Club de Matem´
atica EPN
Curso Vacacional de Topolog
´
ıa General
Instructor: Carlos Ajila
Ejercicios - Semana 3
Los ejercicios marcados con una estrella (*) son altamente recomendados. Los ejercicios
marcados con dos estrellas (**) son obligatorios (ser´an usados libremente a lo largo del curso).
1. Conexidad
1 Sea Xun conjunto infinito equipado con la topolog´ıa cofinita. Determine si Xes conexo.
2 Sea Xun conjunto no numerable equipado con la topolog´ıa conumerable. Determine si Xes
conexo.
3* Sea {Xn}n∈Nuna familia numerable de subespacios conexos de un espacio topol´ogico X.
Suponga que Xn∩Xn+1 6=∅para todo n∈N. Demuestre que Sn∈NXnes conexo.
4* Sea {Xi}una familia de subespacios conexos de un espacio topol´ogico. Suponga que existe
i0∈Ital que Xi∩Xi06=∅para todo i∈I. Pruebe que Si∈IUies conexo.
5 Sean XyYespacios topol´ogicos no vac´ıos. Pruebe que X`Ysiempre es disconexo.
6* Sean XyYespacios topol´ogicos y sean x0∈X,y0∈Y. Sobre X`Ydefinimos la
siguiente relaci´on de equivalencia: a∼bsi y s´olo si a=bo{a,b}={x0, y0}. El espacio cociente
X∨Y= (X`Y)/∼se llama la suma en un punto de XyY.
(a) Pruebe que las funciones iX:X→X∨YyiY:Y→X∨Ydefinidas por
iX(x)=[x] y iY(y)=[y]
son incrustaciones topol´ogicas (es decir, iX:X→iX(X) y iY:Y→iY(Y) son homeo-
morfismos).
(b) Pruebe que X∨Y=iX(X)∪iY(Y).
(c) Pruebe que si XyYson conexos, entonces lo es X∨Y.
7* Un espacio topol´ogico Xse dice totalmente disconexo si sus ´unicos subespacios conexos
son los puntos. Pruebe que si Xes discreto, entonces Xes totalmente disconexo. ¿Es cierto el
rec´ıproco?
8** Sea p:X→Yuna aplicaci´on cociente. Suponga que Yes conexo y que para todo y∈Y
la fibra p−1(y) es conexo. Pruebe que Xes conexo.
9** Suponga que Yes un subespacio topol´ogico de Xy que XyYson conexos. Sea (A, B)
una separaci´on de X−Y. Pruebe que Y∪AyY∪Bson conexos.
[Nota: Este ejercicio no es imposible, pero requiere concentraci´on.]
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