¡Descarga Tractament de dades. Errors y más Apuntes en PDF de Fundamentos de Física solo en Docsity!
Tractament de dades experimentals. Errors
1. Introducció
L'objectiu és la determinació, per a una magnitud experimental X , del marge raonable on, amb gran seguretat, es troba el valor real.
( X )
Si el valor acceptat de la magnitud és x i, suposem simètric l'interval entorn d' x de radi ∆ x , escriurem com a resultat x ± ∆ x L'error absolut del valor d' x , ε a ( x ), és aquest ∆ x. Les seves unitats són les d' x.
També es treballa amb l'error relatiu d' x , ε r^ (x) ≡
ε a^ (x)
x.^ (És adimensional !)
Els errors es classifiquen en sistemàtics i casuals. Els sistemàtics són els que tenen que veure amb la imperfecció de tot sistema experimental o amb el seu ús incorrecte. És possible fer-los més petits millorant aparells i sistemes de treball. Com més petit és l'error sistemàtic, major és l'exactitud de la mesura. Els casuals estan relacionats amb la part incontrolada de tot experiment i només es determinen estadísticament. Tan més petit és l'error casual, major és la precisió de la mesura. De moment no els tractarem.
x (^) x
x
x xx x (^) x x x
x
x x
xxx
exacte però inexacte i inexacte però exacte i imprecís imprecís precís precís
2. Lectura dels aparells
Els aparells utilitzats seran o bé analògics (agulla sobre una escala) o bé digitals (presentació numèrica del valor).
Cal conéixer el funcionament de l'aparell a cada rang de mesures (el que s'anomena "índex de classe de l'aparell" que indica l'error relatiu en % sobre el fons d'escala). Si la classe fos 1, per exemple, i el fons d'escala 3 l'error seria 1% de 3 = 0.03. Si no es coneix l'índex de classe, en el cas d'aparells analògics acceptarem que l'error val la meitat de l'interval de l'escala en què es treballi. A l'exemple del dibuix, 0.25, que serà aproximat per excés com 0.3 i el valor de la lectura serà 1.3 ± 0.3. En el cas d'aparells digitals, agafarem com a mínim error de la lectura mitja unitat de l'últim ordre presentat. En el nostre cas, cinc deumil.lèssimes, i la lectura completa seria 2.6210 ± 0.0005.
3. Propagació dels errors
Sovint no ens interessa el valor de les magnituds mesurades sinó el d'una funció d'elles. En general agafarem expressions conegudes del càlcul diferencial acceptant l'analogia entre error i diferencial, ja que l'error hauria de ser sempre petit:
ε a^ (x) ≈ dx
Si ens interessa l'error en una funció (^) y = (^) f ( x ) considererem que com que (^) f '( x ) = (^) dy / dx , aleshores dy = f '( x ) · dx , i, per tant:
ε a^ (y) ≈ dy = f '(x) · dx ≈ f ' (x) · ε a^ (x)
Si la funció f és una funció de vàries variables, y = f ( x 1 , x 2 ,... x n ), acceptarem una versió modificada de la fòrmula del diferencial total d' y , per tal d'evitar valors negatius, sense que l'error total sigui, tanmateix, excessivament gran (és el que s'anomena suma quadràtica):
ε a^ (y) =
i = 1
n
∂y
∂x i^ ε
a (^) (x
i )^ )^2
Per exemple, es mesura la longitud dels dos costats d'un rectangle, a i b però ens interessa l'àrea de la superfície S = a · b Sigui a = (2.3 ± 0.1) cm i b = (6.8 ± 0.2) cm
S = 2.3 · 6.8 = 1 5.64 cm 2
ε a^ (S) = ( b· ε a^ (a) ) 2 + ( a· ε a(b) ) 2 = 0.82 1 cm 2
5. Problemes
Problema 1 Un cilindre té un diàmetre que mesura d = (21.2 ± 0.1) cm i una alçada h = (75.1 ± 0.2) cm. Determineu el seu volum.
Problema 2 Per a determinar el valor d'una resistència R se li aplica un voltatge V = (6.3 ± 0.1)V i es mesura que la intensitat que hi circula val I = (29 ± 2) mA. Trobeu R i el seu error.
Problema 3 Determineu el mòdul del producte escalar de dos vectors A i B de mòduls A = 8.8 ± 0.2 i B = 7.7 ± 0.1, que formen una angle de 72° ± 1°.
