teoria de coordenadas, Diapositivas de Física Médica

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Semana N°01:

Sistemas de Coordenadas

Asignatura: Física II

Ing. Amador Humberto Vivar Recarte

Facultad de Ingeniería Electrónica e Informática Semestre Académico 2020- 1

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• Hay párrafos largos (por mejorar) cuya lectura es e importancia para comprender el contexto. No las evites.
• Los ejemplos se despliegan muy despacio para su mejor comprensión, no avances hasta que se despliegue por completo cada parte del mismo. jlms/20 15

El sistema de coordenadas cilíndricas es la extensión del sistema de coordenadas polares en R 2 aR 3, Imagínese un sistema de coordenadas polares en el plano, como el de la figura. Ahora imagínese que se coloca un eje z (la tercera dimensión para llevar a R 3 ) justo en el polo y perpendicular a la pantalla. Desde esta perspectiva no se puede ver el eje z, pero si se gira el plano de la pantalla como en la siguiente figura… θ A(r, θ) r POLO

Universidad Nacional Federico Villarreal Nótese que las dos primeras coordenadas son las mismas que en coordenadas polares en el plano, de allí el punto A se eleva (polo arriba) o se deprime (polo abajo) tantas unidades como indique la coordenada segmento desde e que origen coordenadas hasta

• r: longitud del va de el pie de la perpendicular del punto.
• θ: ángulo medido desde el lado positivo del eje x hasta el segmento “r”.
• z: distancia desde la base del plano xy hasta el puntoA A(r, θ, z) z POLO
• z z “z”.

5 4 3 2 1 z A B

• 1
• 2
• 3
  • 4
• 5 C
• z Así, el punto A se encuentra en la superficie de un cilindro de radio r= 4,5; el punto B en uno de r=3 y C en uno de r= 3,5.

Coordenadas rectangulares a cilíndricas Datos: (x, y, z) Se quiere obtener: (r, θ, z) Z = Z Se hace coincidir el eje polar con el eje “X” para visualizar la relación entre ambos sistemas de coordenadas. Obsérvese que la coordenada “z” es la misma en coordenadas rectangulares y en coordenadas cilíndricas

Universidad Nacional Federico Villarreal Entonces, las coordenadas cilíndricas del punto A(3, - 2, 1) son: A( ; 326,31°; 1) El punto A se encuentra en el IV octante, entonces, según la regla para el ángulo θ: Nótese que el ángulo obtenido corresponde efectivamente al IV octante, que es donde se encuentra el punto original. Es importante chequear estas correspondencias. Por último, la coordenada z en cilíndricas es la misma que en coordenadas rectangulares, esto es: z=1. Determine las coordenadas cilíndricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son: a) A(3, - 2, 1) b) B( , 10, - 6) Solución (a): Para calcular “r”, se usan los valores de “x” e “y”, sustituyendo en la ecuación, resulta: Transformación de coordenadas Rectangulares a coordenadas cilíndricas Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015

Universidad Nacional Federico Villarreal Solución (b): Igual que en el ejemplo anterior, sustituyendo los valores de “x” e “y” en la ecuación, resulta: El punto B se encuentra en el VI octante, entonces, según la regla para el ángulo θ: Nótese de nuevo que el ángulo obtenido corresponde efectivamente al VI octante, que es donde se encuentra el punto original. Es importante chequear estas correspondencias. Por último, la coordenada z en cilíndricas es la misma que en coordenadas rectangulares, esto es: z=-6. Entonces, las coordenadas cilíndricas del punto B( , 10, - 6) son: B(12; 146,44°; - 6)

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

RECTANGULARES A CILÍNDRICAS

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TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

CILÍNDRICAS A RECTANGULARES

Solución: Punto B B( r , θ , z ) B( 2 , - 45 ° , 2 ) Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes: Así que las coordenadas rectangulares de B( 2 , - 45 ° , 2 ) son: B(1,41 ; - 1,41 ; 2)

Los antiguos navegantes se guiaban por las estrellas hasta que se descubrió la manera de ubicar con exactitud la posición de un navío en altamar. Haciendo uso del sextante y cronómetros muy precisos, fueron capaces de determinar el ángulo por encima o por debajo del ecuador (latitud) y a la izquierda o derecha del meridiano de Greenwich (longitud) Este es un ejemplo de aplicación de un sistema de coordenadas esféricas. En la actualidad, los sistemas de posicionamiento vía satélite (GPS) al alcance de cualquier teléfono inteligente de gama media, usan un principio similar donde el objetivo es establecer la ubicación exacta de un objeto o persona sobre el globo terráqueo. Cada uno de nosotros tiene un par de coordenadas GPS que indica el lugar en que nos encontramos en un determinado momento, esa es nuestra posición en un sistema de coordenadas esféricas. A continuación se presenta en detalle la descripción de este sistema y su relación con otro tipo de coordenadas.

El rango de variación de los ángulos 𝚹 y φ es: x

Y

z Esto implica que no habrá valores de θ mayores que 36 0º ni valores de φ mayores que 180 º (no tendría sentido) NOTA IMPORTANTE : los ejes coordenados X,Y y Z se colocan sólo como referencia, para efectos de visualizar la relación entre las coordenadas rectangulares y esféricas. En los ejemplos siguientes se puede ver que las referencias X,Y,Z no se usan para graficar puntos en este sistema de coordenadas..

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• sen i k    sen i i k r =   sen i i k r   =   