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Asignatura: est, Profesor: JuanLuis Peñaloza Figueroa, Carrera: Comercio, Universidad: UCM
Tipo: Apuntes
1 / 38
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1
-^
-^
-^
-^
-^
-^
-^
2
4
[^
] I
P
E
α =
=
0
0
H
H
⎡^
⎤
⎢^
⎥
⎣^
⎦
[^
]
P
E
β =
0
0
H
1
H
⎡^
⎤
−^
=
⎢^
⎥
⎣^
⎦
0
0
rechazar P
falsa
5
La decisión se basa en algún estadístico apropiado que recibe el nombrede
estadístico de prueba ó
estadístico de contraste.
Para algunos
valores
de
este
estadístico
de
prueba,
la
decisión
será
rechazar
la
hipótesis nula. Estos valores constituyen la
(es la
zona
del
espacio
muestral
caracterizada
porque
cuando
el
vector
muestral
cae en ella la decisión es rechazar H
0
). Al resto del espacio
muestral
lo
llamaremos
región
de
aceptación
de
manera
que
cuando el vector muestral
caiga en esta región, la decisión será
no
rechazar H
0
EJEMPLO Consideremos una población N(
μ,5). Se desea contrastar la hipótesis nula
μ
=10 frente a la alternativa H
μ=15, supuesto seleccionada una
M.A.S. de tamaño 9. Utilizamos como estadístico de prueba la mediamuestral
y tomamos la decisión conforme a la siguiente regla:
0
Si
12
a
no rechazamos H
<
0
Si
12
rechazamos
a
H
≥
7
(^0) REGIÓN CRÍTICA
Si
12
a
no rechazamos H
<
0
Si
12
rechazamos
a
H
≥ (
)
α
ε^
⎡^
⎤
=
=
=
⎢^
⎥
⎣^
⎦
rechazar H
P
P
H
cierta
(^
) 2
1
P
β
ε
=
−
=
0
0
<
0
Si
14
a
no rechazamos H
≥
0
Si
14
rechazamos H
a
(^
)
α
ε^
⎡^
⎤
=
=
=
⎢^
⎥
⎣^
⎦
rechazar H
P
P
H
cierta
(^
) 2
1
P
β
ε
=
−
=
0
0
8
La pregunta es ¿cómo elegir el contraste?, es decir, ¿cómo determinar laregión crítica?. Lo
deseable
fuera
que
lo
hiciéramos
de
manera
que
riesgo
de
equivocarnos fuera el menor posible. El problema es que no podemosminimizar la probabilidad de cometer los dos tipos de error.^ Habitualmente se fija el nivel de significación (
α) máximo riesgo de error
de tipo I que estamos dispuestos a asumir, y elegimos de entre todas lasregiones críticas con igual (
α ) aquella para la cual la probabilidad de
cometer error de tipo II sea mínima, es decir, aquella con potenciamáxima (criterio de Neyman).
A la región crítica que para un (
α) dado
posee máxima potencia la denominaremos
Región crítica prepotente u
óptima a ese nivel de significación.
La posibilidad de determinar
regiones críticas óptimas depende de cómo se formulen las hipótesis.^ IMPORTANTE: ¿POR QUÉ
10
Son
los
utilizados
para
contrastar
hipótesis
nula
simple
frente
a
alternativa compuesta cuando no es posible encontrar una región críticaóptima.
Se basan en analizar las diferencias entre los resultados que
arroja la muestra y aquellos que cabría esperar si la hipótesis nulaes
cierta.
Si
las
diferencias
entre
los
resultados
muestrales
y^
lo
propuesto bajo la H
0
son pequeñas, podemos atribuirlas al azar y no a la
falsedad de la hipótesis. En este caso
no
rechazaremos
la
, y diremos 0
que las
diferencias
no
son
estadísticamente
significativas
. Por el
contrario, si las diferencias son muy grandes, debemos dudar de laveracidad
de
la
0
y^
rechazarla.
Se
dice
que
las
diferencias
son
estadísticamente significativas.
Diferencias
0 rechazamos H
0 (región crítica)
Diferencias < D
0
no rechazamos H
0
Se trata por tanto de determinar un nivel de diferencias D
0
tal que:
11
Seleccionar el estadístico de prueba (indicador diferencias). El estadístico de
prueba
lo
obtenemos
a^
partir
del
estimador
puntual
del
parámetro.
Suponiendo
la
hipótesis
nula
cierta
dicho
estadístico
tendrá
una
-^ distribución de probabilidad conocida. Formular las hipótesis. -^ Determinar el tamaño de la muestra. -^ Establecer la forma de la región crítica y determinar el valor D
0 imponiendo
el nivel de significación. •^ Calcular el valor del estadístico de prueba para la muestra concreta.
-^ Decidir sobre el rechazo o no rechazo de la hipótesis nula.
Si la decisión es
no
rechazar
la hipótesis nula,
la conclusión debe
verbalizarse como sigue: “
no
hay suficientes hechos al nivel de
significación del
α
% para demostrar que…(significado de lahipótesis alternativa)
Si la decisión es
rechazar
la hipótesis nula,
la conclusión debe
verbalizarse como sigue: “
hay suficientes hechos al nivel de
significación del
α
% para demostrar que…(significado de lahipótesis alternativa)
13
Caso análogo al anterior en lo relativo a la formulación de lashipótesis y la forma de la región crítica. El estadístico de contraste será
también a
x^
pero su distribución de
probabilidad bajo la hipótesis nula será:
(^
)^
(^
)
μ μ
−
⎧^
<
≈
⎪ ⎪⎪^
−
⎨^
−
⎪^
≥
→
⎪ ⎪⎩
30
1
30
0,
7 2.
1
.^
2
x^
n
x x
x a
n
t
S
n
a
n
N
S
n
14
Caso análogo los anteriores en lo relativo a la formulación de lashipótesis y la forma de la región crítica. El estadístico de contraste será
también a
x^
. Establecemos su
distribución de probabilidad bajo la hipótesis nula recurriendo alTeorema Central del Límite:
(^
)^
(^
)^
(^
)
(^
)^
(^
)^
(^
)
μ
σ
σ
μ
σ
−
⎧^
→
⎪ ⎪⎪ ⎨^
−
→
⎪ ⎪ ⎪⎩
7
0,
.5.
0,
(^2).
x x x a
N
conocida
n
a
N
desconocida
S
n
16
Distribución de probabilidad del estadístico de prueba suponiendo H0 cierta:
(^
)
ξ^
−
⎛^
⎞ ⇒
⎜^
⎟
⎝^
⎠
∼^
∼^
∼
0
10
2
Si H
cierta, el volumen de ventas
N 10,
luego:
10,
(0,1)
2
15
15 x
x
a
a^
N
N
{^
}
=
−
≥
0
10
R
a
D
Determinación de la Región Crítica
(^
) ε^
α^
⎡^
⎤
=^
=^
=^
=
⎢^
⎥
⎣^
⎦
0 0
1
rechazar
H^
cierta
H
P
P
ax
μ =
−^
≥
⎡^
⎢^
⎥
⎣^
⎦
0
10
10
ax
D
P
⎡^
⎤
− ⎢^
⎥
=^
≥
⎢^
⎥
⎢^
⎥
⎣^
⎦ 0
10 2
2
15
15
x
a P^
=^
=
0
0
2
15 D
D
buscando en tablas
17
⎧^
−^
≥^
≥
⎪⎨^
−^
<^
<
⎪⎩
0
0
rechazar H
si:
10
no rechazar H
si:
10
x
x
x
x
a
a
a
a
Para nuestra muestra concreta:
Nuestra decisión será
rechazar la hipótesis nula. Esta decisión debe verbalizarse
como sigue:^ “Existen suficientes hechos al nivel de significación del 5% para demostrar queel nuevo plan de incentivos de ventas eleva el volumen medio de ventasmensuales”. El gerente tiene razón”
19
Distribución de probabilidad del estadístico de prueba suponiendo H0 cierta:
−^
→
1000
(0,1)
57
100 ax
N
{^
}
=^
−
≤ −
0
1000 x
R
a
D
Determinación de la Región Crítica (^
) ε^
α^
⎡^
⎤
=^
=^
=^
⎢^
⎥
⎣^
⎦
0 0
1
rechazar
cierta
ax
μ
−^
≤ −
⎡^
⎤
=^
=^
=
⎢^
⎥
⎣^
⎦
0
10
0
00
1 00 ax
D
P
⎡^
⎤
− ⎢^
⎥
=^
≤ −
⎢^
⎥
⎢^
⎥
⎣^
⎦ 0
1000 57
57
100
100
x
a P^
buscando en tablas
−^
= −
=
0
0
57
100 D
D
20
⎧^
−^
≤ −
≤
⎪⎨^
−^
> −
>
⎪⎩
0
0
rechazar H
si:
1000
no rechazar H
si:
1000
x
x
x
x
a
a
a
a
Para nuestra muestra concreta:
Nuestra decisión será
NO rechazar la hipótesis nula. Esta decisión debe
verbalizarse como sigue:^ “No existen suficientes hechos al nivel de significación del 5% para demostrarque los paquetes de arroz contienen, en media, menos de 1000 gr.
de arroz”
