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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 201 6 – 1 S TALLER 4 – (0 9 H00) Guayaquil, 18 de junio de 2016
S O L U C I Ó N Y R Ú B R I C A
Tema 1 (2 0 puntos) Dado el conjunto referencial Re =! y la siguiente regla de
correspondencia f ( x ) =
(^3) x + 4 x^2 + 2 x + 3
. Si se define el predicado p ( x ) , determine el conjunto
de verdad Ap ( x ).
p ( x ): f ( x ) es un número real.
Solución: No existe restricción alguna para la expresión del radicando, ya que corresponde a una raíz cúbica. Esto es, de índice impar. Mientras tanto, en la expresión cuadrática del denominador debe cumplirse que: x^2 + 2 x + 3 ≠ 0 Llevando a la forma canónica esta expresión cuadrática, se tiene lo siguiente:
x^2 + 2 x + 3 = ( x^2 + 2 x + 1 ) + 2
x 2
+ 2 x + 3 = ( x + 1 )
2
- 2 Por lo que, x 2
- 2 x + 3 > 0. Esto es, la expresión del denominador es siempre positiva. En conclusión, la expresión (^3) x + 4 x 2
- 2 x + 3
⎟ no presenta restricción alguna en los números reales.
∴ Ap ( x ) = Re =!
Rúbrica: Resuelve correctamente la inecuación con valor absoluto asociada al radicando. Resuelve correctamente la inecuación cuadrática del denominador. Realiza correctamente la intersección de intervalos y concluye sobre el conjunto de verdad. 8 puntos 8 puntos 4 puntos
Tema 2 (2 0 puntos) Considere la gráfica de una función f :! "!. a) Calcule el valor numérico de
2 + f ( − 2 )
3 f (− 3 ) +
f ( 1 )
. b) Bosqueje la gráfica de la función g :! "! , cuya regla de correspondencia es
g ( x ) = f ( − x ) + 2.
Solución: a) Se obtienen los resultados parciales, antes de realizar la evaluación completa:
f ( − 2 ) = − 1
f ( − 3 ) = 1
f ( 1 ) = 2
(^3 ) (^1 ) +^
⎝⎜^
⎠⎟^
(^2 )
(^3 ) (^1 ) +^
⎝⎜^
⎠⎟^
(^2 )
x y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tema 3 (2 0 puntos) Darío, vendedor de autos, tiene un sueldo fijo de $ 1200 todos los meses y una comisión adicional de $ 80 por cada auto que venda. Sea x un valor entero que representa el número de autos que Darío vende en un mes: a) Determine una regla de correspondencia para la función mensual de ingresos I (^) ( x ) que permita representar el sueldo de Darío, sabiendo que no puede vender más de 5 autos. b) Utilizando una escala adecuada y etiquetas claras, bosqueje la gráfica de la función I en un plano cartesiano. c) De ser posible, describa la característica de acotamiento de la función I. ¿Es posible que Darío gane más de $ 1600? Explique. Solución: a) La función, tal como se indica en el problema, es de variable entera. Podría ser que Darío no venda auto alguno y como se indica que él puede vender como máximo 5 autos, entonces: X = dom f = (^) { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , (^5) } La regla de correspondencia para la función I sería: I (^) ( x ) = 1 200 + 80 x, ∀ x ∈ X b) La gráfica de I consta de 6 pares ordenados: x Cantidad de vehículos I (^) ( x ) Ingresos de Darío 0 1 200 1 1 280 2 1360 3 1 440 4 1520 5 1600 y 0 1 2 3 4 5 6 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900
c) La función I (^) ( x ) está acotada entre 1200 y 1600. Por lo tanto, no es posible que Darío gane más de $ 1600. Rúbrica: a) Considera solamente valores enteros para el dominio e la función y determina correctamente la función del ingreso mensual en dólares de Darío. 4 puntos b) Grafica correctamente los 6 pares ordenados de la función de ingresos mensuales de Darío. 10 puntos c) Determina correctamente los valores de acotamiento de la función de ingresos Concluye que no es posible que él gane más de $ 1600. 4 puntos 2 puntos Tema 4 (2 0 puntos) Dada la función cuadrática f : X! " expresada en forma factorizada f (^) ( x ) = (^) ( x + (^3) ) ( x − (^2) ) : a) Escriba la regla de correspondencia de la función f en forma canónica. b) Si X =! , especifique los intervalos de monotonía de la función f. c) Defina un conjunto X para que la función f sea inyectiva. Solución: a) f (^) ( x ) = x 2
⎠⎟^
= x +
2 −
b) Para identificar la monotonía de f , se grafica la función: x y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
