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FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL
ASIGNATURA: INVESTIGACION OPERACIONES
PROFESOR: ING. JORGE CÁCERES TRIGOSO
PRACTICA DIRIGIDA N° 1
FORMULACION DE PROBLEMAS COMO MODELOS DE
PROGRAMACION LINEAL
PROBLEMA N° 01
Cierto fabricante produce dos artículos, A y B , para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje y sección de pintura. El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B , tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura. La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 20 euros. Calcular la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio. **_SOLUCION
- Definición de las variables de decisión: X1= Cantidad de artículos de tipo A X2= Cantidad de artículos de tipo B
- Función Objetivo: Maximizar Z = 20X1 + 40 X2 ……………..( Euros)
- Sujeto a las restricciones: Artículos Sección Montaje Sección Pintura Beneficio A: X1 1 hr 2 hr 20 euros B: X2 3 hr 1 hr 40 euros Disponibilidad de tiempo 9 hr 8 hr_**
**_R1: Restricción de sección Montaje: X1 + 3X2 <= 9 ……..HORAS R2: Restricción de sección Pintura: 2x1 + x2 <= 8 ………HORAS
- Condición de No Negatividad Xi >= 0 , ( i= 1,2)_** PROBLEMA N° 02 Una línea de transporte Lima-Trujillo, ofrece plazas para fumadores al precio de 150 soles y a no fumadores al precio de 100 soles. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 60 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio? SOLUCION:
- Variable de decisión: X1= Cantidad de plazas para fumadores X2= Cantidad de plazas para No fumadores
- Función Objetivo: Maximizar Z= 150 X1 + 100 X2 ………….(SOLES)
- Sujeto a las siguientes restricciones PLAZAS N° plazas Equipaje en Kg. Precio de Venta Fumador: X1 1 20 kg 150 soles No Fumador: X2 1 50 kg 100 soles Disponibilidad 60 plazas 3000 kg R1: Restricción x el N° plazas: X1 + X2 <= 60 ………….(PLAZAS) R2: Restricción del peso de equipaje: 20 X1 + 50 X2 <= 3000 ------(Kg).
- Condición de No Negatividad: X1 >= 0 ; x2>= 0. PROBLEMA N° 03 A una persona le tocan 10 millones de soles en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo? PROBLEMA N° 04 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 céntimos de dólar por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 céntimos de dólar por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos
de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 mil dólares. .y de 3 mil dólares por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias? PROBLEMA N° 11 Una compañía produce dos tipos de sombreros “COWBOY”. Cada sombrero del tipo 1 requiere el doble de tiempo en mano de obra que el segundo tipo. Si todos los sombreros son del tipo 2, la compañía puede producir un total de 500 sombreros al día. El mercado limita las ventas diarias del tipo 1 y 2 a 150 y 250 sombreros respectivamente. Suponga que los beneficios por cada sombrero son de $ 8 para el de tipo 1 y de $ 5 para el de tipo 2. Determine el número de sombreros a ser producidos de cada tipo para maximizar el beneficio. PROBLEMA 12 El taller de José se especializa en cambios de aceite del motor y regulación del sistema eléctrico. El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 por regulación. José tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza 30 cambios de aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajo y $ de insumos. Una regulación toma una hora de trabajo y gasta $15 en insumos. José paga a los mecánicos $10 por hora de trabajo y emplea actualmente a dos de ellos, cada uno de los cuales labora 40 horas por semana. Las compras de insumos alcanzan un valor de $1.750 semanales. José desea maximizar el beneficio total. Formule el problema como un modelo de programación lineal. PROBLEMA N° 13 Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 libras. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y se compran en lotes de 200 libras. Los tamaños 1,2, y 3 cuestan respectivamente $ 20, $ 80 y $ 12. Además: a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1.6 libras c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos 10% del paquete total d) Cuál será la composición del paquete que ocasionará el costo mínimo. PROBLEMA N° 14 Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustibles: A y B. El combustible A tiene 25% de gasolina de grado 1, 25% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. El combustible B tiene 50% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. Disponible para producción hay 500 gal/ hr de grado 1 y 200 gal/ hr. De los de grado 2 y 3. Los costos son de 30 ctvs. ( $ 0.30) por galón de grado 1, $ 0.60 por galón de grado 2 y $ 0.50 de grado 3. La clase A puede venderse a $ 0.75 por galón, mientras que la clase B alcanza $ 0.90 / galón. ¿ Qué cantidad puede producirse de cada combustible?. PROBLEMA N° 15 El propietario del rancho Litle Dixie está realizando ensayos para determinar la mezcla correcta de dos clases de alimentos. Ambos contienen diversos porcentajes de 4 ingredientes esenciales. ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo? Ingredientes % por Lb. De alimento Requerimientos mínimos (libras) Alimento 1 Alimento 2 1 2 3 4
Costo ( $ / Lib) 0.5 0.
SOLUCION:
Sean: X1 = Cantidad de Libras del alimento 1 X2= Cantidad de Libras del alimento 2
- FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR Z= 0.5 X1 + 0.3 X2 ……………….( DOLARES)
- SUJETO A LAS RESTRICCIONES: R1: Respecto al Ingrediente 1: 0.4 X1 + 0.2 X2 >= 4 ………..(Libras) R2: Respecto al Ingrediente 2: 0.1 X1 + 0.3 X2 >= 2 …………(Libras) R3: Respecto al Ingrediente 3: 0.2 X1 + 0.4 X2 >= 3 …………(Libras) R4: Respecto al Ingrediente 4: 0.3 X1 + 0.1 X2 >= 6 ………….(Libras).
- CONDICION DE NO NEGATIVIDAD X1>= 0 ; X2>= 0. PROBLEMA N° 16 Un agente vendedor distribuye dos productos y no espera vender más de 10 unidades / mes del producto 1 ó 39 unidades / mes del producto 2. Para evitar una multa debe vender al menos 24 unidades del producto. Recibe una comisión de 10% sobre todas las ventas y debe pagar sus propios gastos, que se estiman en $ 1.50 por hora gastada en hacer visitas. Trabaja sólo una parte del tiempo hasta un máximo de 80 horas / mes. El producto 1 se vende en $ 150 por unidad y requiere un promedio de 1.5 horas por cada visita; la probabilidad de hacer una venta es 0.5. El producto 2 se vende en $ 70 por unidad y requiere un promedio de 30 minutos por cada visita; la probabilidad de hacer una venta es 0.6. ¿ Cuántas visitas mensuales debe hacer a los clientes de cada producto? PROBLEMA N° 17 Una compañía de transporte de carga tiene 10 camiones con capacidad de 40,000 lbs y 5 camiones de 30,000 lbs. de capacidad. Los camiones grandes tienen costos de operación de $ 0.30 / mil y los más pequeños de $ 0,25 / mil. La próxima semana, la compañía debe transportar 400,000 lbs., de malta para un recorrido de 800 millas. La posibilidad de otros compromisos impone que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. Se pregunta: ¿ Cuál es el número óptimo de camiones de ambas clases que deben movilizarse para transportar la malta?. (ignorar el que la respuesta deba darse en números enteros?. PROBLEMA N° 18. Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T 1 y T 2 , para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T 1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T 2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de C. a. Si se venden las tartas T 1 a 1.000 u.m. la unidad y las T 2 a 2.300 u.m.. ¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos? b. Si se fija el precio de una tarta del tipo T 1 en 1.500 u.m.. ¿Cuál será el precio de una tarta del tipo T 2 si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T 1 y 15 del tipo T 2? PROBLEMA N° 19
Proteína Vitaminas
Costo © 21 18 15 Formúlese el modelo de programación lineal para este problema PROBLEMA N° 24 Un fabricante de automóviles tiene un contrato para exportar 400 automóviles de modelo A y 500 del modelo B. El automóvil modelo A ocupa un volumen de 12 metros cúbicos, y el modelo B ocupa un volumen de 15 metros cúbicos. Se dispone de tres barcos para transportar los automóviles. Estos llegarán al puerto de destino, a principios de enero, mediados de febrero y fines de marzo, respectivamente. El primer barco sólo transporta automóviles modelo a a un costo de $ 450 por automóvil. El segundo y tercer barco transportan ambos modelos a un costo de $ 35 y $ 40 por metro cúbico respectivamente. El primer barco sólo puede acomodar 200 automóviles y el segundo y el tercer barco tienen disponibles volúmenes de 4500 y 6000 metros cúbicos. Si el fabricante se ha comprometido a entregar al menos 250 del modelo A y 200 del modelo B para mediados de febrero , y el resto para fines de marzo, ¿ cuál es el diagrama de embarques para minimizar el costo total. Formule el problema como un modelo lineal. PROBLEMA N° 25 Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades Ay B al principio de cada uno de los próximos años (llámense años 1 a 5). Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año retribuye $ 1,40 (una ganancia de $0,40) dos años después (a tiempo para la reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, tres años después. Además, las actividades C y D estarán disponibles para inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. Cada dólar invertido en D al principio del año 5 retribuye $1. al final de ese año. El inversionista tiene $60 000 para iniciar y desea saber cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada al principio del año 6. Formule el modelo de programación lineal para este problema. PROBLEMA N° 26 Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la demanda eléctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40 millones de [kWh] respectivamente. El valor máximo de consumo ocurre a las 2 PM y es de 45, 20, 30 y 30 millones de [kWh] en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El costo de enviar 1 [kWh] depende de la distancia que deba recorrer la energ³a. La siguiente tabla muestra los costos de env³o unitario desde cada planta a cada ciudad. Formule un modelo de programación lineal que permita minimizar los costos de satisfacción de la demanda máxima en todas las ciudades. Desde Hasta Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta (Millones Kwh) Planta 1 8 6 10 9 35 Planta 2 9 12 13 7 50 Planta 3 14 9 16 5 40 Demanda (millones de Kwh)
PROBLEMA N° 27
Cierta compañía tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Por fortuna, la corporación tiene un nuevo producto listo para producción y las tres plantas pueden fabricarlo, así que se podrá usar parte de este exceso de capacidad. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico; y darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias de este producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo producto. Se cuenta con 13 000, 12 000 y 5000 pies cuadrados de espacio correspondiente a las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de mercado indican que, si se dispone de ellas, se pueden vender 900, 1200 y 750 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grande, mediano y chico. El gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. Formule un modelo de programación lineal para este problema. PROBLEMA N° 28 Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos, respectivamente; y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B. Calcula los kilos de A y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 2 euros y uno de B 10 euros. ¿Puede eliminarse alguna restricción?
