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T PROBLEMAS ESTATICAMENTE (^) INDETERMINADOS. Frecuentemente. se presenta este
de problemas^ en el caso de cargas de torsión. Un ejemplo es un árbol compuesto de dos materiales;
tubo de un material que^ rodea a otro tubo o a una barra maciza de material distinto, estando some-
el conjunto a un momento torsor. Como siempre, las ecuaciones de la estática aplicables han de suplementadas con otras basadas (^) en las deformaciones de la estructura, para tener igual (^) número
ellas que de incógnitas. En este caso, las incógnitas serían los momentos torsores que soporta cada
La ecuación basada en las deformaciones establecería que los ángulos de giro de los distintos
son iguales. (Véanse los Problemas (^) 15-17.)
PROBLEMAS RESUELTOS
Deducir una expresión del momento polar de inercia de la sección de
un árbol circular hueco. (^) ¿En qué se convierte esta expresión en (^) el caso
particular de un eje circular macizo?
Sea D" el diámetro exterior del árbol y D¡ el interior. A causa de la simetría circular es preferible utilizar coordenadas polares, como en la
6gura. Por definición, el momento polar^ de inercia está dado por la integral Io:lop2da donde I indica que hay que calcular la integral sobre toda la (^) sección. Para calcular esta integral es mejor elegir un elemento de superficie,
dr, tal que p sea constante en todos los puntos del mismo. Una elección
apropiada es el anillo elemental de radio p y espesor radial dp. Se supone que el espesor dp del anillo es pequeño (^) comparado con p. El área del elemento anular está dada por da : (^) 2np (dp). por lo que el momento polar (^) de inercia (^) es
Las unidades son, evidentemente, (longitud)4, esto es, cma. No es necesario intentar atribuir ningún signi-
ficado fisico a esta cantidad, 1o. Se verá que es útil en los problemas que tratan de la torsión de árboles. Para el caso particular de un árbol circular macizo, la expresión anterior se convierte en
lt Io: iD" donde D representa el diámetro del árbol. Deducir una expresión de la relación (^) entre el momento torsor apli- cado (^) a un árbol de sección circular y la tensión cortante en un
punto cualquiera del mismo.
En la figura se ha representado el (^) árbol cargado por (^) dos pa-
res ?n y, por consiguiente, en equilibrio estático. Para determinar
la distribución de tensiones cortantes, cortemos el árbol por un plano perpendicular a su eje geométrico, y supongamos que este
53
,, :^
I,':,':,' p' (2np) (^) dp : (^) 2nP;)',,:,',' : $o; -^ o¡¡
plano no está «demasiado cerca» de ningún extremo, donde están aplicados los esfuerzos 7. El empleo de ese pla- no (^) está de acuerdo con el método usado normalmente en resistencia de materiales, que consiste en cortar el cuerpo de modo que las fuerzas a estudiar resulten exteriores al nuevo que^ se forma. Estas fuerzas (o^ tensiones) eran, na-
turalmente, efectos intemos respecto al cuerpo original, no^ cortado.
El esquema de cuerpo en libertad de la parte del árbol
situada a la izquierda del plano^ aparece como se muestra
en la flgura adjunta. Indudablemente, debe actuar un par
I sobre la sección cortada por el plano ya que por estar todo el árbol en equilibrio debe estarlo cualquier parte^ de
é1. El par T que actúa en la sección del corte representa el
efecto de la parte derecha del árbol sobre la izquierda, pues al suprimir dicha parte^ derecha hay que^ sustituirla por^ su efecto sobre el resto. Este par^ es, indudablemente, la^ re- sultante de las tensiones cortantes repartidas en^ la^ sección.^ Ahora^ es^ necesario hacer ciertas^ hipótesis para^ deter-
minar su distribución.
Una hipótesis fundamental es que una sección plana del árbol normal a su eje antes de^ aplicar^ las cargas^ si- gue siendo plana y normal al eje después de aplicarlas. Para los árboles circulares puede comprobarse experimen-
talmente, pero no es válida para las secciones no circulares.
Una generatriz de la superficie del árbol, como la O rA de la figu-
ra que se acompaña, se deforma hasta tomar la configuraciót OrB
cuando se produce^ la torsión. El^ ángulo entre las dos posiciones^ se
representa por c. Por definición, la deformación unitaria por cortante
y en la superficie del árbol es
i:lge=t
estando medido el ángulo a en radianes. Por geometria. de la figura
se deduce que
de donde
Y como se supone que un diámetro del árbol antes de aplicar la carga sigue siendo un diámetro cuando se^ pro-
duce la torsión, la deformación unitaria de torsión a una distancia p^ del^ centro^ del árbol^ será
p tp - (^) L
Por consiguiente, las deformaciones por cortante de las fibras longitudinales varian linealmente con las distan-
cias al centro del árbol.
Si suponemos que^ consideramos solamente la zona de comportamiento
lineal del material en que la tensión cortante es proporcional (^) a la deformación. es evidente que las tensiones cortantes de las fibras longitudinales varían lineal-
mente con las distancias al eje del árbol. Indudablemente, esta distribución
es simétrica resp€cto a ese eje. El aspecto es (^) el que (^) aparece en la figura adjunta.
Para que haya equilibrio, la suma de los momentos de esas fuerzas cortantes
repartidas sobre toda la sección circular es igual al momento torsor aplicado. También, la suma de los momentos de esas fuerzas (^) es igual (^) al par (^) I represen- tado en la Figura (á).
( .'ü
(b)
(c)
r ,L
AB r LL
D
i. k F
T
L
Así, pues,^ tenemos 7 :^ ![rp da^ (d)
Si se aplica un momento torsor de 10.000 kg-cm sobre un árbol de 45 mm (^) de diámetro, (^) ¿cuál es la tensión cor- tante máxima producida? ¿Cuál es el ángulo de giro en una longitud de árbol de 1,20 m? El material es acero. para (^) el cual G :^ 8,4 x lOs kg/cm2.
Por el Problema 1, sabemos que^ el momento polar^ de la sección es
n (^) +:L43tn:4o.2cma Io: ¡(D"l' 12
En el Problema 2 se vio que la (^) tensión cortante por (^) torsión r a la distancia p (^) del centro del árbol era: (t)r: (^) Tplln La tensión cortante máxima se produce en las fibras exte- riores, y^ como en ellas p^ :^ 2,25 cm, tenemos
(r)" :^
loory9'25): 560 ks/cm 40,
Por tanto, la tensión cortante varía linealmente desde cero en el centro
del árbol a 560 kg/cm2 en las fibras extremas, como se muestra en la
figura.
El ángulo de giro 0 en una longitud de 1,20 m es
TL 10.0001120) GJ 8,4 x l0'(40.2)
- Para unir los extremos de dos ejes se usa frecuentemente un acoplamiento del tipo representado en la figura. Las dos partes están unidas entre si por^ medio de seis pernos de 20 mm de diámetro. Si el eje macizo transmite 65 CV
a 250 rpm, determinar el cortante medio en los pernos.
El par^ transmitido es a-
71'600 x (^) CV
7l'qq0]65):
18.600 kg+m. La fuerza tangencial que actúa a
5 cm del centro del árbol para au. Jig., "
.*. (^) O?es de 18.600/ 5:3.720 ke.
Por tanto, la tensión cortante media en cada perno ",
, :^
3'720 (^) : 197 kglcm|. Se ha supuesto que el 6 x!of 4
radio de los pernos es pequeño comparado con el del círculo en que están situados.
Obsérvese que^ esta tensión cortante media es la que aparecía en el Capítulo 4 y que en este problema no in-
terviene la tensión cortante torsional.
Considerar un árbol circular macizo y otro hueco cuyo diámetro interior es los 3/4 del exterior. Comparar los pe- sos de igual longitud de estos árboles, necesarios para (^) transmitir una carga torsional dada, si son iguales las ten- siones cortantes producidas^ en ambos.
l0 cm
I I _]-
E¡¡
-l
Cil§
É
T
=iD,-t-
t
f+- 560 kg/cm'z^ --l
Para el árbol macizo, de diámetro 4 la tensión cortante está dada por^ (z),^ :^ Tpllo. El valor máximo de esa tensión se produce en las fibras extremas, en las que p :^ dl2. Por tanto, (r)-.*: t6T ;a,6sqF T (^) nd m:
T
(z)-", l-^ T(d/21^ t6T (r,fmu-GB2W-A Para el árbol hueco de diámetro D la tensión cortante m¿lxima tiene lugar también en las flbras extremas don- o :^ Dl2,^ por^ lo^ que r@p) n(0,684)D $to'- épn Pero la relación Tl(r)^* es constante para^ los dos árboles, por^ lo cual 0,684D3 :^ d3, de donde D :^ l,l35d. Relación de^.^ pesosD' -^ (ZOh)': :-A-^ 0,4375D2 0,4375(t,t35dY^ :^ 0,563.^^ __. 16
,t .-
v Así, pues,^ el árbol hueco pesa^ solo el 56,3 (^) f del peso^ del macizo,^ lo^ que^ demuestra^ la^ ventaja de^ un^ árbol
sobre uno macizo
f,o árbol hueco de acero de 3 m de longitud debe transmitir un par^ de 250.000 kg-cm. El ángulo de torsión en a^ (^) longitud no debe exceder de 2,5" y la tensión cortante admisible es de 850 kglcmz. Determinar los diámetros rncrior e^ interíor^ del árbol si^ G^ :^ 8,5^ x^ 10s kg/cm2.
Sean d" y d, los diámetros exterior e interior del árbol, respectivamente. Por^ el Problema 3,^ sabemos^ que^ el
-gulo 0 está^ dado^ por^0 :^ TLlGIp,^ estando^0 expresado^ en^ radianes.^ Por^ consiguiente,^ en^ los 3^ m^ de longitud EEInOS 250.000(300) de donde (^) ú - d?: 20. ura. (^) Las
e65CV
lo tn-
rs (^) Pe- i (^) ten'- 8,5x105"sW-arl La tensión cortante máxima tiene^ lugar^ en las fibras extefiores para las^ cuales^ p^ = d"12.^ Por^ tanto, 250.000u^12\
#<ot -^ o:' 1 rad 2,5 grados , sz¡ g*¿ : T(d"12) #'o: -^ o:'
y d:-t:1.4e8d"
Así, pues,^ 1.498d":20.600 y d":13,75 cm.^ Sustituyendo,^ d¡: ll,l^ crn. Considerar un tubo de pared delgada sometido a torsión. Deducir una expresión^ aproximada del momento torsor
'+rnisible si el^ esfuerzo^ de trabajo^ en^ cortante^ es^ una^ constante^ dada^ c,.^ Deducir^ también una^ expresión^ aproxi-
nada para la relación resistencia-peso de ese tubo. Se supone que el tubo no pandea.
El momento polar de inercia de un árbol circular hueco de diámetro exterior D. e interior D¡ es Io : |Ot -^ D,l). Si^ R^ representa^ el^ radio^ exterior^ del^ tubo,^ D":2R,^ y^ si^ t^ es^ el^ espesor,^ D¡:2R^ - 2t.
El momento polar de inercia .Io puede escribirse también en la forma
r,:+{QR)n (^) - (2R^ - a)4}:ito- (^) - (.R^ - 0:;{4n3r (^) - 6R2t2 + 4Rt3 (^) - f} : i*1+p¡n¡ -^ 6(tlR)2 + 4(tlR)3^ - (tlR)o\
un tub nos llev¡ I la sec- se trans- ando a torsión lemen- Tdxy
ü1.
Para (^) un árbol macizo de radio uniforme l,la, 0, (^) = 59 TL I,366O2TL
-: --G"¡-'
G: (l.la)*
2 Tanto por ciento de error : H# x 100 : (^) 2,73 %.
l-a árbol circular macizo tiene un diámetro uniforme de 5 cm y una longitud de 3 m. En su punto medio se le
tnnsmiten 65 CV por medio de una correa que pasa por (^) una polea. Esta potencia se usa para (^) mover dos máqui- Es" una en el extremo izquierdo del árbol que consume 25 CY y otra (^) en el derecho, que consume los 40 (^) CV res- trntes. Determinar la tensión (^) cortante máxima en el árbol y el ángulo de torsión relativo entre sus dos extremos. I¡ velocidad de giro (^) es de 200 rpm y (^) el material es acero para el cual G : (^) 8,4 x (^) los kg/cm2. En Ia mitad izquierda del árbol tenemos 25 CY, que (^) corresponden a un par T, dado por 71.600 x (^) CV 71.600(600125) 7-r: n
:8.950kg-cm
flel mismo modo, en el lado derecho tenemos (^40) CV, correspondientes a un par T, dado por ". I, :_^ 71.600140) Zm---: : (^) 14.320 kg-cm Por consiguiente, la tensión cortante máxima tiene lugar en las fibras exteriores de la mitad derecha y viene dada por la fórmula ordinaria de la torsión To k)o: * lp 8.950(r50) 14.320Q.s
LrsY 32' ', El ángulo de torsión del extremo izquierdo con relación al centro (^) es 0, : El ángulo de torsión del extremo derecho con relación al centro es 0r:
cn la misma dirección que 0r.
8.4' x to5at5) 32' 14.320(150) r,+ x ro ,| {s) :0,0260 (^) rad. : (^) 0,0417 (^) rad. El ángulo (^) de torsión relativo entre los dos extremos (^) del árbol es 0 : (^) 0z (^) - 0t : (^) O,Mll radianes. -^ 0,0260^ :^ ó,
Considerar los dos árboles macizos circulares
conectados por^ las ruedas dentadas de diámetros 5 cm y 25 cm; Se supone que los árboles están so- portados en sus apoyos de modo que no sufren
0exión. Hallar el giro del extremo derecho D de
uno de los árboles, con respecto al extremo iz- quierdo ,{ del otro, producido por el par de 2.
kg-cm aplicado en D. El árbol de la izquierda es de acero, para el cual G :^ 8,4 x (^105) kg/cm2 y d de la derecha bronce con G :^ 3,5 x 10s kg/cm2. Un esquema (^) de cuerpo en libertad del árbol
derecho revela que debe actuar sobre la rueda
dentada pequeña (^) una fuerza tangencial (^) fl como
sc indica en la figura. Para que haya equilibrio
f :2.sN12,5:^ 1.000 ks.
DIAMETRO
PRIMITIVO. 5 (^) cm
DIAMETRO
RIMITIVO D
2.500 kg-cm
El ángulo de torsión del árbol derecho está dado por 0, :^
TL 2.s00(90) : 0,0808 rad. GI' 3.5 ' x los a^ (3r 32'.
En la figura adjunta se muestra un es- quema de cuerpo en libertad del árbol iz-
quierdo. La fuerza lc es igual y opuesta a
la que actúa en la rueda dentada peque-
ña C. Está aplicada a 12,5 cm del eje del
árbol AB, por lo que le transmite un par
de 12,5(1.000) :^ 12.500 kg-cm.^ A^ causa de este par hay un giro^ del extremo^ -B con
respecto al A dado por el ángulo 0r, donde
12.500 kg-cm
I
0z:
12.500(120) (^) :
0,0140 rad f':1.000^ kg
8.4'32 x losa
Es importante observar que este ángulo de giro^ 0, induce un giro^ de cuerpo rígido de todo el árbol CD por
causa de las ruedas dentadas. El grro de CD estará en^ la^ misma^ relación^ respecto^ al^ de^ AB^ que^ los diámetros,^ o
sea,25 : 5 o 5 : 1. Por tanto, en el árbol CD se produce un giro de 5(0,0140) rad. Sobre este giro como cuerpo rígido
de CD se superpone el desplazamiento angular de D respecto a C representado antes por^ 0r. Por tanto, el ángulo de torsión resultante de D respecto a A es 0: 5(0,0140) + 0,0808 :^ 0,151 rad.
- El árbol compuesto representado es de acero para el cual G: 8,4 x 10s kg/cm2. Se despreciará la concentración de^ tensiones producida
por el cambio brusco de sección.
En el extremo inferior, el árbol está sometido a un par de 50. kg-cm en el sentido indicado, y^ en la unión a otro par^ de 80.000 kg-cm
en sentido opuesto al primero. Determinar la tensión cortante máxima
en cada parte del árbol y los ángulos de torsión en B y en C.
El par que actúa en la zona.BC es. indudablemente, de 50.000 kg-cm. En la parte AB es de 50.000 (^) - 80.000 :^ - 30.000 kg-cm, esto es, de
dirección opuesta al de .BC.
La tensión cortante en cada zona está dada por la fórmula (r, : :'^ To^
por lo que en las fibras extremas de cada uno de esos árbo-
Ie les tenemos
t
t
I I
30.000(5)
a (^) rtoio
50.000(3-75)
L (^) o.stn 72
El ángulo de torsión en .B es 0, :^
radianes (en sentido de las agujas del reloj
mirando hacia abajo). Este es ",
,","1'1..i:..'"'":':ir",rto der ángulo de torsión en B.
Consideremos momentáneamente que la unión ,B está fija en el espacio en su posición no deformada y calcu-
lemos el ángulo de giro de la sección C con respecto a B. Este ángulo esüi dado por
50.000(60)
8.4 x los Lo.slo
0z: :0,01150^ radianes (sentido (^) contrario a las agujas del reloj)
Es la única ecuación del equilibrio estático,^ y^ contiene dos incógnitas,^ por^ lo^ que el problema^ es^ estáticamente
indeterminado y^ es^ necesario suplementarla^ con otra^ basada^ en^ la^ deformación^ del^ sistema.
La variación del par^ con la^ longitud a lo largo de^ la barra^ puede representarse^ como^ el^ gráfico^ siguiente:
En la Fig. (a)^ aparece el esquema de^ cuerpo^ en libertad de^ la^ parte^ izquierda,^ de longitud Zr.
Yendo de izquierda a derecha a^ lo^ largo del árbol,^ el^ momento torsor^ en^ la^ zo¡acentral^ de^ longitud^ L,^ está dado por la suma algebraica^ de los^ pares^ que^ existen^ a^ la^ izquierda de^ esa^ sección,^ es^ decir,^ (fr - fr).^ En^ la
Fig. (á) figura el esquema de cuerpo en libertad de^ esta^ zona.
Finalmente, en la Fig. (c)^ aparece el diagrama de cuerpo en^ libertad^ de^ la^ parte^ derecha,^ de^ longitud^ 2..
Tt Tt- (^) T,
Fig. (a) Fie.^ (b^ ) Fig.^ (^ c)
Sea 0, el ángulo de torsión^ del^ punto^ de^ aplicación en^ 7,^ y 0,^ el ángulo en^ ?"r.^ Considérando^ las zonas^ de
longitudes Lt y Lt, tenemos inmediatamente
T-
T
t_
-----;
,rn-- Lz
Tt TD^ TD
Tt^ I
T,L,
12\ 0,, : -=)GIO y^ (J)^ 0r:T
En cada uno de los^ esquemas^ anteriores^ se^ representa^ la^ situación^ original^ de^ una^ generatriz^ de^ la^ superfi- cie del árbol por una línea llena y la posición deformada por^ líneas de trazos. La^ observaiión de^ la^ zona central de longitud L2 revela que^ el ángulo de torsión de^ su^ extremo^ derecho respecto^ al^ izquierdo^ es^ (01^ *^ 0r), por^ lo que como el par que origina esta deformación es (I, - Ir), tenemos
(7, (^) - Tr)L (4) 0, (^) + 0, ulp
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (l)^ a (^) @), hallamos
Es interesante observar el comportamiento de una generatriz de la superficie del árbol. Al^ principio^ era, naturalmente,^ recta en toda su longitud Z, pero después de la aplicación de I, y I, tiene el aspecto de
la línea quebrada^ de la figura adjunta.
r, -- r,ézltt) - rÍ;) t ro: =r,(?) * r,(4+!2)
9,
Considerar (^) un árbol compuesto fabricado con uno macizo de (^5) cm de diámetro de aleación de aluminio con G : 2,8 x lOs kglcmz, rodeado de otro de acero, (^) circular, hueco, de diámetro exterior 6,5 cm e interior (^) 5 cm, con G :^ 8,4 x 105 kg/cm2. Los dos (^) metales están rígidamente unidos entre sí. Si el (^) árbol compuesto está cargado
con un momento torsor de 14.000 kg-cm, calcular la tensión cortante en las fibras extremas del acero y en lai del
aluminio. Sean 7, :^ par (^) soportado por el aluminio, y (^) Tz: par soportado por (^) el acero. Por (^) el equilibrio estático (^) de
los momentos respecto al eje geométrico, tenemos
Tr+7,: f :14. donde 7 : (^) momento torsor exterior aplicado. Es la única (^) ecuación que pode-o, (^) obtener por (^) la estática y, (^) como contiene dos incógnitas, Try Tr, debemos suplementarla con otra qu" p.or"rga (^) de las deformaciones (^) del árbol.
La estructura es, pues, estáticamente indeterminada.
La ecuación necesaria se halla fácilmente, pues los dos materiales están rígidamente unidos, por lo que sus
ángulos de torsión (^) han de ser iguales. En (^) una longitud I de árbol tenemos, (^) utilizando la fórmulá 0 : (^) TLlGIp,
T,L T,L
2,8 x ros #rtf 8,4 x 1os $frc,tf -^ (5)nl o (^) Tt: 0,18f
Esta ecuación, junto con la de la estática, forma un sistema que resuelto da:
Tt:2.140 kg-cm (soportado por el aluminio) y (^) Tz: 11.860 kg-cm (soportado (^) por el acero) La tensión cortante en (^) las fibras extremas del tubo de acero es (r), : 1r.860(3,25)^ : (^340) k9lcm2. SÍa,tr -^ (5)ol La (^) tensión cortante en las fibras (^) extremas del aluminio es (r)l : 2'140(2'5)^ :90 (^) kglcm2.
L rsf
32
Un árbol circular macizode acero está rodeado por una envuelta delgada de cobre unida rígidamente a é1. El
conjunto está sometido (^) a un momento torsor. Si el cobre soporta 1,5 veces el par que (^) soporta el acero, hallar la relación entre los diámetros exterior (^) e interior del tubo de cobre. Para el cobre, G (^) -- 4,2 x 10s kglcm2,y pata el (^) acero, G :^ 8,4 x 105 kg/cm2. Como los dos metales están (^) rígidamente unidos, los ángulos de torsión de ambos son iguales. (^) Dichos ángu- los están dados por 0 : (^) TLlGIp, por lo que (^) si 7 es el par soportado por (^) el acero, tenemos TL (^) 0',snr 63 áticamente
I Z, está
,). En^ la irud ¿3.
rnas de uperfi- )entral por lo de donde I: a:1,4t t,+ x (^) rcs $d! 4,2 x tos
$U:
_ (^) afl donde d" y d, son los diámetros (^) exterior e interior del tubo (^) de cobre. Si la tensión cortante máxima admisible (^) en el tubo de cobre del Problema (^) 17 es 560 kg,cm2 y en el acero 840k9lcm2, determinar el par (^) máximo que puede (^) soportar el árbol compuesto. El (^) diámetro del árbol de acero
es de 60 mm y, como en el Problema 17, el cobre soporta 1,5 vecesil par del acero.
Probablemente el procedimiento (^) más sencillo (^) es determinar dos valores (^) del par, uno basado en la hipótesis de que el cobre está sometido a su tensión máxima admisible y (^) el otro suponiendo que (^) en el acero hay (^) ,., .or-
tante de 840 kglcm2. No es de esperar que el mismo par produzca las tensiones crítióas en cada uno de los ma-
teriales simultáneamente. (^) El menor de estos (^) dos pares (^) es el valor límite que puede soportar el árbol compuesto.
