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Arquitectura – Diseño de Interiores y Mobiliario Curso de Ingreso de Matemática Profesoras: Claudia Garelik – María Victoria Pistonesi – Jenny Fuentealba Palavecino – María Pía Martinez – María Silveria López – Emiliana Llorens
NOCIONES BÁSICAS DE TRIGONOMETRÍA
Ángulos y sistemas de medición de ángulos Consideremos en el plano un punto O y dos semirrectas con origen en dicho punto. Todo ángulo se considera generado por una semirrecta móvil que gira sobre su origen, que está fijo. Llamamos ángulo orientado 𝐴𝑂𝐵̂ al ángulo generado por la rotación, en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, de la semirrecta OA hacia la posición de la semirrecta OB. Los ángulos suelen nombrarse con letras griegas: 𝛼 (alfa), 𝛽 (beta), 𝛾 (gama), 𝛿 (delta), 𝜑 (fi)… Como observamos en la figura, 𝛼̂ resulta generado por la semirrecta OA cuando gira sobre su origen y ocupa la posición final OB. Un ángulo se define con signo positivo si es generado por una semirrecta móvil que gira en sentido opuesto al movimiento de las agujas de un reloj. En caso contrario, se define como negativo.
Dado en el plano un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de centro O , llamamos ángulo centrado a todo ángulo orientado con vértice O (coincide con el origen del plano coordenado (0,0)), cuya semirrecta inicial coincida con el semieje positivo de las abscisas.
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Sistemas de medición de ángulos
Trabajaremos con dos sistemas de medición: sexagesimal y circular o radial. Sistema Sexagesimal Su unidad de medida es el grado sexagesimal (1º) que se obtiene si se divide al ángulo recto en 90 partes congruentes:
90 1 ^1 R 1 recto = 90 grados ó 1 R = 90° Si al grado se lo divide en 60 partes iguales se obtiene el minuto sexagesimal:
60
1 ' ^1 1 grado = 60 minutos ó 1° = 60’ Si al minuto se lo divide en 60 partes iguales se obtiene el segundo sexagesimal:
60 1 ' '^ ^1 ' 1 minuto = 60 segundos ó 1’ = 60’’ Así, el ángulo llano mide 180º y el ángulo de un giro mide 360º. Sistema circular o radial Ahora consideraremos un sistema de ejes coordenados cartesianos, por lo que quedan determinados cuatro ángulos rectos. Dado que cada uno mide 90°, cualquier circunferencia C , con centro en el origen del sistema coordenado cartesiano, tiene un ángulo central de 360°.
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Ejemplos
- Expresar en radianes un ángulo de 5120'. 51 20' = 51,33333... 180° rad 51,33333...° t rad. t = 51 ,3333°. (^) 180°𝜋 = 0 , 895935 Rta : 5120' = 0,895935 rad.
- Expresar en grados sexagesimales un ángulo de 2,5 radianes. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 180° 2,5 𝑟𝑎𝑑 t ° t = 2 , 5 𝑟𝑎𝑑. (^) 𝜋180° 𝑟𝑎𝑑 = 143° 14 ′^ 20′′
Razones Trigonométricas
Se definen relaciones que vinculan dos de los lados de un triángulo rectángulo con uno de sus ángulos agudos.
𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝛽̂ = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎 𝛽𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝛽̂ = 𝐵𝐶̅̅̅̅𝐴𝐶̅̅̅̅
El teorema de Pitágoras relaciona los catetos de un triángulo rectángulo con su hipotenusa de la siguiente manera:
𝐴𝐵̅̅̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅̅̅ 2 = 𝐴𝐶̅̅̅̅ 2
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Estas razones se denominan razones trigonométricas del ángulo agudo 𝛽, o también relaciones trigonométricas. La razón trigonométrica es la comparación por cociente de dos magnitudes de la misma especie que da por resultado un número abstracto. Una razón trigonométrica cambia de valor si cambia el ángulo sobre el cual se calcula, es decir que las razones trigonométricas dependen del valor del ángulo. Para extender las definiciones a ángulos no agudos se consideran un par de ejes coordenados 𝑥𝑦, se traza, con centro en el origen de coordenadas, una circunferencia de radio 1. Se considera un punto P perteneciente a la circunferencia de coordenadas ( x 1 , y 1 ) y un ángulo como lo indica la figura, el segmento 𝑂𝑃̅̅̅̅ = 𝑟 se denomina radio vector.
A partir de la figura definiremos las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera:
radiovector^1 1111 ˆ^1
ˆ ordenadade , y sen y r sen Px y y
radiovector^1 1111 cosˆ^1
cos ˆ abscisade , x x
r
P^ x y x
1 1
1 1 1
abscisa de
ˆ ordenadade
x
tg y
x
y
P x ,y
tg Px ,y
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Algunas de estas figuras geométricas forman las caras de cuerpos geométricos a los cuales se puede calcular su superficie lateral (SL) o su superficie total (ST). En la siguiente tabla se repasan algunos de dichos cuerpos y cómo se calculan sus superficies:
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Volumen : como propiedad física de la materia , es el espacio que ocupa un cuerpo. En los cuerpos sólidos de forma regular, el volumen está determinado por sus dimensiones y se obtiene aplicando la correspondiente fórmula matemática. Algunos cuerpos, como el cubo y el paralelepípedo, el volumen es el producto de sus tres dimensiones (largo, ancho y alto). Para los demás se utiliza otro modo para calcularlo. A continuación te damos un cuadro con los volúmenes de los cuerpos que podrás necesitar calcular y que se determina con expresiones matemáticas sencillas:
