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_Ixcan, Quiche. Curso dirigido por Lic. Ahidan Francisco.
UNIDAD 1 : TEORÍA DE CONJUNTOS
1.1. DEFINICIÓN
NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si,
que se llaman elementos del mismo.
Cualquier colección de objetos o individuos se denomina conjunto. El término conjunto no
tiene una definición matemática, sino que es un concepto primitivo. Ejemplos de conjuntos
son por ejemplo el número de habitantes de una ciudad, el número de televisores en la
ciudad de Mérida. Nuestro objetivo será estudiar aquellos conjuntos que están relacionados
con el campo de la matemática, especialmente los conjuntos numéricos. La teoría de
conjuntos es fundamental en matemática y de suma importancia en informática, donde
encuentra aplicaciones en áreas tales como inteligencia artificial, bases de datos y lenguajes
de programación, etc.
Un conjunto es una colección de elementos diferentes. Los objetos que integran un
conjunto, se llaman elementos de ese conjunto. Ejemplos de conjuntos son los siguientes:
El conjunto de los números enteros.
El conjunto de los números naturales mayores que 5 y menores que 9.
El conjunto formado por los estudiantes del primer semestre de la UNEFA.
El conjunto formado por un punto P en el plano y las rectas que pasan por el.
En general usaremos letras mayúsculas para designar a los conjuntos y letras minúsculas
A continuación definimos algunos conjuntos que utilizaremos en este curso.
: el conjunto vacío , que carece de elementos.
N : 0, 1, 2, 3, 4, .............. el conjunto de los números naturales.
Z : ......-2, -1, 0, 1, 2, 3, ....... el conjunto de los números enteros.
Q : 0, ½, ¼, 1/5, ..... el conjunto de los números racionales.
R : ......-3, -2, 1, ½, 5, ..... el conjunto de los números reales.
C : a- b i, a + bi el conjunto de los números complejos.
En general, se designan los conjuntos usando letras mayúsculas: A, B, C, D,...... y los
elementos con letras minúsculas: a, b, c, d, ...... Los elementos del conjunto se suelen
encerrar entre llaves .
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Ejemplo 1 : El conjunto A que comprende las vocales
A= a, e, i, o, u
Ejemplo 2 : El conjunto de los números naturales mayores que 5 y menores que 9
B= 6, 7, 8
1.2 DEFINICIÓN DE CONJUNTOS POR EXTENSIÓN Y COMPRENSIÓN
Conjuntos por Extensión:
Se define un conjunto por extensión, aquellos en el cual se enumeran todos y cada uno de
los elementos que lo constituyen.
Ejemplo 1 : Determinar el conjunto A formado por los números enteros positivos entre 3 y
A = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
Ejemplo 2 : Determinar el conjunto B formado por los enteros positivos pares menores de
B = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
EJEMPLO 3.
El conjunto B = {x | x es natural e impar y x 3 }
Está formado por todos los números naturales impares mayores o iguales a 3. En este caso
se trata de un conjunto con un número infinito de elementos, y por lo tanto no podemos
definirlo por extensión.
EJEMPLO 4.
El conjunto C = {x | x es natural y 2 x 2
6
y x es potencia de 2}
Es el conjunto formado por los elementos 2, 4, 8, 16, 32 y 64. El conjunto C se
define también por extensión como:
C = { 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 }.
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Ejemplo 2: Determinar si los siguientes conjuntos son conjunto
X = x : x
2
= 9 , 2 x = 4
Resolviendo x
2
=9 x = -3, 3 y 2 x = 4 x = 2
No existe ningún número que cumpla al mismo tiempo con las dos ecuaciones anteriores,
por lo tanto x es conjunto vacío , x =
A continuación se muestran algunos ejemplos de conjunto vacío
A = { Las personas que vuelan } A = { } A = Ø
B = { x I x numero racional e irracional} B = { } B = Ø
C = { x I x es una solución real de } C = { } C = Ø
D = { x I x es rojo y verde a la vez} D = { } D = Ø
E = { x I x es un número real e imaginario} E = { } F = Ø
1.5 CONJUNTO UNIVERSO O UNIVERSAL ( U , )
Es el conjunto que comprende la totalidad de los elementos, se representa ( U o ).
En cualquier aplicación de teoría de conjuntos, los elementos de cualquier conjunto bajo
estudio, pertenecen a algún conjunto fijo mayor llamado conjunto universal o universo, por
ejemplo en la geometría del plano, el conjunto universal está formado por todos los puntos
del plano.
En estudios de población, el conjunto universal está formado por todas las personas del
mundo.
EJEMPLO 1.
A = {x | x es un natural par}, B = {x | x es un natural mayor que 4}
y C = {x | x es un natural menor que 23}
Son conjuntos cuyos elementos son números naturales, todos los conjuntos son
subconjuntos de N, y podemos considerar a N como conjunto universal, tomando:
U = N
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EJEMPLO 2. Los elementos de los conjuntos X, Y, Z, son los siguientes:
X = {cuadrado, rectángulo, rombo},
Y = {triángulo, hexágono}
Z = { decágono, eneágono, octógono, heptágono}
Tienen la propiedad de ser polígonos.
Resulta entonces conveniente considerar un conjunto que contenga a todos los conjuntos
que se estén considerando. A dicho conjunto se lo denomina conjunto universal , y lo
denotamos con la letra U.
1.6 CONJUNTO FINITO E INFINITO
Un conjunto se dice que es finito si está formado exactamente por (n) elementos distintos,
donde (n) es un entero no negativo. De lo contrario se dice que es infinito.
Notación: Si un conjunto A es finito, entonces n (A) indicará el número de elementos de A
Ejemplo 1: Determine cuales de los siguientes conjuntos son finitos
A = Estaciones del año
B = Meses del año
C = Enteros positivos menores de 1
D =Enteros impares
E = Enteros positivos divisores de 12
F = Gatos que viven en el Estado Mérida
Solución :
A : Es Finito porque hay 4 estaciones en el año, n (A) = 4
B: Es finito porque hay 12 meses en un año, n(B) = 12
C: No hay enteros menores que 1, así que C es vacío. Por lo tanto n(C) =
D: Este conjunto es infinito
E: Los enteros positivos divisores de 12 son 1,2,3,4,6 y 12, por lo tanto E es finito n (E) = 6
F: Aunque es difícil contar con exactitud todos los gatos que viven en el Estado, se dice que
F es finito
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Se observa que ningún elemento de C pertenece a D, así como ningún elemento de D
pertenece a C
Ejemplo 1: Considere los siguientes conjuntos
A = 1, 2 B = 1, 2, 3, 4 C = 1, 5 D = 3, 4, 5 E = 4, 5
¿ Cuales de los siguientes conjuntos son Disjuntos?
Solución: Son disjuntos A y D, y también A y E
1.9 FAMILIA DE CONJUNTOS ( F )
Se llama familia, clase, o colección cuyos elementos que están integrado por la suma de
cada uno de los elementos que componen esta familia, por ejemplo se tienen los siguientes
elementos.
A = x : es número entero par
B = x : es número entero impar
Por lo tanto la familia de conjuntos en este ejemplo se representa F = A, B
Ejemplo 2: Se tiene = Instrumentos de una orquesta sinfónica
C = Instrumentos de cuerda
V = Instrumentos de viento
P = Instrumentos de percusión
La familia de conjuntos corresponde a F = C, V, P
1.10 SUBCONJUNTOS
Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice
que A es un subconjunto de B. Esta relación se denomina relación de inclusión y se denota
A B
A B x : x A x B
Esta relación se lee “A está contenida en B”, “A es una parte de de B”
Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si todo elemento de A es también
elemento de B.
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Simbología:
A B : Esto significa A es un subconjunto de B, indica que cada uno de los elementos
de A también pertenece a B, lo que incluye la posibilidad de que A = B
A B: Esto significa A es un subconjunto propio de B, indica que A es un subconjunto
de B pero A B, por lo tanto existe al menos un elemento en B que no pertenece a A
Para entender este concepto, se ilustra a través del siguiente ejemplo
Ejemplo 1 :Consideremos los siguientes conjuntos
A = { 1 , 3 , 5 }, y B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }.
Como se puede observar , los elementos de A: 1, 3 y 5, también son elementos de B. Se
dice que A es un subconjunto de B, o que A está incluido en B.
Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si todo elemento de A es también
elemento de B.
Se denota A B y se dice que A está incluido o contenido en B.
Ejemplo 2. A = { 1 , 3 , 5 } está incluido en A, y lo escribimos A A.
1.11 PROPIEDADES DE LOS SUBCONJUNTOS
Los subconjuntos tienen las siguientes propiedades:
REFLEXIVA .- Todo conjunto es subconjunto de si mismo.
A A
ANTISIMETRICA .- Si dados dos conjuntos A y B se verifica A B, entonces se deduce
que B Ë A.
A B à A Ë B
TRANSITIVA .- Dados tres conjuntos A, B y C, si se verifica :
A B y B C entonces A C
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Luego podemos afirmar que A B
Se concluye entonces que A = B.
Notemos que dos conjuntos pueden ser distintos pero tener uno o más elementos en común.
Por ejemplo, A = { 2 , 4 } y B = { 1 , 4 , 6 } son distintos pero el 4 es un elemento de ambos
conjuntos.
Dos conjuntos A y B son iguales si los elementos de A son elementos de B, y viceversa. Es
decir, si A B y también B A.
1.14 EQUIVALENCIA DE CONJUNTOS
En el lenguaje ordinario diremos que los conjuntos A y B son equivalentes cuando tienen
los mismos elementos. Utilizando la anterior terminología esto significa que, entre ambos
se da una relación de inclusión en sentido amplio, pudiendo escribir A B y B A o más
brevemente A = B
Esta relación de equivalencia o igualdad de conjuntos no es sino una relación de inclusión
en sentido amplio y evidentemente una relación de equivalencia abstracta, pues se cumple
las siguientes propiedades.
a) A = A ( Propiedad Idéntica )
b) Si A = B entonces B = A ( Propiedad Recíproca )
c) Si A = B y B = C , entonces A = C ( Propiedad Transitiva)
1.15 REPRESENTACIÓN GRÁFICA ( DIAGRAMAS DE VENN)
El diagrama de Venn es una representación gráfica de los conjuntos mediante figuras
planas dentro de un rectángulo, este último representa al conjunto universal. Los otros
conjuntos se representan mediante círculos colocados en el interior del rectángulo, como se
muestra la siguiente figura.
Donde:
A: Conjunto A
U: Universo
A
U
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Cuando en un diagrama de Venn se desea enfatizar un conjunto, es usual sombrear el
interior de la curva cerrada que lo denota, que se Mostrará en detalles cuando se estudie las
propiedades de los conjuntos.
Ejemplos 1: Representar los siguientes conjuntos usando diagramas de Venn
Sean los conjuntos:
A = { aves} B = { peces } C = { anfibios } D = {tigres}
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D y es conjunto de todos los
animales
U = { animales }
Ejemplo 2: Describa el diagrama de Venn de los siguientes conjuntos
a) b) c)
Solución:
El conjunto universal U está representado por el interior del rectángulo y los otros
conjun6tos se representan mediante círculos en el interior.
Para el caso a) representa A B
A N F I B I O S
U
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EJEMPLO 1.
Si A = {1, 4, 9} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
EJEMPLO 2.
Si A = {x | x es múltiplo de 5} y B = {x | x es múltiplo de 10}, entonces
A B = {x | x es múltiplo de 5 }
Dado que todo número múltiplo de 10 es también es múltiplo de 5. En este caso, B A.
La unión de un conjunto A con el conjunto vacío es el mismo conjunto A, puesto que, no
tiene elementos:
A = A
La unión de un conjunto A con A es el mismo conjunto A:
A A = A.
1.15.2 Intersección de Conjuntos
Sean A y B dos conjuntos.
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Por comprensión, la intersección de los conjuntos A y B se define como
A B = {x | x A y x B}
EJEMPLO 1.
Si consideramos los intervalos [0, 5) y (3, 6], entonces:
[0, 5) (3, 6] = [0, 6] y [0, 5) (3, 6] = (3, 5)
Si A es un subconjunto de B, esto es A B, entonces
A B = A.
En particular A A = A y A =
En un diagrama de Venn la intersección de dos conjuntos se representa por la región que
está determinada por el interior de las curvas cerradas que determinan los conjuntos. Esta
región se la destaca con un sombreado o subrayado (ver Figura 2). Obsérvese que la
intersección de dos conjuntos es vacía si y solo si no hay elementos comunes entre ellos.
Esto se grafica con dos curvas cerradas que no se cortan.
Figura 2: Intersección entre A y B
Ejemplo 2: Dados los siguientes conjuntos:
A = {2,4,6,8,10}, B = {0,1,2,3 }, C = { -1,-2, 0,3}
Construye los diagramas de Venn de: a). A B, b). A C c). BC
Solución:
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A - B = {x | x A y x B}
Observemos que A
c
= U - A. En un diagrama de Venn representamos la diferencia entre los
conjuntos A y B, destacando la región que es interior a A y exterior a B (ver Figura 4).
1.15.5 Diferencia Simétrica
Se denomina al conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B, pero no a ambos, se
representa de la siguiente manera:
A B = x / x A B y x A B
Se cumple que: A B = ( A – B ) ( B – A )
1.15.6 Propiedades de las Operaciones
A continuación en la siguiente tabla se muestran las propiedades tanto para la unión de
conjuntos, y para la intersección.
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PROPIEDADES UNION INTERSECCION
1.- Idempotencia A A = A A A = A
2.- Conmutativa A B = B A A B = B A
3.- Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C
4.- Absorción A ( A B ) = A A ( A B ) = A
5.- Distributiva A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
6.- Complemento A A' = U A A' =
Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una
estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
o A = A , A = ( elemento nulo ).
o A U = U , A U = A ( elemento universal ).
o ( A B )' = A' B' , ( A B )' = A' B' ( leyes de Morgan ).
Los siguientes ejemplos ilustran las propiedades anteriores
