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TEORÍA DE LA RELATIVIDAD - EINSTEIN. Documento general de la Universidad de Granada, España. Edición 2013
Tipo: Apuntes
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Dpto de F´ısica Te´orica y del Cosmos, Edificio Mecenas, Campus de Fuente Nueva Universidad de Granada, 18071 Granada, Espa ˜na [email protected]
Relatividad por M.C. Escher (1953)
“I want to know God’s thoughts. The rest are details.”
◦ Ulm, Alemania, 14 marzo 1879 † Princeton, Estados Unidos, 18 abril 1955
Comentario sobre el dibujo “ Relatividad” de M.C. Escher (1902 - 1972): Tres mundos completamente distintos est´an construidos en una sola unidad inseparable. [...] Podemos dividir las 16 figuritas que aparecen en el dibujo en tres grupos, cada uno de los cuales vive en su propio mundo. Para cada grupo todo lo que aparece en el dibujo es parte de su mundo, s´olo ven las cosas de distinta manera y le dan nombres distintos. Lo que para un grupo es un techo, es una pared para el otro. Lo que en una comunidad es una puerta, considera la otra como una escotilla en el suelo. (Bruno Ernst, El espejo M´agico, 1978)
resultados experimentales nuevos. Muchas veces se dice que la relatividad especial fue desaro- llada para explicar el resultado nulo de los experimentos de Michelson y Morley, pero esto no es hist ´oricamente correcto. Einstein mismo siempre ha dicho que en 1905 no sab´ıa de los resultados de Michelson.^1
El verdadero punto de partida de Einstein era la incompatibilidad de la mec´anica newtoniana, la teor´ıa de Maxwell y el principio de la relatividad de Galilei. La mec´anica newtoniana y la teor´ıa de Maxwell tienen grupos de simetr´ıa diferentes, mientras el principio de la relatividad dice en grandes l´ıneas que todas las teor´ıa f´ısicas deber´ıan tener el mismo grupo. La soluci ´on de Einstein a este problema te ´orico, la teor´ıa de la relatividad especial, es una reformulaci ´on de la mec´anica newtoniana en t´erminos del grupo de Lorentz, el grupo de simetr´ıa de la teor´ıa de Maxwell. De paso la relatividad especial nos proprociona una nueva manera de pensar sobre la estructura del espacio y el tiempo.
Tambi´en la motivaci ´on para la relatividad general fue puramente te ´orica: Einstein se di ´o cuen- ta de que la teor´ıa de la gravedad, tal como fue propuesta por Newton, no era compatible con la estructura del espacio y el tiempo que surge de la relatividad especial. Einstein formul ´o una nue- va versi ´on de la gravedad, que esencialmente convierte la gravedad newtoniana en una teor´ıa de campos, un concepto introducido por Faraday y Maxwell unos 50 a ˜nos antes. La interacci ´on gravitatoria ya no es instant´anea y a distancia, sino a trav´es de un campo intermediario por el cual la fuerza gravitatoria se propaga con velocidad finita. Lo revolucionario de la relatividad ge- neral es la identificaci ´on de este campo intermediario con la m´etrica, un objeto matem´atico que describe las propiedades geom´etricas del espacio. La relatividad general induce por lo tanto una profunda relaci ´on entre la gravedad y la curvatura del espaciotiempo.
De este modo la teor´ıa de la relatividad no es s ´olo una teor´ıa moderna de la gravedad, mejo- rando la gravedad newtoniana, sino tambi´en nos ense ˜na unas lecciones en la frontera entre f´ısica y metaf´ısica. Primero, por un lado la relatividad especial ha eliminado los conceptos del espacio absoluto, del tiempo absoluto y de la velocidad absoluta, por no ser observables, mientras por otro lado la relatividad general ha incorporado en la f´ısica el concepto del espaciotiempo din´ami- co, como una entidad f´ısica, igualmente real que conceptos como masa, carga, energ´ıa o momento angular. El espaciotiempo ha pasado de ser un escenario est´atico donde ocurre la f´ısica a ser una parte m´as de la f´ısica que influye lo que contiene y puede ser influenciado por ello.
Y la segunda lecci ´on que nos ense ˜na la teor´ıa de la relatividad es que una buena teor´ıa fisica tiene que hacer algo m´as que simplemente reproducir las observaciones o los datos experimenta- les de un observador. Deber´ıa poder escribir los datos experimentales de cualquier observador y si distintos observadores est´an relacionados por ciertas transformaciones de simetr´ıa, entonces la teor´ıa deber´ıa reflejar estas simetr´ıas y tomar una forma tal que es invariante bajo estas transfor- maciones. En otras palabras, la teor´ıa de la relatividad nos ense ˜na la forma en que de debemos formular una teor´ıa f´ısica para poder tomarla en serio.
No es de extra ˜nar que la teor´ıa de la relatividad sea una de los pilares fundamentales de la f´ısica conocida.
(^1) Aunque esto tampoco es verdad: existen pruebas de que lo hab´ıa discutido en varias ocasiones en su grupo de amigos f´ısicos.
La teor´ıa de la relatividad especial debe su origen a las ecuaciones de Maxwell del campo electromagn´etico. (A. Einstein)
La teor´ıa de Maxwell de las interacciones electromagn´eticas siempre ha tenido una relaci ´on muy estrecha con la teor´ıa de la relatividad. Aunque data de unos 40 a ˜nos antes de que Eins- tein presentara su relatividad especial, ya llevaba algunas de las caracter´ısticas de ´esta, como la velocidad de la luz como una velocidad absoluta y la invariancia bajo las transformaciones de Lo- rentz. La teor´ıa de Maxwell encaja tan extraordinariamente bien en la relatividad especial y con unas ligeras modificaciones en la relatividad general, que servir´a en numerosas ocasiones como ejemplo concreto o caso de prueba de t´ecnicas que encontramos a lo largo de este curso. Por lo tanto merece la pena repasar brevemente los aspectos m´as importantes de la teor´ıa de Maxwell en lenguaje tridimensional.
La teor´ıa de Maxwell es una teor´ıa de campos , es decir una teor´ıa con infinitos grados de li- bertad. El concepto de un campo f´ısico fue introducido por Michael Faraday (1791-1869), que hab´ıa observado que el serr´ın met´alico se agrupaba seg ´un filamentos en la proximidad de car- gas el´ectricas e imanes. Faraday se imaginaba que las cargas y los imanes generaban campos el´ectricos y magn´eticos que se extend´ıan por el espacio y que ´estos actuaban a su vez sobre otras cargas e imanes. De esta manera, Faraday consigui ´o eliminar el problema de la acci ´on a distan- cia, tan t´ıpico de la gravedad newtoniana y la ley de Coulomb, que postula que las interacciones f´ısicas se manifiestan instant´aneamente a distancias arbitrariamente grandes, sin preocuparse de la pregunta de c ´omo se propagan estas influencias. En una teor´ıa de campos, como la teor´ıa de Maxwell, las distintas part´ıculas no interacciones direcamente entre ellas, sino usan los campos como los transportadores de las interacciones f´ısicas: una perturbaci ´on de una carga el´ectrica ge- nera una perturbaci ´on en el campo electromagn´etico, que a su vez se propaga a velocidad finita (la velocidad de la luz) por todo el espacio. Las dem´as cargas en el universo s ´olo notan la influen- cia de la perturbaci ´on original, cuando la perturbaci ´on del campo electromagn´etico haya llegado hasta ellas. En este sentido un campo f´ısico es realmente un intermediario a trav´es del cual las distintas part´ıculas interaccionan sobre grandes distancias. Hoy en d´ıa, las teor´ıas de campos for- man la base de la f´ısica moderna: toda la f´ısica de part´ıculas est´a basada en la teor´ıa cu´antica de campos, mientras en cierto modo la relatividad general no es m´as que una reformulaci ´on de la gravedad newtoniana en lenguaje de una teor´ıa de campos.
k k
φ φ φ
m (^) m m
L (^0) L 0
α−1 (^) α α+
α−1 α α+
Figura 1.1: Una serie de masas m est´an conectadas a trav´es de muelles con constante k y posici´on de equilibrio L 0_. En la situaci´on de equilibrio (arriba) las masas est´an separadas por la distancia_ L 0_. En la situaci´on general (abajo) el desplazamiento de la masa_ m de la posici´on de equilibrio est´a caracterizado por φα.
Conceptualmente las teor´ıas de campos son un poco diferentes que los sistemas discretos. Por lo tanto es ´util estudiar la conexi ´on con la mec´anica anal´ıtica discreta, antes de tratar a fondo el electromagnetismo. Desde el punto de vista mec´anico, una teor´ıa de campos no es nada m´as que una teor´ıa con un n ´umero infinito (continuo) de grados de libertad. Son aplicables por lo tanto las mismas t´ecnicas que ya conocemos de (por ejemplo) el formalismo lagrangiano, s ´olamente tomando en cuenta la sutileza de tomar de manera adecuada el l´ımite continuo. En esta secci ´on revisaremos c ´omo tomar este l´ımite.
Consideramos un sistema que consiste de una serie infinita (pero contable) de masas iguales alineadas a lo largo del eje x y conectadas por muelles id´enticos de tama ˜no L 0 y constante el´astica k. Supondremos adem´as que las masas s ´olo se pueden mover en la direcci ´on x (V´ease Figura 1.1). Tomamos como coordenadas generalizadas qα(t) la posici ´on de la α-´esima masa m
qα(t) = αL 0 + φα(t), (1.1)
donde el indice α ∈ Z corre de −∞ a ∞ y φα(t) mide la desviaci ´on de la posici ´on de equilibrio. Las velocidadas generalizadas por lo tanto vienen dadas por q˙α = φ˙α. La energ´ıa potencial es proporcional al cuadrado de la desviaci ´on de los muelles del tama ˜no de equilibrio y viene dada por
V =
α
k(qα+1 − qα − L 0 )^2 =
α
k(φα+1 − φα)^2. (1.2)
Podemos por lo tanto escribir el lagrangiano como
α
m φ˙^2 α −
α
k(φα+1 − φα)^2
α
[ (^) m L 0
φ^ ˙^2 α −^ kL^0
( (^) φ α+1 −^ φα L 0
donde en la ´ultima igualdad hemos sacado un factor L 0 por razones que se har´an claras un poco m´as adelante. Las ecuaciones de movimiento vienen dadas por
m L 0 φ^ ¨α = kL 0
( (^) φ α+1 −^ φα L^20
− kL 0
( (^) φ α −^ φα− 1 L^20
Aqu´ı no estamos interesados en intentar resolver estas ecuaciones, sino queremos saber qu´e ocu- rre con el lagrangiano y la ecuaciones de movimiento en el l´ımite donde la posici ´on de equilibrio L 0 tiende a cero.
que describe ondas (longitudinales) de densidad en el material de la varilla que se propagan con una velocidad v =
Y /ρ. Podemos escribir esta integral como L =
dx L, donde el integrando L(φ, ∂xφ, ∂tφ) es la densidad lagrangiana , que contiene toda la f´ısica del sistema. A su vez se define la acci´on S como
S(φ, ∂xφ, ∂tφ) =
dt L(φ, ∂xφ, ∂tφ) =
dtdx L(φ, ∂xφ, ∂tφ). (1.11)
N ´otese que hemos tenido mucho cuidado en obtener el l´ımite continuo de tanto el lagrangiano (1.10) como las ecuaciones de movimiento (1.9), sin decir todav´ıa nada sobre c ´omo derivar las ecuaciones de movimiento del lagrangiano. En principio no es muy diferente a la derivaci ´on est´andar de la mec´anica anal´ıtica con variables discretas, salvo que ahora hay que variar con respecto a los campos φ(x, t), es decir, a variables continuas. La herramienta matem´atica necesaria para esta operaci ´on es la derivada funcional , definida como
δφ(x′, t′) δφ(x, t)
= δ(x − x′)δ(t − t′),
δF (φ(x′, t′)) δφ(x, t)
∂F (φ(x′, t′)) ∂φ(x′, t′)
δφ(x′, t′) δφ(x, t)
para cualquier funci ´on F (φ(x, t)) y donde δ(x − x′) es la delta de Dirac.
La variaci ´on de (1.11) con respecto a los campos φ(x, t) viene entonces dada por
0 ≡ δS =
dtdx
[ (^) δL(φ(x, t), ∂x φ(x, t), ∂tφ(x, t)) δφ(x′, t′)
δφ(x′, t′)
δL(φ(x, t), ∂x φ(x, t), ∂tφ(x, t)) δ∂x′^ φ(x′, t′)
δ∂x′^ φ(x′, t′)
δL(φ(x, t), ∂x φ(x, t), ∂tφ(x, t)) δ∂t′ φ(x′, t′)
δ∂t′ φ(x′, t′)
Igual que en el caso de variables discretas, podemos suponer que δ∂x′ φ(x′, t′) = ∂x′ δφ(x′, t′), de modo que integrando por partes los ´ultimos dos t´erminos e imponiendo las condiciones de contorno δφ(x, t 1 ) = δφ(x, t 2 ) = δφ(x 1 , t) = δφ(x 2 , t) = 0, (1.14)
(es decir, tomando la variaci ´on igual a cero tanto en los puntos iniciales y finales como en los contornos^2 ), tenemos que la variaci ´on toma la forma
0 ≡ δS =
dtdx
∂t
( (^) δL δ(∂tφ(x, t))
∂x
( (^) δL δ(∂xφ(x, t))
δL δφ(x, t)
δφ(x, t), (1.15)
lo que por el c´alculo variacional s ´olo es cero si est´a satisfecha la ecuaci ´on de Euler-Lagrange para una teor´ıa de campos: ∂ ∂t
( (^) δL δ(∂tφ)
∂x
( (^) δL δ(∂xφ)
δL δφ
Concretamente para el caso de la acci ´on (1.9) tenemos que
δL
φ(x′, t′), ∂x′ φ(x′, t′), ∂t′ φ(x′, t′)
δ(∂tφ(x, t))
= ρ ∂t′ φ(x′, t′)δ(x − x′)δ(t − t′) = ρ ∂tφ(x, t), (1.17)
δL
φ(x′, t′), ∂x′^ φ(x′, t′), ∂t′^ φ(x′, t′)
δ(∂x′ φ(x, t))
= Y ∂xφ(x′, t′)δ(x − x′)δ(t − t′) = Y ∂xφ(x, t), (1.18)
(^2) En el caso de la varilla el´astica hemos tomado x 1 = −∞ y x 2 = ∞, pero en general la integraci´on se puede hacer tanto en intervalos finitos como infinitos.
tal que (1.16) aplicado al lagrangiano (1.9) implica la ecuaci ´on de movimiento (1.10), como hemos derivado antes calculando el l´ımite expl´ıcitamente.
En la pr´actica, las derivadas funcionales, por muy complicadas que parezcan, se aplican como si fueran derivadas ordinarias, olvid´andose de que uno en realidad est´a derivando con respecto a funciones. Omitiendo la dependencia funcional, podemos por lo tanto reducir (1.17) y (1.18) a
δL δ(∂tφ)
= ρ ∂tφ,
δL δ(∂xφ)
= Y ∂xφ. (1.19)
La generalizaci ´on de todo el formalismo a dos y tres dimensiones deber´ıa ser obvia. En lugar de ser funciones de s ´olo x y t, los campos φ(xi, t) van a depender en general de xi^ y t y el lagran- giano ser´a una funci ´on de φ(xi, t) y sus derivadas ∂j φ(xi, t) y ∂tφ(xi, t). La ecuaci ´on de Lagrange (1.16) ser´a por lo tanto de la forma
∂ ∂t
( (^) δL δ(∂tφ)
i
∂xi
( (^) δL δ(∂iφ)
δL δφ
1.2. Las leyes de Maxwell
El f´ısico escoc´es James Clerk Maxwell (1831-1879) public ´o sus cuatro leyes de Maxwell en 1865, aunque la mayor´ıa de ellas ya hab´ıan sido descubiertos por Charles-Augustin Coulomb (1736-1806), Hans Christan Ørsted (1777-1851), Andr´e-Marie Amp`ere (1775-1836), Jean-Baptiste Biot (1774-1862), F´elix Savart (1791-1841) y Faraday (1791-1867) a base de investigaci ´on experi- mental. De hecho Maxwell a ˜nadi ´o s ´olo un t´ermino nuevo a las ecuaciones que ahora llevan su nombre. Pero el gran logro de Maxwell fue unificar el conjunto de leyes emp´ıricas sueltas sobre electrost´atica, corrientes el´ectricas e inducci ´on magn´etica en una s ´olida teor´ıa que describe todos los fen ´omenos relacionados con el electromagnetismo. Y como extra result ´o que su teor´ıa era ca- paz de dar un fundamento te ´orico a la ´optica, una parte de la f´ısica que hasta entonces parec´ıa completamente disconexa de los fen ´omenos electromagn´eticos.
Dada una densidad de cargas el´ectricas ρ(~x, t) y una densidad de corriente ~ (~x, t), las leyes
de Maxwell para los campos el´ectricos E~(~x, t) y magn´eticos B~(~x, t) vienen dadas, en unidades de Lorentz-Heaviside,^3 en la siguiente forma
∇ ·^ ~ E~ = ρ, (1.21)
∇ ×^ ~ E~ = − 1 c ∂t B,~ (1.22)
c
c ∂t E,~ (1.24)
donde c es la velocidad de la luz.
Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial (1.21)-(1.24) consiste en 8 ecuaciones dife- renciales lineales acopladas, donde en general se toma como condiciones de contorno que los campos E~ y B~ tienden a cero en el infinito (para sistemas infinitos). Aunque la forma diferencial (1.21)-(1.24) es m´as conveniente para buscar soluciones de las ecuaciones, la f´ısica detr´as de estas ecuaciones se ve mejor en la formulaci ´on integral. Utilizando los teoremas de Stokes sobre las
(^3) Las unidades de Lorentz-Heaviside es un convenio donde, a diferencia de las unidades SI, la permitividad el´ectrica ǫ 0 y la permeabilidad magn´etica μ 0 del vac´ıo no aparecen expl´ıcitamente. Tiene la ventaja que el ´unico par´ametro f´ısico que aparece en las ecuaciones de Maxwell es la velocidad de la luz c.
j
B
S N
B
j
v
Figura 1.3: La Ley de Amp`ere y la Ley de Faraday: Una corriente el´ectrica a trav´es de una superficie genera un campo magn´etico a lo largo de la curva que bordea la superficie, mientras que la variaci´on de flujo magn´etico a trav´es de una superficie induce una corriente el´ectrica a lo largo de la curva.
campo o bien son cerradas, o se extienden hasta el infinito. Aunque en la f´ısica moderna existen soluciones de monopolos magn´eticos con propiedades muy interesantes, no hay (de momento) ninguna indicaci ´on de que estas soluciones corresponden a objetos reales en la naturaleza. Dis- cutiremos un ejemplo de una soluci ´on de monopolo en la secci ´on 1.6.
La Ley de Amp`ere , el primer t´ermino de la derecha de la ecuaci ´on (1.29), nos cuenta cu´al es la fuente del campo magn´etico: la corriente el´ectrica ~. La integral de B~ a lo largo de una curva cerrada C es igual al flujo de corriente el´ectrica a trav´es de la superficie cuyo contorno es la curva C (V´ease Figura 1.3a). En particular podemos distinguir dos casos de inter´es. El primero es el caso del conductor lineal infinito con una corriente constante I =
~ · ~n d^2 x (Figura 1.4a). A trav´es de la ley de Amp`erey la simetr´ıa cil´ındrica del sistema no es muy dif´ıcil de ver (ejerc.) que el campo magn´etico generado por esta corriente I tiene s ´olo una componente en la direcci ´on ϕ, el ´angulo polar en coordenadas cil´ındricas:
2 πcr
~eϕ. (1.32)
El segundo caso interesante es el del solenoide infinito, donde una corriente I pasa por una h´elice conductor (Figura 1.4b). De manera similar al caso del conductor lineal se puede demostrar (ejerc.) que el campo magn´etico fuera del solenoide es cero, mientras que dentro hay un campo constante B~ = I~ez a lo largo del eje del solenoide. Una consecuencia de esto es que un metal se convierte en un im´an si lo metemos dentro de un solenoide. Dependiendo del tipo de material es posible que las propiedades magn´eticas perduren incluso si sacamos el metal del solenoide. Los casos aqu´ı comentados son ejemplos sencillos de la ley de Biot-Savart sobre el campo magn´etico generada por corrientes el´ectricos. Vemos por lo tanto que la ley de Biot-Savart, y en general la de Amp`ere, relacionan claramente los fen ´omenos el´ectricos con los fen ´omenos magn´eticos.
La Ley de Faraday o la ley de la inducci´on magn´etica (1.27) describe en cierto sentido la situaci ´on contraria a la ley de Ampere con el solenoide. Si una corriente circular causa un campo magn´etico, ¿tambi´en un im´an metido en un anillo conductor causa una corriente el´ectrica en el anillo? Esto claramente no es verdad, puesto que violar´ıa de manera brutal la conservaci ´on de energ´ıa. Pero Faraday descubri ´o que s´ı se genera una corriente en el momento en que el im´an se acerca o se aleja del anillo, es decir cuando el flujo magn´etico a trav´es del anillo cambia. La ley de Faraday dice que un cambio en el flujo magn´etico a trav´es de una superficie S induce un campo el´ectrico rotacional alrededor de la curva que bordea S (V´ease Figura 1.3b). Este campo el´ectrico rotacional general una corriente ~ que a su vez causa a trav´es de la ley de Ampere un campo magn´etico. El sentido de la corriente ~ es tal que el campo magn´etico causado intenta compensar el cambio de flujo del campo original. Las corrientes el´ectricas inducidas por cambio de flujos magn´eticos a trav´es de una superficie son el principio b´asico detr´as de una dinamo y forman la base del motor el´ectrico.
B
I B I
Figura 1.4: Ejemplos t´ıpicos de la Ley de Amp`ere: un campo magn´etico rotacional alrededor de un conduc- tor lineal infinito y un campo magn´etico constante en el interior de un solenoide.
j j
E
S B
C
Figura 1.5: El t´ermino de Maxwell como correcci´on a la ley de Amp`ere: el campo magn´etico B~ a lo largo de de una curva C alrededor del conductor con una corriente ~ no es igual al flujo de la corriente pasando por la superficie S , si S pasa entre las dos placas de un condensador. La carga que se acumula en el condensador
crea un cambio en el campo el´ectrico, que es el responsable del campo magn´etico B~.
Las cuatro leyes de electricidad y magn´etismo que acabamos de comentar arriba, son las que eran conocidas en los tiempos de Maxwell. En ese momento eran leyes emp´ıricas que describ´ıan bien los experimentos realizados hasta entonces. Sin embargo Maxwell se dio cuenta de que en particular la ley de Amp`ere (las ecuaciones (1.24) y (1.29) sin el segundo t´ermino de la derecha) no pod´ıa ser v´alida siempre. Si aplicamos la ley de Biot-Savart (1.32) al caso donde una corriente ~
est´a cargando un condensador, la corriente genera claramente un campo magn´etico B~ alrededor del conductor. Sin embargo, el flujo de corriente a trav´es de una superficie es cero, si dejamos que la superficie pase entre las dos placas del condensador (V´ease figura 1.5), por lo que la ley de Amp`ere no es v´alida. Maxwell se di ´o cuenta que mientras corr´ıa la corriente el´ectrica, iba aumentando la carga acumulada en el condensador y por lo tanto aumentando el flujo de campo el´ectrico entre las dos placas y la superficie. De all´ı dedujo Maxwell que ese cambio de flujo
el´ectrico induc´ıa el campo magn´etico B~ alrededor del conductor, lo que resulta en el segundo t´ermino de (1.24) y (1.29), el t´ermino de Maxwell. Al conjunto de la ley de Ampere y el t´ermino de Maxwell, se le suele llamar la _ley de Ampere-Maxwell_.
Maxwell introdujo su t´ermino a base de razones puramente te ´oricas, ya que en este momento no hab´ıa ninguna indicaci ´on experimental para creer en la existencia de una contribuci ´on de este tipo. Sin embargo el t´ermino resulta ser indispensable para la conservaci ´on de la carga el´ectrica y da lugar a la existencia de las soluciones de ondas electromagn´eticas, un hecho experimental-
