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Introducción a la Matemática Económico-Empresarial
- Departament d’Economia Financera i Actuarial. Grupos O y S
- CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA..................................................................................... TEMA 6.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS.
- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN PRIMITIVA..............................................................................................
- DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA.......................................................................................
- PROPIEDADES.
- La integral de 0 es una constante.
- función. 2. La integral del producto de un escalar por una función es igual al escalar por la integral de la
- Aditividad de la integral respecto al integrando....................................................................................
- La integral del valor absoluto es mayor o igual que el valor absoluto de la integral........................
- La integral de una función mayor que otra no es inferior a la de la menor función.
- 2.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
- CÁLCULO DE PRIMITIVAS: INTEGRALES INMEDIATAS. MÉTODOS....................................
- Cálculo de primitivas.....................................................................................................................................
- Integrales inmediatas.....................................................................................................................................
- Integrales casi inmediatas.
- MÉTODOS GENERALES DE INTEGRACIÓN....................................................................................
- Método de integración por partes.
- Método del cambio de variable....................................................................................................................
- MÉTODOS ESPECÍFICOS DE INTEGRACIÓN.
- Integrales trigonométricas.
- Integrales racionales.
- a.- Raíces Reales Simples (RRS):............................................................................................................................................
- b.- Raíces Reales Múltiples (RRM) ........................................................................................................................................
- c.- Raíces Imaginarias Simples (RIS): ....................................................................................................................................
- Integrales irracionales..................................................................................................................................
- INTEGRALES SIN PRIMITIVA................................................................................................................
- 3.- APLICACIONES.
- APLICACIONES ECONÓMICAS.............................................................................................................
- Obtención de una función total a partir de una función marginal.......................................................
Cálculo de primitivas
2 Pérez-Salamero, J. M.; Suso, J.; Ventura, M.
1. CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA
Uno de los problemas fundamentales que se plantea el Cálculo de una variable geométricamente
es el cálculo del área que encierra el gráfico de una función definida en un intervalo [a, b] con el eje de
abscisas (y = 0). Dicha área se puede obtener con la integral definida.
En Economía la integral definida aparece ante problemas de determinación de funciones totales
a partir de funciones marginales (utilidad marginal ⇒ utilidad total) o, bien, ante procesos que terminan
en una “suma” en variables continua como es el caso del cálculo de funciones financieras de
capitalización partiendo del concepto de tanto instantáneo de interés.
Son frecuentes las técnicas de la integral en muchos análisis estadísticos de ciertos fenómenos
de la realidad económica y empresarial (teoría de las probabilidades, matemática actuarial, etc.)
Para resolver integrales definidas es necesario conocer previamente los distintos métodos de
cálculo de primitivas que también es conocida como la “antiderivada” de una función.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN PRIMITIVA.
Sea f(x) una función real de variable real definida en un intervalo cerrado [a, b]⊆R. Se llama
función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada es f(x) en dicho intervalo.
F(x) es primitiva de f(x) ⇔F' (x)=f(x) ∀x∈[a,b]
Ejemplo: La función F(x)=sen(x) es una primitiva de la función cos(x), ya que
cos(x) x
sen( x)
∂
DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA.
Se llama integral indefinida de f(x) al conjunto de todas la funciones primitivas de f(x) y se
representa por:
f(x)⋅ dx
Si F(x) es una primitiva de f(x), se cumple que
f( x)⋅dx=F(x)+C, C∈R
Es decir, basta con sumar una constante a una primitiva para tener otra primitiva de la misma
función. Para los infinitos valores que puede tomar dicha constante, se tiene una familia de infinitas
funciones cuya derivada es f(x). Así pues, cuando se requiera la integral indefinida de una función no
habrá que olvidarse de sumar la constante C para tener un conjunto de infinitas primitivas.
A la función f(x) que determina una integral indefinida se le conoce como función integrando.
PROPIEDADES.
A continuación se enuncian unas propiedades que cumplen las integrales indefinidas para que se
apliquen cuando sea conveniente o necesario en el cálculo de primitivas.
Cálculo de primitivas
4 Pérez-Salamero, J. M.; Suso, J.; Ventura, M.
2.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
CÁLCULO DE PRIMITIVAS: INTEGRALES INMEDIATAS. MÉTODOS.
Cálculo de primitivas.
Resolver una integral indefinida no es más que calcular su primitiva. Para ello es necesario
analizar dicha integral, en concreto su función integrando, y a partir de dicho análisis se procede a
aplicar el método más adecuado de resolución. Se trata de analizar el tipo de integral, atendiendo a su
método de resolución. Se empieza por ver si pertenece a un tipo de integral de más fácil resolución y
conforme se vaya desechando su pertenencia a los grupos de más fácil resolución se pasa a analizar su
pertenencia a tipos de más compleja resolución. Un posible orden a seguir para ese análisis sería el
siguiente, aunque el punto 5º podría analizarse el primero, y el 3º y 4º alternar su posición:
- Comprobación de si es una integral inmediata.
- Comprobación de si es casi inmediata.
- Comprobar si es una integral con método específico.
- Comprobar si se le puede aplicar un método general de resolución.
- Comprobar si se trata de una integral sin primitiva.
El detalle de lo que habría que efectuar en cada paso se explica a continuación.
Integrales inmediatas.
Para calcular una integral es necesario conocer las derivadas de distintas funciones, pues hay que
determinar la función cuya derivada es la función integrando de la que se quiere calcular la integral. A la
integral indefinida, por ese ejercicio de cálculo, también se le conoce como anti-derivada. Hay que
hacer el ejercicio inverso al de obtener la derivada de una función. A partir de este hecho, se puede
construir una tabla con las integrales que se conocen de manera inmediata a partir de las derivadas de
funciones conocidas. A estas integrales cuya primitiva es fácil de conocer se le llaman integrales
inmediatas.
Se facilita a continuación una tabla de integrales inmediatas para su memorización. Para que sea
manejable, no es una tabla muy extensa, además sería imposible construir una con las infinitas
funciones. Por estos motivos la tabla recoge las integrales inmediatas básicas de funciones comúnmente
empleadas.
Integrales inmediatas
Integrales concretas Integrales genéricas
C m 1 m 1
x x dx
m 1 m
C m 1 m 1
f(x) f(x) f'(x) dx
m 1 m
dx ln|x| C x
x dx
1 ⋅ = ⋅ = +
− dx ln|f(x)| C f(x)
f'(x) f (x) f'(x) dx
1 ⋅ ⋅ = ⋅ = +
−
dx x C 2 x
dx f(x) C 2 f(x)
f '(x) ⋅ = +
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Integrales inmediatas
e dx e C
x x ⋅ = +
f '(x) e dx e C
f( x) f(x) ⋅ ⋅ = +
a lna dx a C a 0
x x ⋅ ⋅ = + >
f '(x) a lna dx a C a 0
f (x) f(x) ⋅ ⋅ ⋅ = + >
dx log x C a 0 lna
x
∫ ⋅ ⋅ = a^ + > dx log f(x) C a^0
lna
f(x)
f '(x)
∫ ⋅ ⋅ = a^ + >
cos x⋅dx=senx+ C
f '(x)⋅cosf(x)⋅dx=senf(x)+C
sen x⋅dx=−cosx+ C
f '(x)⋅senf(x)⋅dx=−cosf(x)+C
1 tgx dx tgx C
2
f '(x) [ 1 tgf(x)] dx tgf(x) C
2 ⋅ + ⋅ = +
dx arcsenx C 1 x
2
dx arcsenf(x) C 1 f(x)
f'(x)
2
dx arccosx C 1 x
2
dx arccosf(x) C 1 f(x)
f'(x)
2
dx arctgx C 1 x
dx arctgf(x) C 1 f(x)
f '(x) 2 ⋅ = +
La tabla de integrales no permite resolver todas las integrales, lo que obliga a explicar métodos
alternativos de búsqueda/cálculo de primitivas. Alguno de esos métodos se explica en estas páginas.
Todos ellos tratarán de reducir el resultado de la integral original a la resolución de una o varias
integrales inmediatas.
Integrales casi inmediatas.
Se puede dar el caso de que una función integrando no admita primitiva de manera inmediata,
pero con sencillas operaciones aritméticas pueda acabar resolviéndose la integral mediante su
transformación en una integral inmediata o una combinación de integrales inmediatas. Esto se consigue
mediante el uso combinado de las propiedades de las integrales y la tabla de inmediatas para poder
acabar resolviendo un mayor número de integrales que no aparezcan en dicha tabla como serían las de
funciones resultado de sumas, productos de escalares por una función, o combinaciones lineales de las
funciones, por ejemplo.
Suma de integrales inmediatas:
[f (x)+ g(x)]⋅dx= f(x)⋅dx+ g(x)⋅dx.
Ejemplo: La función integrando de la siguiente integral es una función que no está en la tabla,
pero es el resultado de la suma de dos que sí lo están. Se utiliza el hecho que la integral de la suma de
dos funciones es la suma de las integrales de las funciones sumando y se tiene:
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e C 2
sen( 5 x) 5
2 x e dx 2
5 cos( 5 x) dx 5
[cos( 5 x) x e ] dx cos( 5 x) dx x e dx
2 2
2 2
x x
x x
MÉTODOS GENERALES DE INTEGRACIÓN.
Método de integración por partes.
Ya se ha visto cómo resolver integrales casi inmediatas, es decir, cómo resolver la integral
cuando la función integrando consiste en una combinación lineal de funciones cuya integral es
inmediata. Como casos particulares está la suma, la resta, el producto por un número, etc. Para otras
integrales no inmediatas cuya función integrando es el producto de dos funciones, se suele utilizar el
método de integración por partes. Cuando una de las funciones factor de la función integrando
producto es difícil de integrar, pero fácil de derivar, o al revés, o ambas cosas a la vez, se hace una
sustitución o cambio de variable de forma que la parte del integrando “difícil” se llame u(x), y el resto,
incluyendo el producto por dx, dv(x).
La justificación matemática del método proviene de la diferenciación del producto de dos
funciones y se va a presentar a continuación.
Sean dos funciones u(x) y v(x) reales de variable real, tales que u: D⊆R→R; v: D⊆R→R,
diferenciables en su dominio. Entonces el producto de las dos funciones es otra función diferenciable y
su diferencial es:
d[u v] u dv v du
d[u(x) v(x)] u(x) dv(x) v(x) du(x)
⋅ = ⋅ + ⋅
Si se integran ambos miembros de la ecuación se tiene:
d[u⋅ v]= u⋅dv+v⋅du= u⋅dv+ v⋅du
d[u⋅ v]=u⋅v= u⋅dv+ v⋅du
u⋅ dv=u⋅v− v⋅du
Ejemplo: Resuelva la siguiente integral.
arctgx⋅ dx
No es inmediata ni casi inmediata, aunque aparece una función trigonométrica se va a tratar de
resolver mediante el método de integración por partes, considerando que
dv dx v dv dx x
dx 1 x
u arctgx du 2
Cálculo de primitivas
8 Pérez-Salamero, J. M.; Suso, J.; Ventura, M.
u⋅ dv=u⋅v− v⋅du
Sustituyendo en la integral original se tiene
⋅ = ⋅ − dx 1 x
x arctg x dx x arctgx 2
La integral
dx 1 x
x 2 no es inmediata, pero basta con multiplicar (y dividir) por 2 el
integrando para tener una integral inmediata del tipo dx ln|f(x)| C f(x)
f'(x) f( x) dx
1 ⋅ = ⋅ = +
− .
ln| 1 x | C 2
dx x arctgx 1 x
2 x
2
arctg x dx x arctgx
2 2 ⋅ = ⋅ − + +
Método del cambio de variable.
Ya se ha explicado cómo resolver integrales cuando el integrando es una combinación lineal de
funciones (casi inmediatas) o el producto de funciones (integración por partes). Otro caso a tratar es el
de una función integrando que resulte indirectamente de la composición de funciones diferenciables (y
por tanto integrables), es decir, el caso en el que el integrando es la diferencial de una función
compuesta de otras dos.
Esta operación de composición es la que está detrás de un cambio de variable. El objetivo es
resolver una integral no inmediata mediante un cambio de variable que transforme la integral original en
otra de más fácil resolución, bien porque sea inmediata, casi inmediata o porque permita aplicar
métodos específicos de integración o el método de integración por partes. El cambio de variable más
conveniente es el que simplifique la integral, pero es la intuición y la experiencia las que acortarán el
tiempo de búsqueda del cambio de variable más adecuado, pues en general no hay reglas fijas para
proponer cambios de variable, salvo en determinados tipos de integrales. Alguno de los cambios
recomendados se explica cuando se aborden los métodos específicos de integración descritos después.
Sea f :Df ⊆ R→Rcontinua en Df y sea a g :Dg ⊆ R→R una función de clase 1 en
su dominio. Si se cumple que g[ Dg ]⊆ Df, está garantizada la existencia de función compuesta
f[ g(t)]en D (^) g que será diferenciable (regla de la cadena). Si f es continua en D , por tratarse de unaf
función real de variable real, también es diferenciable en su dominio.
fog
f f
g D (^) g → D → R
f(x)⋅ dx= f[(x(t)]⋅dx(t)= f[(x(t)]⋅x'(t)⋅dx
La función x(t)=g(t) es la función de cambio de variable que se vaya a proponer de manera que
se verifiquen los supuestos que permitan resolver la integral y que debe admitir inversa, para una vez
obtenida la primitiva F[x(t)], poder deshacer el cambio de variable.
t D x(t) D f[x(t)] R
f f
g ∈ g → ∈ → ∈
Cálculo de primitivas
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Sustituyendo en la integral original se tiene la primitiva F[x(t)]:
ln|t| C t
dt dx cosx
senx tg x dx =− +
Deshaciendo el cambio de variable:
tg x⋅dx=−ln|t|+C=−ln|cosx|+C
Otras veces, el cambio de variable simplifica los pasos que se tendrían que dar con el uso del
método de integración por partes.
En otras ocasiones, hay cambios de variable recomendados para determinados tipos de
integrales, como se verá más tarde en el caso de integrales trigonométricas, irracionales, etc., que
transforman a la integral original en una integral racional y/o inmediata.
Así pues, en muchos casos se combinan distintos métodos de integración, tanto generales como
específicos, por lo que es necesario tener un conocimiento de todos ellos, así, como ya se ha visto, hay
integrales cuya solución puede obtenerse por distintos métodos.
MÉTODOS ESPECÍFICOS DE INTEGRACIÓN.
Integrales trigonométricas.
Se llaman así a todas las integrales en las que aparece alguna función trigonométrica, o bien,
cuando no aparece ninguna función, pero admite algún cambio de variable de tipo trigonométrico. Los
tipos principales son:
- El integrando es el producto de un seno (coseno) por un coseno (seno).
- El integrando contiene la función seno o coseno elevada a una potencia impar.
- El integrando contiene la función seno o coseno elevada al cuadrado.
- El integrando contiene la función seno y coseno elevadas a potencias pares.
- Cambio de variable general para integrales trigonométricas.
Se procede a detallar cada uno de los cinco tipos anteriores.
- El integrando es el producto de un seno (coseno) por un coseno (seno).
Se trata de integrales donde el integrando es el producto de una función seno o coseno de un
ángulo a, por otra función seno o coseno de otro ángulo b.
sen a⋅cosb⋅dx
; sen a⋅senb⋅dx
; cos a⋅cosb⋅dx
Tanto a como b son ángulos función de la variable x, es decir, serían a(x) y b(x) funciones reales
de la variable real x. Se resuelven estas integrales mediante las relaciones trigonométricas del seno y el
coseno de la suma o diferencia de dos ángulos, es decir, mediante las siguientes relaciones:
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cos(a b) cosa cosb sena sen b
cos(a b) cosa cosb sena senb
sen(a b) sena cosb cosa senb
sen(a b) sena cosb cosa senb
Se trata de hacer más fácil la función integrando, sustituyendo un producto por una suma de
funciones trigonométricas.
Ejemplos:
a) sen ( 3 x)⋅cos( 3 x)⋅dx
Se puede resolver mediante estas relaciones, en concreto, mediante la primera. Dado que los
dos ángulos son iguales, a = b, se tiene
sena cosa 2
sen( 2 a) sen( a+ a)=sena⋅cosa+cosa⋅sena⇒sen( 2 a)= 2 ⋅sena⋅cosa⇒ = ⋅.
Se sustituye en el integrando y se tiene
cos( 6 x) C 12
( 6 ) sen( 6 x) dx 6
sen( 6 x) dx 2
dx 2
sen( 6 x) sen( 3 x) cos( 3 x) dx
Para expresar la solución en función del ángulo original, 3x, se vuelven a utilizar las relaciones
anteriores, partiendo de que se tiene el coseno del ángulo doble, 6x y de que el coseno de 0 es 1:
cos( 6 x) cos 3 x sen 3 x cos 3 x sen 3 x 1 sen 3 x sen 3 x 1 2 sen 3 x
cos(a a) cosa cosa sena sena 1 cos a sen a cos a 1 sen a
cos(a a) cosa cosa sena sena cos( 2 a) cos a sen a
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
La solución quedará::
C
sen( 3 x)
12
sen( 3 x) C 6
sen( 3 x) C 12
[ 1 2 sen( 3 x)] C 12
cos( 6 x) C 12
sen( 3 x) cos( 3 x) dx
2 2 2
2
=− + ⋅ + = ⋅ + − = +^ ′
A este mismo resultado se llega si se hubiera analizado la integral previamente y detectado que
era casi inmediata, pues en el integrando se tiene una función (trigonométrica) elevada a una potencia
multiplicada por casi su derivada, C m 1 m 1
f(x) f(x) f'(x) dx
m 1 m
sen( 3 x) C 6
3 [sen( 3 x)] [cos( 3 x)]dx 3
sen ( 3 x) cos( 3 x) dx
1 2 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ +
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sen( 3 x/ 2 ) C 3
sen( 3 x) 6
sen( 3 x/ 2 ) C 3
sen( 3 x) 6
cos( 3 x/ 2 ) dx 2
3 cos( 3 x) dx 3
cos( 3 x/ 2 ) dx 2
cos( 3 x) dx 2
[cos( 3 x) cos( 3 x/ 2 )] dx 2
cos( 3 x/ 4 ) cos( 9 x/ 4 ) dx
3 x a b 4
6 x
4
9 x
4
3 x 3 x;a b 4
12 x
4
9 x
4
3 x a b 4
9 x ;b 4
3 x a
d)
sen( 8 x 5 )⋅ sen( 7 x 5 )⋅dx.
Mediante las expresiones del coseno de la suma y del coseno de la diferencia se puede llegar a
resolver esta integral:
cos(a b) cos(a b) 2 sena senb
cos(a b) cosa cosb sena senb
cos(a b) cosa cosb sena senb
De donde se obtiene:
cos(a b) cos(a b) sen a senb
Aplicado a la integral en particular que se quiere resolver, se tiene:
sen(x/ 5 ) C 2
sen( 3 x)
cos(x/ 5 ) dx 5
3 cos( 3 x) dx 3
cos(x/ 5 ) dx 2
cos( 3 x) dx 2
[cos( 3 x) cos(x/ 5 )] dx 2
sen( 8 x/ 5 ) sen( 7 x/ 5 ) dx
x
5
7 x
5
8 x 3 x;a b 5
15 x
5
8 x 7 x a b 5
7 x ;b 5
8 x a
- El integrando contiene la función seno o coseno elevada a potencia impar.
Se trata de integrales de este tipo:
sen (a) dx; cos(a) dx; n impar.
n n
El método recomendado para resolverlas consiste en el siguiente cambio de variable:
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Paracos(a) t sen(a )
Parasen(a) t cos(a).
n
n
Se trata de hacer más fácil la función integrando, sustituyendo la potencia (producto n veces)
por una integral en la que el integrando es un polinomio.
Ejemplos:
a)
cos x⋅ dx
3
Como el exponente es impar, se sugiere el cambio t = senx. Así se tiene:
2 2 2 2
2
Conestecambio,como cosx sen x 1 cosx 1 senx cosx 1 t
1 t
dt t senx x arcsent dx
Se aplica el cambio de variable y se resuelve la integral respecto a la nueva variable, sin olvidarse
de deshacer el cambio una vez obtenida la primitiva.
C
senx C senx 3
t dt t dt t
1 t dt ( 1 t ) dt 1 t
dt cos x dx 1 t
3 3 2
2
2 2 2
3 3 2
Se podía haber resuelto esta integral en particular de una manera más rápida sin usar ningún
cambio de variable, utilizando las propiedades de las integrales para descomponerla en suma de
integrales casi inmediatas:
C
senx senx
cos x dx cosx cos x dx cosx [ 1 senx] dx cosx dx cosx senx dx
3
3 2 2 2
b)
sen ( 5 x)⋅ dx
3 Como el exponente es impar, se sugiere el cambio t = cosx. Así se tiene:
5 1 t
dt dx 5
arccost t cos( 5 x) 5 x arccost x 2 −
Se aplica el cambio de variable y se resuelve la integral respecto a la nueva variable, sin olvidarse
de deshacer el cambio una vez obtenida la primitiva.
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sen( 38 x) C 76
x 38 cos( 38 x) dx 38
x 2
cos( 38 x) dx 2
dx 2
[ 1 cos( 38 x)] dx 2
dx 2
1 cos( 38 x) cos ( 19 x) dx
2
- El integrando contiene la función seno y coseno elevadas a potencias pares.
El cambio recomendado en integrales que contienen simultáneamente la función seno, sen x, y
coseno, cos x, elevados a potencias pares es el siguiente tg x = t.
dt 1 t
tg x t x arctgt dx 2
El seno y el coseno al cuadrado se pueden expresar en función de la tangente a partir de dividir
por seno al cuadrado o por coseno al cuadrado la siguiente relación trigonométrica:
sen x cos x 1
2 2
1 tg x
cos x cos x
tg x 1 cos x
cos x
cos x
cos x
senx
cos x
cos x
sen x cos x 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2
2 2
1 tg x
tgx senx senx
tgx
senx
senx
cos x 1 senx
senx
sen x cos x 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
Ejemplo:
⋅ dx cos x
senx 4
2
Atendiendo a las relaciones anteriores se puede expresar la integral original de la siguiente
manera:
tgx [tgx 1 ] dx
dx cos x
dx tgx cos x
dx tgx cos x
cos x
senx dx cos x
senx
2 2
2
2 2
2 2 2
2
4
2
Con el cambio de variable propuesto, sin olvidarse de deshacer el cambio una vez obtenida la
primitiva, se obtiene la solución:
C
tgx C 3
t t dt 1 t
dt dx tg x [tgx 1 ] dx t [t 1 ] cos x
sen x
3 3 2 2
2 2 2 2 4
2 = ⋅ = + = +
- Cambio de variable general para integrales trigonométricas.
El cambio general tg( x/ 2 )= t resuelve toda integral trigonométrica, pero tiene el
inconveniente de que conduce a procesos laboriosos si no es adecuado.
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2 1 t
2 dt tg( x/ 2 ) t arctgt x/ 2 x 2 arctgt dx
Las funciones seno y coseno de un ángulo pueden expresarse en función de la tangente de la
mitad de ese mismo ángulo de la siguiente manera:
x 1 tg
x 2 tg
x cos
x sen 2
x cos
x cos
x cos 2
x 2 sen
x sen 2
x cos
x cos 2
x 2 sen
x sen 2
sen x 2
2
2 2
2
2 2
x 1 tg
x 1 tg
x cos
x sen 2
x cos
x cos
x sen 2
x cos
x sen 2
x cos
x sen 2
x cos
x cos 2
cos x 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
Tras el cambio de variable, las funciones seno y coseno quedan así:
2
2
2 1 t
1 t ; cos[x(t)] 1 t
2 t sen [x(t)]
Ejemplo: Integral del autogiro de Juan de la Cierva.
∫ 1 + senx+cosx
dx
No es posible resolverla con el cambio recomendado para funciones coseno/seno elevadas a
exponentes impares, por lo que se sugiere el cambio general. Así se tiene:
2 1 t
2 dt tg( x/ 2 ) t arctgt x/ 2 x 2 arctgt dx
2
2
2 1 t
1 t ; cos[x(t)] 1 t
2 t sen [x(t)]
ln| 1 t| C ln| 1 tg(x/ 2 )| C
1 t
dt dt 2 2 t
dt 1 t 2 t 1 t
1 t
1 t
1 t
2 t 1
1 t
2 dt
1 senx cosx
dx 2 2
2
2
2
2
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dx 2 x x 3
x x 1 2
3
Como el polinomio numerador es de grado 3 (máxima potencia de x, exponente entero
positivo) es superior al del denominador, por lo que se procede a dividir los dos polinomios:
3 x
x
2
x
x 1 2
x 0
x x 2
x x
x x 1 | 2 x x 3
2
2
2 3
3 2
I ( 1 )
x 4
x
2
dx 2 x x 3
3 x 1
4
x 4
x
2
dx 2 x x 3
3 x 1
4
dx 4
dx 2
x dx 2 x x 3
3 x
x dx 2 x x 3
x x 1
2
2
2
2 2 2
3
Se resolverá a continuación la integral
= dx 2 x x 3
3 x 1 I 2 , que también es racional.
Se obtienen las raíces del polinomio denominador.
x q( x) 2 x x 3 2 x
2 2
Los polinomios q( x) 2 x x 3
2 = + − y (^)
x x
2 tienen las mismas raíces.
0 x 2
x q( x) 2 x x 3 2 x
2 2
−
Este polinomio denominador se puede expresar ahora así:
q( x) 2 x x 3 2 (x 1 ) x
2
La integral I ahora se puede resolver así:
Cálculo de primitivas
20 Pérez-Salamero, J. M.; Suso, J.; Ventura, M.
= dx
2 (x 1 ) x
3 x 1 dx 2 x x 3
3 x 1 I (^2)
El cociente integrando se puede expresar como suma de dos cocientes de la siguiente manera:
2 (x 1 ) x
A 2 (x 1 ) 2
A x
x
A
2 (x 1 )
A
2 (x 1 ) x
3 x 1
1 2 1 2
Dos cocientes con el mismo denominador son iguales si coincide también el numerador, por lo
que al igualar los dos polinomios numeradores se tendrá planteado un sistema de ecuaciones lineales
con dos incógnitas a resolver: A 1 ,A 2.
+ = 1 + 2 1 2 A 1 2 A 2
A 2 (x 1 ) (A 2 A )x 2
3 x 1 A x
Dos polinomios son iguales si los coeficientes que multiplican a las distintas potencias en ambos
polinomios coinciden.
A 0 A
A 2 A
3 (A 2 A )
1 1
1 2
1 2
Sustituyendo en la primera ecuación:
A
2 A 2 A 3
Sustituyendo en I, se tiene la solución:
ln| 2 x 3 | C 10
ln|x 1 | 10
2 x 3
2 dx
10
(x 1 )
dx
10
dx
x
dx 2 (x 1 )
dx
x
A
dx 2 (x 1 )
A
dx
2 (x 1 ) x
3 x 1 dx 2 x x 3
3 x 1 I 2 1 2
Sustituyendo I en la expresión inicial, se tiene la solución de la integral original:
