¡Descarga tipografias de cables y arcos y más Apuntes en PDF de Ingeniería Civil solo en Docsity!
Facultad de Arquitectura y Diseño julio 2011 Sistemas Estructurales 30
CABLESCABLESCABLESCABLES
Introducción
Los cables son uno de los tres elementos estructurales de forma activa
1
. Por ello, a continuación se
indica las propiedades del cable como elemento estructural sometido a tracción, con el propósito de indicar el
comportamiento que rige el elemento, así como las unidades adicionales requeridas para el diseño con
elementos tipo cable, asimismo se indica el procedimiento para estimar las dimensiones de la sección
transversal del cable requerido para el diseño arquitectónico.
Para distinguir las propiedades del cable primero se define el elemento donde se indica las ventajas,
comportamiento ante las cargas que se aplican, materiales empleados para la construcción, elementos
necesarios para garantizar la estabilidad del cable y los principales usos dados a esta unidad estructural.
Posteriormente se señala las ecuaciones y metodología necesaria para establecer las fuerzas que se generan
dentro del cable y así determinar las propiedades del cable necesario para cumplir con las necesidades del
proyecto.
Propiedades de los cables
Definición
Los cables son elementos flexibles debido a sus dimensiones transversales pequeñas en relación con la
longitud, por los cual su resistencia es solo a tracción dirigida a lo largo del cable. La carga de tracción se
divide por igual entre los hilos del cable, permitiendo que cada hilo quede sometido a la misma tensión
admisible. (Salvadori y Heller, 1998; Beer y Johnston, 1977)
Figura 1. Forma que toma el cable según la carga
Nota. De Estructuras para Arquitectos (p.71), por Salvadori, M. y Heller, R., 1998, Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski Publisher.
Comportamiento
Por su flexibilidad, los cables cambian su forma de acuerdo a las cargas a las que está sometida y
pueden dividirse en dos categorías:
(^1) Elementos que trabajan a tracción o compresión (los otros dos elementos estructurales son el arco y la
cercha).
Facultad de Arquitectura y Diseño julio 2011 Sistemas Estructurales 30
- Cables que soportan cargas concentradas. Forma de polígono funicular , esta es la forma natural requerida para que las cargas sean de tensión.
- Cables que sostienen cargas distribuidas. Para una carga distribuida horizontal adquiere la forma de una parábola y para el peso propio adquiere la forma denominada catenaria. (Beer y Johnston, 1977; Salvadori y Heller, 1963)
Ventajas
Los cables son una solución económica puesto que el área necesaria por tracción es menor a la
requerida por compresión; pero a pesar de la eficiencia y economía, los cables de acero no son soluciones
comúnmente empleadas en estructuras pequeñas, ya que el cable es inestable y este es uno de los requisitos
básicos para las estructuras.
Por otra parte, el esfuerzo de tensión de un cable es inversamente proporcional a la altura h. El
problema económico de un cable con una gran altura, es que esto implica una mayor longitud, pero reduce la
fuerza de tracción. (Marshall y Nelson, 1995; Salvadori y Heller, 1963).
Materiales
Debido a que los cables solo sostienen fuerzas de tracción, se hacen de acero.
Elementos
Un cable no constituye una estructura auto portante a menos de contar con medios y procedimientos
para absorber su empuje. En el proyecto de puentes colgantes, este resultado se logra canalizando sobre las
torres la tracción del cable y anclando estos últimos en tierra. Compresión en las torres, flexión en las
armaduras y corte en los bloques de anclaje. (Salvadori y Heller 1998).
Figura 2. Esquema de puente colgante y puente estabilizado por cables.
Nota. De Cable-stayed bridge, por Wikipedia, 2011, [En Red].
Usos
El puente colgante y el puente estabilizado por cables son las formas más usuales de observar sistemas
formados por cables (véase Figura 2), pero existen estadios en los cuales el elemento de soporte es un arco de
concreto armado y el techo esta formados por cables.
En la Figura 3 se observan disposiciones para techos de cables los cuales son una serie de sistemas
paralelos colgando desde el tope de columnas capaces de resistir la flexión y transmitir la carga a la
fundación, vigas o placas unen los cables paralelos. De forma similar se observa la disposición de forma
radial donde el rango de luz entre apoyos es de 80 a 500 m para la disposición paralela y 60 a 200 m de
diámetro para los orientados de forma radial (Engel, 2001; Salvadori y Heller, 1963).
Facultad de Arquitectura y Diseño julio 2011 Sistemas Estructurales 30
Cable parabólico
Llamando w la carga por unidad de longitud (medida horizontalmente). La curva formada por cables
cargados uniformemente a lo largo de la horizontal es una parábola, cuyas ecuaciones se indican a
continuación, según el esquema de la Figura 5 y 6.
y
wx TO 2
2 = (2)
2 2 max
L
T TO w (3)
Donde: TO ≡ Tensión mínima del cable en el punto más bajo, en la dirección horizontal (Véase Figura 5). Tmax ≡ Tensión máxima, en la dirección tangente a la curva del cable, en el punto más alto (véase Figura 6); w ≡ Carga horizontal uniformemente distribuida (véase Figura 6);
W wx T
wx y T
wx
O O
tan ;
2 θ (4)
Donde: θ ≡ Angulo de la tangente con el cable (véase Figura 5); x, y ≡ Coordenadas x e y medidas desde el origen en la parte más baja del cable (véase Figura 6).
Figura 5. Esquema del cable parabólico
Figura 6. Diagrama de cuerpo libre del cable parabólico
Catenaria
Cuando el peso del cable se vuelve importante, se realiza el análisis con la carga uniforme a lo largo
del cable. Se denomina wpp al peso del cable por unidad de longitud medido a lo largo del mismo, donde la
magnitud W de la carga total soportada por una porción de cable de longitud s medida desde el punto más
bajo a un punto a lo largo del cable es W = ws. Las ecuaciones para esta configuración se indican a
continuación según los esquemas de las Figuras 6 y 7 (Beer y Johnston, 1977; Das, Kassimali y Sami, 1999).
w
θ
Tmax
TO
θ
Tmax
TO
x
y
x/
y=h
W= w*L/
x=L/
W
Facultad de Arquitectura y Diseño julio 2011 Sistemas Estructurales 30
Figura 7. Esquema de catenaria
c
x s = c senh ; y = h + c ; h w
T
c pp
max (5)
Donde: s ≡ Longitud del arco del cable (véase Figura 8), wpp ≡ Peso propio del cable,
y , c, W y T se indican en la Figura 7 y 8.
Figura 8. Diagrama de cuerpo libre de la catenaria
Los pasos para determinar las tensiones de la forma catenaria son:
- Estimar Th0 , otorgando un valor a α que cumpla con la condición
w L T
pp
(^) h = y este
valor se toma como Th1 para el paso 1,
- Calcular α según la ecuación (^2) h 1
pp
T
w L
α = (véase Figura 9),
- determinar Th2 con el valor de α obtenido en el paso 1, según cosh 1
2 −
w h T
pp h ,
- obtener Th3 según Th (^) 3 = 2 T (^) h 1 − Th 2 ,
wpp
θ
Tmax
TO
x
y
c
X
Y
wpp
θ
Tmax
TO
s
W= wpp s
c
y
x
Facultad de Arquitectura y Diseño julio 2011 Sistemas Estructurales 30
La distancia horizontal del punto más bajo al alto es L/2 y se realiza ΣM en el punto B para obtener T 0.
∑ M (^) B = 0 ⇒ 18 T 0 − 500 * 25 * 12 , 5 = 0 ⇒ T 0 = 8681 kgf
Según la Ecuación 2 ; tenemos
T 8680 , 6 ( 500 * 25 ) T max 15218 , 5 kgf
2 2 max = + ⇒ =
El área requerida se determina al emplear la Ecuación 1 donde σult=14200 kgf/cm^2 de la Tabla para Torón
galvanizados de acero 3 , 22 14200
Areq = ⇒ Areq = cm^2
De la Tabla para Torón galvanizado de acero obtenemos que para el diámetro nominal de 3”; A=0,837 cm^2 y wpp=28,13 kgf/m
por lo tanto, n cables 3 , 8 0 , 837
= = se colocan 4 cables de 3” por lo que A=3,348 cm^2 y wpp=112,5 kgf/m.
Catenaria
Para el peso propio del cable, este toma la forma denominada catenaria, luego se aplica el método
indicado para esta configuración.
- Se estima Th0 según un valor la condición (^) α= 1 ,
0 =^ ⇒ h 0 = ⇒ h 0 =
pp h T T
w L T α
;
- Se calcula α según la ecuación indicada si Th1 =2557,3 (^1) , 1 2 * 2557 , 3
112 , 5 * 50
(^2 )
α = ⇒α= ⇒ α = h
pp
T
w L
- Se determina Th2 con el valor de α anterior según
cosh 1 , 1 1
cosh 1
= (^) h h
pp h T T
w h T α
;
- Se obtiene Th3 según Th (^) 3 = 2 T (^) h 1 − Th 2 ⇒ Th 3 = 2 * 2557 , 3 − 3029 , 6 ⇒ Th 3 = 2084 , 9 ;
- Se iguala Th1 = Th3 ; es decir Th1= 2084,9 y se vuelve al paso 2 hasta que Th (^) 3 ≈ Th 1.
La siguiente Tabla indica los valores que se obtienen de repetir los pasos 2 al 5. Iteración Th1 α Th2 Th 3 1 2557,27 1,1 3029,62 2084, 2 2084,92 1,34921164 1916,29 2253, 3 2253,55 1,24825347 2286,92 2220, 4 2220,18 1,26701420 2211,20 2229, 5 2229,16 1,26191163 2231,46 2226, 6 2226,86 1,26321516 2226,26 2227, 7 2227,45 1,26287632 2227,61 2227, 8 2227,30 1,26296401 2227,26 2227, 9 2227,34 1,26294129 2227,35 2227, 10 2227,33 1,26294718 2227,33 2227,
El procedimiento se repitió 10 veces hasta que Th = 2227 kgf luego con α=1,26294718 se determina Tmax según
T max = Th cosh α ⇒ T max= 2227 , 3 cosh ( 1 , 26294718 ) ⇒ T max= 4253 kgf
2 2 T max (^) = TO + wx
ult
req
T
A
=^3 max
Facultad de Arquitectura y Diseño julio 2011 Sistemas Estructurales 30
Comprobación del cable
Con los resultados obtenidos se comprueba que el diseño es capaz de resistir las cargas asignadas
(carga horizontal más peso propio del cable).
Tmax parabolico =15218 kgf ; Tmax catenaria =4253 kgf;
T (^) max =T max parabolico +T max catenaria ⇒ T max = 15218 + 4253 = 19471 kgf ;
max 19471 trabajo =^ ⇒ trabajo = ⇒ trabajo = A
T
σ σ σ
Debido a que el esfuerzo de trabajo es menor al esfuerzo del cable (5815,8 kgf/cm^2 <14200 kgf/cm^2 ),
la solución de 4 cables de 3” es la adecuada.
Longitud del cable
La longitud necesaria de cable se determina según la Ecuación 5.
Tmax catenaria =4253 kgf; wpp = 112,5 kgf/m; tenemos que c es
h c c m w
T
c pp
max 4253 = − ⇒ = − ⇒ =
s s m c
x s c 32 , 19 19 , 8
senh 19 , 8 *senh ⇒ =
Dado que s es la mitad del cable, la longitud total del cable es L=2s ⇒ L=2*32,19 ⇒ L=64,38 m
Referencias
Beer, F. y Johnston, E. R. (1977). Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I). Bogotá,
Colombia: McGraw-Hill Latinoamenricana S.A.
Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica para Ingenieros. Estática. México D.F., México:
Editorial Limusa S.A. de C.V.
Engel, H. (2001). Sistemas de Estructuras. Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A
Marshall, W. y Nelson, H. (1995). Estructuras. México D.F., México: Alfaomega Grupo Editor, S.A.
de C.V.
Salvadori, M. y Heller, R. (1963). Structure in Architecture. s/d: Prentice-Hall.
Salvadori, M. y Heller, R. (1998). Estructuras para Arquitectos. Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski
Publisher.
Segui, W. (2000). Diseño de estructuras de acero con LRFD. México D.F., México: Internacional
Thomson Editores, S.A. de C.V.
Suspension Bridge Technical Data (s/f). Suspension Bridge Technical Data [En Red]. Recuperado 9 de
marzo, 2004. Disponible en: http://www.inventionfactory.com.
Wikipedia (2011, 20 de junio). Cable-Stayed Bridge [En Red]. Recuperado 12 de julio, 2011.
Disponible en http://en.wikipedia.org/wiki/Cable-stayed_bridge.
