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MECÁNICA Y TEO. MEC. 1 (UCLM)

1º

, BENET 07-

MECÁNICA Y TEORÍA DE

MECANISMOS I

apuntes de teoría

Jesús Benet Mancho Vicente Yagüe Hoyos

SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

1. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO. CAMPO DE MOMENTOS

2. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO DE UN EJE

3. RESULTANTE GENERAL Y MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE

VECTORES DESLIZANTES

4. INVARIANTES DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES

5. EJE CENTRAL Y TORSOR DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES

6. EQUIVALENCIA Y REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

Figura 1. Momento del vector v respecto del punto A.

1. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO. CAMPO DE MOMENTOS

Consideremos un vector deslizante v = [v ,v v ] y un punto cualquiera P(x y z ) de su línea de x y, z t P, P, P acción, se llama por definición, momento del vector v respecto a un punto fijo A(x ,y ,z ) alA A A vector resultante del producto vectorial:

Donde AP es el vector de posición del punto P respecto del punto A, llamado impropiamente centro de momentos. Al momento M (v) A así definido se le exige la condición de que resulte en forma de vector fijo aplicado en el punto A; de esta forma se tiene que a cada punto del espacio le corresponde un momento distinto de un mismo vector, formándose así lo que se denomina campo de momentos del vector v.

El vector momento en cualquier punto A del espacio será por (1) normal al plano definido por el vector y el punto considerado, y su módulo es igual al módulo del vector por la distancia d del punto A a la línea de acción del vector deslizante, llamándose a esta distancia brazo del vector:

La expresión explícita del momento puede conocerse al desarrollar el determinante:

Figura 3. Momento de un vector, variación del punto de aplicación.

Expresión que permite conocer el momento de un vector respecto de un punto A, conociendo su momento respecto de otro punto B. Si en lugar de un punto cualquiera B, se considera el origen de coordenadas, la expresión anterior toma la forma:

Que permite determinar el momento correspondiente a cualquier punto A del espacio en función del vector de posición r A. Esta expresión constituye la ecuación del campo de momentos del vector v.

El campo de momentos de un vector no se altera al desplazarse éste de uno a otro punto de su línea de acción. En efecto, los momentos M (v) A y M’ (v)A de un mismo vector v situado en dos puntos P y P distintos de su línea de acción respecto a un mismo punto A son idénticos, ya que 1 2 su diferencia resulta nula:

Ya que P P 1 2 es paralelo a v. Resulta de este modo, que el campo de momentos de un vector deslizante es un invariante del mismo, ya que no depende de su punto de aplicación. Por esto se dice que las características intrínsecas de un vector deslizante son el propio vector y su campo de momentos.

Figura 4. Momento axial.

2. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO DE UN EJE

Dado un vector deslizante: v = [v ,v v ] y un eje EÉ, se llama momento axial del vector x y, z t v respecto a la recta EÉ, a la proyección sobre EÉ del momento del vector respecto a un punto cualquiera de la recta EÉ. Llamando u E al vector unitario de dirección la recta, el momento axial del vector v será, si elegimos como centro de momentos el punto A de la recta:

Fácilmente se demuestra que el momento axial es único, es decir independiente del punto elegido sobre la recta. En efecto, si tomamos como centro de momentos otro punto cualquiera B de la recta, se verificará, según sabemos:

Proyectando sobre la recta, tenemos:

Ahora bien, el último término es nulo, puesto que BA y u E son vectores de la misma dirección, luego ( BA v v ). u E = 0 y en consecuencia, las proyecciones sobre el eje EÉ de los momentos del vector v respecto de los puntos A y B cualesquiera de EÉ son iguales, es decir:

Siendo pues el momento axial único.

De la definición de momento axial, se deduce que éste será nulo tanto si EÉ y v son paralelos,

Si los vectores del sistema son de la forma: vi = [v xi , v , v ] , la resultante general será:yi zi t

Siendo por tanto las componentes de R :

Se denomina momento resultante respecto a un punto A, a la resultante de los momentos respecto de A de cada uno de los vectores que componen el sistema.

Si P (x , y, z ) (i=1,2,..n) son puntos de las líneas de acción de cada uno de los vectores i i i i vi y A(x ,y ,z ), es el centro de momentos, el momento resultante respecto de A es: A A A

El momento resultante tiene, en general, un valor distinto en cada punto del espacio, el conjunto de los cuales constituye el campo de momentos del sistema de vectores deslizantes.

Si calculamos el momento resultante en otro punto B, obtenemos:

Figura 5. Sistema de vectores deslizantes.

Expresión que nos indica que el momento resultante respecto a un punto B es igual al momento resultante respecto al punto A más el momento de la resultante general R localizada en A respecto de B. Por tanto, conocida la resultante general del sistema y el momento resultante respecto a un punto A, podemos determinar mediante la ecuación (19) el momento resultante respecto a otro punto cualquiera B del espacio.

Para que sea M B = MA es necesario que BA v R = 0, lo cual se satisface cuando la resultante general es nula, R =0, y también cuando la recta AB es paralela a R.

Si en lugar de un punto cualquiera A se elige el origen de coordenadas, la ecuación del campo de momentos resulta:

Esta última ecuación constituye la ecuación del campo de momentos del sistema de vectores deslizantes. Las componentes de R y M O constituyen las seis coordenadas del sistema:

En donde el término ( BA v R ).u = 0 puesto que R R y u R son vectores de la misma dirección. La anterior ecuación nos indica que la proyección del momento resultante en cualquier punto, sobre la resultante es constante, lo que constituye el segundo invariante del sistema. Este segundo invariante representa el módulo del momento mínimo, ya que resulta evidente que el momento será mínimo cuando tenga la misma dirección que la resultante general y su módulo valdrá:

Siendo por tanto:

5. EJE CENTRAL Y TORSOR DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES

Se define el eje central de un sistema de vectores deslizantes como el lugar geométrico de los puntos del espacio en los que el momento resultante es mínimo; lo cual equivale a decir, según hemos visto en el epígrafe anterior, que el momento resultante y la resultante son paralelos.

El cálculo analítico de la ecuación del eje central se efectúa del siguiente modo: Sea la resultante R=[R , R , R ] y supongamos conocido el momento resultante respecto a un punto cualquiera x y zt A(x ,y ,z ), M =[L ,M ,N ]. El momento respecto a otro punto P(x,y,z) será, de acuerdo conA A A A A A At la ecuación del campo de momentos:

Para que el punto genérico P(x,y,z) pertenezca al eje central, es necesario, por definición, que el momento resultante en P sea paralelo a la resultante R. La expresión analítica de esta condición de paralelismo, es la ecuación cartesiana del eje central:

Esto es:

Si se conoce el momento resultante con respecto al origen de coordenadas, las ecuaciones cartesianas del eje central se reducen a:

Figura 8. Sistema nulo.

Análogamente, para el sistema S':

Restando ambas expresiones, resulta:

En consecuencia, si los sistemas son equivalentes en un punto A, son equivalentes en cualquier punto del espacio.

Reducir un sistema de vectores es transformarlo en otro lo más simplificado posible y que sea equivalente con el primero. A continuación vamos a estudiar los posibles casos de equivalencia y reducción de sistemas:

1. Sistema nulo: ( R =0, M A =0): Un sistema se dice que es equivalente a cero, o que es un sistema nulo, cuando su resultante general y su momento resultante en cualquier punto son nulos: R =0, y M (^) A =0.

El caso más sencillo de sistema nulo es el constituido por vectores deslizantes iguales y opuestos situados sobre la misma línea de acción:

Figura 9. Par de vectores.

Todo sistema nulo de vectores puede, en consecuencia, ser reducido a dos vectores iguales y directamente opuestos.

2. Equivalencia a un vector ( R Ö0, M (^) A Ö0, M m =0): Si el momento mínimo de un sistema es nulo dicho sistema es equivalente a un vector único, la resultante general, deslizante sobre el eje central. En cualquier otro punto del espacio, la resultante general y el momento resultante son perpendiculares entre sí ( R z M A ).

Son ejemplos de este tipo de sistemas los formados por vectores paralelos y los constituidos por vectores concurrentes.

3. Equivalencia a un par ( R =0, M A Ö0): Se denomina par de vectores al sistema constituido por dos vectores paralelos y de igual módulo, pero de sentidos opuestos y aplicados en líneas de acción distintas. La resultante del par es evidentemente nula, lo que conlleva que el momento resultante sea constante e igual en cualquier punto del espacio:

El módulo del momento del par es M=d.v, siendo d la distancia entre las líneas de acción de ambos vectores, denominada brazo del momento, y v el módulo de los vectores.

La dirección del momento es perpendicular al plano determinado por ambos vectores y su sentido es el dado por la regla de Maxwell.

Figura 11 .Equivalencia a un vector y a un par.

Como caso particular, todo sistema de vectores deslizantes en que: R Ö0, M A Ö0, Mm Ö0, puede reducirse a dos vectores, cuyas líneas de acción no sean concurrentes y de forma que uno de ellos pase por un punto fijado a priori.

En efecto, elegido el punto A, el sistema queda reducido a la resultante general R y al momento resultante M A. El momento MA puede ser sustituido por un par ( v , -v ) situado en un plano B perpendicular a él, y de los infinitos posibles pares, elegimos uno tal que v pase por A.

Si se suman los vectores R y v , resultará que el sistema ha quedado reducido a dos vectores: AB = R + v y -v , uno de ellos aplicado en A.

Notas: expresiones de utilidad

Momento de un vector deslizante v =[v ,v ,v ] , respecto de un punto A(x ,y ,z ), siendo x y z t A A A P(x ,y ,z ), un punto de su línea de acción yP P P r P/A , el vector de posición de P respecto de A, esto es r P/A (^) = r P (^) - r A :

Para el caso de trabajar en el plano, el momento de v = [v ,v ,0] , respecto de un punto x y t A(x ,y ,0), siendo P(x ,y ,0) un punto de la línea de acción:A A P P

Que se puede expresar como si fuera un escalar, en donde el signo del tercer componente del vector momento, indica si el momento es en sentido positivo o negativo del eje OZ: