcular un límite no se conoce cuales son los signos de 0 o de ∞ se calculará el valor de la función en un punto a la derecha o a la izquierda de a según cuál sea el límite que estemos calculando.
1 1 2 2 1 0 lim 1 1 2 2 1 0
0
n n^ n n n m m^ m m m
si n m a x a x a x a x a a (^) si n m x b x^ b^ x^ b x^ b x^ b^ b si n m
^
^ ^ ^ ^
los signos de 0 o de ∞ dependen del cociente n m
a b En el caso de cocientes de expresiones donde además de potencias que sean números naturales también se tengan exponentes fraccionarios o raíces, se divide el numerador y el denominador por la potencia de x de mayor grado de las que haya en el cociente.
- Si lim f ( ) x g x ( ) x a ^
y hay raíces cuadradas puede que la indeterminación
se elimine multiplicando y dividiendo por f ( ) x g x ( )
- Se dice que una función f(x) es un infinitésimo en el punto a si lim f ( ) x 0 x a ^
Los infinitésimos son límites de una función que tienden a cero en un punto. Dos funciones f(x) y g(x) que son infinitésimos en el mismo punto a son equivalentes si
lim ( ) 1 ( )
f x x a ^ g x
Si tenemos dos infinitésimos f(x) y g(x) equivalentes en el mismo punto a entonces lim f ( ) x h x ( ) lim g( ) x h x ( ) x a ^ x a
Los infinitésimos equivalentes más utilizados son lim ln lim 1 1 1
x x x x
- Las indeterminaciones 1 ,0^0 e ^0 proceden de límites de la forma lim g( ) lim ( ) (^ ) lim ( ) x^ a
x f x g x f x x a x a
^
^ ^
y se resuelven igualando a ep.
Tomando p como p lim g(x) ln f ( ) x
x a
Sólo para el caso 1 , utilizando infinitésimos equivalentes se puede poner
p lim g(x) f ( ) x 1
x a
Una función f(x) presenta en un punto x 0 una discontinuidad de segunda especie o esencial si no existe 0 1 (^) x lim x f ( ) x L , o bien no existe 0 2 (^) x lim x f ( ) x L , o no existe
ninguno de los dos.
Continuidad en intervalos.
Decimos que una función es continua en un intervalo (a, b) si es continua en todos los puntos del intervalo. Decimos que una función es continua en un intervalo [a, b] si es continua en (a, b), continua en a por la derecha y continua en b por la izquierda.
Operaciones con funciones continuas.
Sean f(x) y g(x) continuas en A entonces.
f(x) + g(x) es continua en A
f(x) · g(x) es continua en A
si para todo x A tenemos que g(x) 0 entonces f(x) / g(x) es continua en A
Sea f(x) continua en A y sea g(x) continua es f(A) entonces g(f(x)) es continua en
A.
Propiedades de las funciones continuas en un punto
Llamamos entorno de un punto x 0 con radio al conjunto de puntos que distan de x 0
menos que .
E x ( 0 (^) , ) (^) x tales que x x 0
- Sea f(x) una función continua en un punto x 0 y f(x 0 )0 entonces existe un entorno de x 0 que se denota E x ( 0 , )tal que para todo punto x que pertenezca a ese entorno el signo de f(x) es igual al signo de f(x 0 ).
- Si para cualquier entorno de un punto x 0 la función toma valores positivos y negativos y además la función es continua en x 0 entonces tenemos que f(x 0 )=0.
Propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado
Una función está acotada superiormente si k tal que f x ( ) k para todos los puntos x del dominio.
Una función está acotada inferiormente si k ' tal que f x ( ) k 'para todos los puntos x del dominio.
Una función está acotada si está acotada superior e inferiormente.
- Toda función real y continua en un intervalo cerrado [a, b] está acotada.
Derivada de una función real de variable real.
Cociente de incrementos.
Se llama cociente de incrementos a^0 0
f ( ) x f ( x ) x x
y es la inclinación o pendiente de la
recta que corta a la curva f(x) en los puntos x y x 0 , que es por tanto una recta secante a la curva. Llamando f x ( 0 (^) ) f x ( ) f x ( 0 (^) ), x 0 (^) x x 0 ,entonces
0 0 0 0 0 0 0 0
f ( ) x f ( x ) f ( x ) f ( x x ) f ( x ) x x x x
Si x se acerca a x 0 , tendremos la derivada de la función en el punto x 0 , que viene dada
por 0
(^00) 0
lim ( )^ (^ ) ´( ) x x
f x f x (^) f x x x
y que es la pendiente o inclinación de la recta tangente a
la curva f(x) en el punto x 0 (una recta tangente es la que toca a la curva en un solo punto).
Derivadas laterales.
Sea f : A decimos que f(x) tiene derivada lateral por la izquierda en el punto
x 0 A si existe el siguiente límite 0
(^00) 0
lim ( )^ (^ ) ´( ) x x
f x f x (^) f x x x
Sea f : A decimos que f(x) tiene derivada lateral por la derecha en el punto
x 0 A si existe el siguiente límite 0
(^00) 0
lim ( )^ (^ ) ´( ) x x
f x f x (^) f x x x
Propiedades.
Una función f : A es derivable en un punto x 0 A si y solo si existen las derivadas laterales por la izquierda y por la derecha en el punto x 0 y ambas son iguales.
Si una función f : A tiene derivada finita en el punto x 0 A entonces f(x) es
continua en el punto x 0 A
De esto se deduce que si una función no es continua en un punto x 0 A entonces la
función no es derivable en ese punto x 0 A.
Sean dos funciones f : A y g : A derivables en un entorno E( x 0 , ),
si f ( x 0 (^) ) g x ( 0 ) 0 y para todo x E( x 0 , ) con x ≠ x 0 tenemos que g(x) ≠ 0 y
g’(x) ≠ 0, se verifica que si existe el límite 0 lim '( ) x x '( )
f x (^) L (^) g x entonces 0 lim ( ) x x ( )
f x (^) L (^) g x
Es decir, en ese caso, 0 0 lim ( )^ lim '( ) x x (^) ( ) x x '( )
f x f x (^) g x g x
Diferencial de una función real de variable real.
Sea f : A , hemos definido 0 0 0 0 0 0 0
´( ) lim ( )^ (^ )^ lim (^ ) x x x x f x f^ x^ f^ x^ f^ x (^) x x x
^
de donde
obtenemos que^00 0
0
f ( x ) (^) f ´( x ) x x
siendo el último término un error que tiende a
cero a medida que x 0 tiende a cero.
Por tanto tenemos que f ( x 0 ) f ´( x 0 )· x 0 x 0 · x 0 y definimos el diferencial de la
función f(x) en el punto x 0 A y se denota df(x 0 ) al término df ( x 0 (^) ) f ´( x 0 (^) )· x 0
Como la función identidad es de la forma Id(x)=x entonces su diferencial en x 0 queda
d Id x ( 0 ) Id x ( 0 ) '· x 0 1· x 0 y sustituyendo Id(x 0 ) por x 0 queda dx 0 x 0
Por lo que df ( x 0 (^) ) f ´( x 0 (^) )· ( d x 0 )
Función diferencial.
Sea f : A si para todo punto x 0 A la función f(x) es derivable en ese punto entonces definimos la función diferencial de f(x) como
0 0 0 0
df A x A df x f x dx
Igual que se pueden calcular derivadas sucesivas también se pueden calcular diferenciales sucesivas,
Crecimiento y extremos relativos.
Una función es monótona creciente si para cualquier pareja de puntos del dominio x e y tales que x<y entonces f(x)f(y).
Una función es monótona decreciente si para cualquier pareja de puntos del dominio x e y tales que x<y entonces f(x)f(y).
Una función es estrictamente creciente si para cualquier pareja de puntos del dominio x e y tales que x<y entonces f(x)<f(y).
Una función es estrictamente decreciente si para cualquier pareja de puntos del dominio x e y tales que x<y entonces f(x)>f(y).
Crecimiento y decrecimiento en intervalos.
Una función es creciente en un intervalo si para cualquier pareja de puntos del intervalo x e y tales que x<y entonces f(x)f(y).
Una función es decreciente en un intervalo si para cualquier pareja de puntos del intervalo x e y tales que x<y entonces f(x)f(y).
Teorema.
Sea f :[ , ] a b una función derivable en (a,b).
a) Si para todo x (a,b) f ’(x) > 0 entonces f(x) es creciente en (a,b). b) Si para todo x (a,b) f ’(x) < 0 entonces f(x) es decreciente en (a,b). c) Si f(x) es creciente en (a,b) entonces para todo x (a,b) f ’(x) ≥ 0. d) Si f(x) es decreciente en (a,b) entonces para todo x (a,b) f ’(x) ≤ 0.
Óptimos de una función.
Sea f : A una función y sea x 0 A se dice que
a) f(x) tiene un máximo absoluto en x 0 A si y solo si para todo x A entonces f(x) ≤ f(x 0 ) b) f(x) tiene un mínimo absoluto en x 0 A si y solo si para todo x A entonces f(x) ≥ f(x 0 ) c) f(x) tiene un máximo en x 0 A si y solo si para todo x E( x 0 , ) entonces f(x) ≤ f(x 0 ) d) f(x) tiene un mínimo en x 0 A si y solo si para todo x E( x 0 , ) entonces f(x) ≥ f(x 0 )
Tanto a los máximos como a los mínimos se les denomina extremos relativos.
Condición necesaria de optimalidad.
Sea f :[ , ] a b una función derivable en (a,b). Si x 0 (a,b) es un extremo relativo de f(x) entonces f ’(x) = 0.
Un punto de inflexión es un punto del dominio en donde la función cambia su curvatura de cóncava a convexa, o de convexa a cóncava.
Teorema.
Sea f :[ , ] a b una función derivable en (a,b) hasta el orden 2
c) Si para todo x (a,b) f ‘’(x) > 0 entonces f(x) es convexa en (a,b). d) Si para todo x (a,b) f ’’(x) < 0 entonces f(x) es cóncava en (a,b). e) Sea x 0 (a,b) se dice que f(x) tiene un punto de inflexión en x 0 si y solo si f’’(x) = 0 y f’’’(x) ≠ 0.
Teorema.
Sea f :[ , ] a b una función derivable en (a,b) hasta el orden k>n. Si x 0 (a,b)
y además f ''( x 0 (^) ) f '''( x 0 (^) ) ... f n^ 1)^ ( x 0 (^) ) 0 y f n )( x 0 ) 0 entonces
a) Si n es par y f n )( x 0 ) 0 entonces f(x) es cóncava en x 0 b) Si n es par y f n )( x 0 ) 0 entonces f(x) es convexa en x 0 c) Si n es impar y n>1 entonces x 0 es un punto de inflexión.
