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Universidad Nacional del Altiplano Puno Facultad de Ingeniería Económica d

ECONOMIA

MATEMATICA II

SESION 1

LIMITES Y CONTINUIDAD

DOCENTE: Carmen QUISPE LINO

Alguna vez ha estado Ud. en una competencia de atletismo donde participan “docentes”, en la cuál dos de ellos llegaron a la meta prácticamente “juntos”, pero uno de ellos ganó el premio?. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y en la cual está involucrada el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo.

Introducci

ón

Cuando una variable “se aproxima” a un valor particular, podemos examinar el efecto que tiene sobre los valores de la función. Noción de límite

EXISTENCIA DEL LIMITE TIPO (1) 5 TIPO (2) TIPO (3) (^) (TIPO 4) NO EXISTE EXISTE (^) EXISTE NO EXISTE

• EL LIMITE ES UNICO
  • EL LIMITE ES UN VALOR NUMERICO
• SE VE EN EL EJE DE LAS Y
• LA X TIENDE A UN NRO Y LA F(X) TIENDE AL LIMITE OBSERVACIONES

Límite de una Función f - Definición Si 𝑥 0 es un punto de acumulación del 𝐷𝑓, se dice que el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑥 0 es igual a 𝐿 y se simboliza así: Si es posible aproximar arbitrariamente los valores de 𝑓(𝑥) hacia L (tanto como se desee), escogiendo a 𝑥 suficientemente cerca de 𝑥 0 , pero no igual a 𝑥 0. l í m f ( x )  L x  x (^) 0

Límite de una función real – Ejemplo: x f(x) 0,9 0, 0,99 0, 0,999 0, ... ... ↓ ↓ 1 1/ x f(x) 1,1 0. 1,01 0, 1,001 0, ... ... ↓ ↓ 1 1/ Por ejemplo para hallar el límite: 𝐥𝐢𝐦 𝒙−𝟏 (^) 𝒙→𝟏 Podemos obtener valores de la función 𝒙𝟐−𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟏

para valores de

𝒙𝟐^ −𝟏

x que se aproximan a 1 sin ser nunca iguales a 1.

En la tabla dada a

continuación, observamos que el valor de f(x) se

aproxima a 1/2.

2.-Teorema de la compresión (del Sandwich)

Sean 𝒇, 𝒈 𝑦 𝒉 funciones tales que: a) Si f ( x )  g ( x )  h ( x ),  x  N ( x 0 ) con x  x 0 l i m g ( x )  L x  x (^) 0 Entonces se cumple que: y b )^ lim^ f^ ( x )^ ^ lim^ h ( x )^  L x  x 0 x  x 0 g ( x ) h ( x ) f ( x ) 𝑥 0 x y 𝒩 𝑥 0 : es una vecindad de 𝑥 0

TEOREMAS FUNDAMENTALES 3.- Teoremas sobre propiedades operacionales: Suponiendo que c es una constante y que: L i m f ( x ) e x i s t e x  x (^) 0 L i m g ( x ) e x i s t e x  x (^) 0 x  x 0 x  x 0

a) Lim [ f ( x )  g ( x )]  Lim f ( x )  Lim

g ( x )

x  x 0 x  x 0 x  x 0 b) L i m c f ( x )  c L i m f ( x )

Teorema del cambio de Variable 𝒙→𝒙 𝟎 Si lim 𝒇 𝒙 = 𝑳,entonces haciendo 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒉, se cumple: 𝒉→ 𝟎 lim 𝒇𝒙𝟎 + 𝒉 = 𝑳 Observación: En la práctica este procedimiento consiste en hacer el cambio de variable de la siguiente forma: 𝐿 = lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑓(𝑥 0 + ℎ) 𝑥→𝑥 0 𝑥−𝑥 0 →0 ℎ→ Donde: 𝑥 − 𝑥 0 = ℎ ⇒ 𝑥 = 𝑥 0 + ℎ

Ejemplo

s

  ^3  1 12 8  x (^) 

1.  Hallar : lim

x  2  2 ^ x Solución.- efectuando la expresión dentro del paréntesis resulta: li m = lim 𝑥 2

• 2𝑥 − 8 −(2 − 𝑥)(𝑥 +

2 2 𝑥→ (^2) (2 − 𝑥)(𝑥 + 2𝑥 + 4) 𝑥→2 (^) (2 − 𝑥)(𝑥 + 2𝑥 + 4) Como 𝒙 ≠ 𝟐 entonces (𝟐 − 𝒙) ≠ 𝟐 , por tanto:

(𝑥^2 +2𝑥+4)

lim =

lim

=

= −

OBSERVACIÓN: Aplicando las propiedades operacionales , pueden establecerse los siguientes límites útiles: 0 0    n

 x  x

1. L i m [ f ( x ) ] n 

L i m f ( x )

x  x ,^ (^ n^ ^ 0 )

4. Lim n f ( x )  (^) n Lim f ( x ) x  x 0 x  x 0
5. l i m n x  n x 0 x  x 0 n 0
6. l i m x n  x x  x (^) 0 (Para 𝑛 = 𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒: 𝑥→𝑥 0 lim 𝑓(𝑥) > 0 :

OBTENCION DE LIMITES DETERMINADOS .- si f es una función polinomial y racional ya esta en el dominio de la función entonces l í m f ( x )  f ( a ) x  a

Ejercicio

reto

1.- Calcular el siguiente límite:   4  x  (^1)  6  x  3  lim x  3  a )2 / 3 b )1/ 3 c ) d ) 1/ 3 e )  2 / 3