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Una práctica de física sobre el cálculo de momentos de inercia y la aplicación del teorema de Steiner en diferentes objetos. Se incluyen cálculos y experimentos con una barra, un disco y diversos cuerpos geométricos sencillos, como una esfera, un cilindro hueco y una varilla. Se comparan los valores experimentales con los teóricos y se analizan las incertidumbres.
Tipo: Apuntes
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En la práctica de momentos de inercia y teorema de Steiner (práctica 17) hemos podido determinar la constante recuperadora de un muelle espiral montando simétricamente una varilla en un muelle y utilizando la ley de Hooke. También hemos comprobado el teorema de Steiner mediante una barra delgada y dos masa cilíndricas móviles colocadas simétricamente respecto de un eje perpendicular que pasa por el centro. Y por último hemos calculado el momento de inercia para distintos objetos midiendo el periodo de oscilación para cada objeto fijados a un eje vertical que pasa por sus centros.
Para determinar la constante recuperadora de un muelle espiral hemos montado un sistema formado por una varilla de masa 143,8 ± 0,1 g y longitud 66 ± 0,1 cm, acoplada a un muelle espiral tal y como muestra la figura:
El sistema está formado tal que al girar la varilla cualquier ángulo, el muelle empieza a comprimirse de forma que al dejar de girar la varilla aparece un par recuperador del muelle, que tiende a volver a su posición inicial (haciendo que oscile la varilla). Para pequeños ángulos la constante recuperadora nos la puede proporcionar la ley de Hooke que toma la siguiente expresión:
recuperadora del muelle.
El periodo de oscilación para pequeños ángulos viene dado por:
siendo I el momento de inercia del sistema respecto del eje que pasa por el centro.
Con el sistema montado y haciendo uso de un soporte adicional y un dinamómetro sujetado con el soporte, hacemos girar la varilla un ángulo ϕ = π/2, de forma que al girarla enganchamos el dinamómetro en la varilla, teniendo en cuenta que quede perpendicular a la varilla, impidiendo que ésta vuelva a su estado inicial. Repetimos la misma operación para los ángulos π, 3π/2, 2π, ..., 5π/2. La lectura que aparece en el dinamómetro nos sirve como dato para poder hallar la constante recuperadora del muelle.
0 2 4 6 8
0
0,
0,
0,
0,
RRRR 1111 =0,021±0,003 Nm=0,021±0,003 Nm=0,021±0,003 Nm=0,021±0,003 Nm
(Coeficiente algo bajo por las últimas dos medidas, el ajuste saldría mejor si lo hiciésemos con pesos.)
Como se puede observar en la gráfica, los datos obtenidos nos llevan al comportamiento lineal que ya se intuía en la tabla de datos. La pendiente será la constante recuperadora y la ordenada en el origen es prácticamente 0, pues su error relativo es muy grande y está muy próximo a cero.
Para comprobar el teorema de Steiner hemos utilizado el sistema del muelle espiral, pero en vez de con una varilla, hemos colocado un disco de 0,4470,447±0,4470,447±±±0,001Kg y de 0,300,300,300,30±±±0,01m de diámetro, en donde éste tiene 9 orificios situados en línea recta a lo largo± del diámetro del disco separados a una distancia de 3 cm. Estos orificios nos sirven para determinar diferentes ejes paralelos, y en cada orificio hacemos oscilar el disco con un ángulo pequeño respecto de la posición de inicio de 15º, para así poder hallar de forma alternativa la constante recuperadora del muelle y de paso comprobar dicho teorema. En la siguiente tabla se puede apreciar como a medida que desplazamos el eje hacia el extremo del disco el tiempo que tarda en hacer una oscilación (su periodo) es mayor.
TABLA DE DATOSTABLA DE DATOSTABLA DE DATOSTABLA DE DATOS
D (cm)D (cm)D (cm)D (cm) T(s)T(s)T(s)T(s) DDDD^2222 (cm(cm(cm(cm^2222 )))) δ(Dδ(Dδ(Dδ(D^2222 ) [cm) [cm) [cm) [cm^2222 ]]]] TTTT^2222 (s(s(s(s^2222 )))) δ(Tδ(Tδ(Tδ(T^2222 ) [s) [s) [s) [s^2222 ]]]] 0 2,69 0 0 7,2361 1, 3 2,94 9 0,6 8,6436 1, 6 3,25 36 1,2 10,5625 1, 9 3,60 81 1,8 12,9600 1, 12 4,22 144 2,4 17,8084 1,
El error en la distancia (en todas las medidas el mismo) es la sensibilidad de la cinta métrica: δ(D)=δ(D)=δ(D)=δ(D)=0.1cm0.1cm0.1cm0.1cm El error en el periodo es de 0,2s, lo que nos oscila cuando hacemos varias medidas. δ(δ(δ(δ(TTT)=T)=)=)=0.0.0.0.2s2s2s2s El error al soltarlo desde el ángulo pequeño, que debería ser siempre el mismo, lo consideramos despreciable y en cualquier caso se acumularía en el error de T. El valor de la masa es el inscrito en el disco y le asignamos un error de: δ(δ(δ(δ(mmm)=m)=)=)=0.0.0.0.001kg001kg001kg, cuya cifra significativa coincide con la del valor de la masa. Una forma de001kg reducir ese error sería pesarlo con la báscula electrónica del laboratorio, pero no dio tiempo en esta práctica. El error de la distancia al cuadrado y el periodo al cuadrado son respectivamente: δδδδ(D(D(D(D^2222 )=)=)=)=2D2D2D2D δδδδ(D)(D)(D)(D) δδδδ(T(T(T(T^2222 )=)=)=)=2T2T2T2T δδδδ(T)(T)(T)(T) (Véase Tabla)
Valor del momento de inercia (experimentalmente), según la ecuación anterior, donde B es la ordenada en el origen: 2
π 2
2 2
2
= δ π
δ π
δ
Valor de la inercia (a partir de la fórmula teórica de un disco fino), donde M=0.447±0.001kg r=15,0±0.1cm
2
2 2
2
δ = δ δ
Comparación de los valores:Comparación de los valores:Comparación de los valores:Comparación de los valores:
Los valores están alejados. Por el criterio estudiado en la parte teórica de la asignatura, las medidas pueden estar separadas entre sí hasta 2 ó 3 veces la barra de error media. En este caso, está a una distancia de 2 veces, por lo que se aceptan como compatibles, aunque se debe tener en cuenta que hay un error muy grande en el método experimental del muelle espiral y que los valores difieren mucho entre sí.
Por tanto, dentro del margen de incertidumbre (grande en este caso), el teorema de Steiner se verifica experimentalmente, pues hemos comprobado que el momento de inercia total es el momento de inercia del centro de masas más la masa por la distancia al eje al cuadrado.
Para demostrar este apartado hemos utilizado un sistema parecido al anterior sólo que en la varilla hemos colocado simétricamente dos masa móviles de 225,9±0,1g cada una. La varilla está dividida con marcas de 1cm de tal forma que podemos situar las masas en distintas posiciones. Empezamos poniendo las dos masas móviles lo más cerca del eje del sistema y luego las vamos distanciándolas 2 cm del centro de modo que siempre queden simétricas respecto del eje. En cada posición hacemos oscilar la varilla con un ángulo no mayor de 12º, es decir haciéndola girar un ángulo paraxial.
Cada vez que desplazamos las masas y hacemos oscilar la varilla medimos con un cronómetro su periodo de oscilación. (No hemos usado la célula fotoeléctrica). Teniendo en cuenta la fórmula para el cálculo de los ejes paralelos:
Y teniendo en cuenta nuestro sistema montado la expresión toma la forma:
Donde es el momento de inercia de la barra respecto del eje que pasa por el centro del
sistema, el momento de inercia de las dos masas cilíndricas respecto de un eje paralelo al anterior que pasa por sus centros y de d la distancia desde éste hasta el centro de cada una de las masas móviles. Para un sistema como el nuestro el periodo de oscilación vendrá dado por la expresión:
La distancia la medimos entre el centro de la masa y el eje de giro. Los errores: El que cada vez no sea exactamente el mismo ángulo consideramos que no importa. δδδδ(d)=(d)=(d)=(d)=0.1cm0.1cm0.1cm0.1cm δδδδ((((dddd^2222 )=)=2d)=)=2d2d2d δδδ(D)δ(D)(D)(D) δδδδ(T)=(T)=(T)=(T)=0.2s0.2s0.2s0.2s δδδδ(T(T(T(T^2222 )=)=)=)=2T2T2T2T δδδδ(T)(T)(T)(T)
A continuación se exponen los datos obtenidos para las diferentes medidas.
A partir de la pendiente A= 0,0733±0,0010 s^2 /cm^2 , trabajando con la ecuación del período y la inercia, se puede obtener R: 2m=451.8±±±±0.1g
R = 2^ m^4 π^2 × 10 −^7 = 0. 02434
2 2
2 2 2
π δ
π δ
Valores para IValores para IValores para IValores para Ibbbb+2I+2I+2I+2Icccc::::
π
2
2 2
2
δ π
δ
Valores a partir de la fórmula teórica:Valores a partir de la fórmula teórica:Valores a partir de la fórmula teórica:Valores a partir de la fórmula teórica: Mbarra=0.1438±±±±0.0001kg Lb=0.66±0.001m Mmóv=0.4518±0.0001kg Lm=0.04±0.001m
2
2 2 2
2 2
2
Valor de T según la práctica del péndulo de torsión:
T = 2 π = 2 , 98 T^2 =8.88s^2
2
2 2
2 2 2 2
δ = π δ π δ
ComparaciónComparaciónComparaciónComparación:::: Experimentales: I=0.0059±0.0003kgm^2 T=9.5 ±0.5 m Teóricos I=0.0055±0.0001kgm^2 T=8.88±0.11m Como se observa, los valores son compatibles, sus barras de error se solapan y los valores son cercanos entre sí. Se cumple experimentalmente la fórmula teórica.
RRRR 2222 =0.025±0.014Nm=0.025±0.014Nm=0.025±0.014Nm=0.025±0.014Nm RRRR 1111 =0,021±0,003 Nm=0,021±0,003 Nm=0,021±0,003 Nm=0,021±0,003 Nm RRRR 3333 =0,02=0,02=0,02=0,0243 4343 43±0±0±0,00±0,00,00,000 0 03 Nm 0 3 Nm3 Nm3 Nm
Como vemos, los valores son compatibles, las tres medidas comparten un mismo intervalo. Haciendo los cálculos (véase la libreta), se obtiene que la media ponderada es:
RRRRpppp====(240(240(240±(240±±±3)x103)x103)x103)x10----4^444 NmNmNmNm
En el siguiente apartado usaremos este valor como la constante recuperadora.
En esta parte de la práctica vamos a calcular el momento de inercia para distintos objetos de geometría sencilla: una esfera, un disco, un cilindro hueco, un cilindro macizo y una varilla. Para ello utilizaremos de nuevo el sistema del muelle espiral, acoplando cada objeto al sistema. Una vez montado hacemos girar cada objeto con un ángulo paraxial desde su posición de equilibrio y medimos con un cronómetro el tiempo que tarda en hacer una oscilación. Para ello utilizamos la expresión:
, donde I es el momento de inercia para cada objeto y R es la constante recuperadora del muelle del apartado anterior. Una vez obtenidos los resultados los comparamos con sus valores teóricos y vemos si son compatibles. La siguiente tabla contiene los momentos de inercia tanto teórico como el experimental obtenido con sus respectivos errores.
ObjetoObjetoObjetoObjeto dddd±±±0.1 cm±0.1 cm0.1 cm0.1 cm Masa (g)Masa (g)Masa (g)Masa (g) Fórmula teóricaFórmula teóricaFórmula teóricaFórmula teórica Esfera 14.0 713.1 I=2/5mr^2 Disco 21.8 251.3 I=1/2mr^2 Cilindro macizo 10.0 373.6 I=1/2mr^2 Cilindro hueco 10.0 352.9 I=mr^2 Varilla L=66.0 143.8 I=1/12mL^2 Aplicando las fórmulas del guión de la práctica se hallan los momentos de inercia. Los errores se obtienen individualmente con la fórmula de propagación de errores. El radio es la mitad del diámetro, y su error la mitad del error del diámetro.
δ ( Iteo )=^ [ kr^2 δ( m )]^2 +[ km 2 r δ( r )]^2
