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Transferencia de calor Conductividad
Tipo: Ejercicios
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TESIS DOCTORAL
Joaquín Zueco Jordán Cartagena, 2003
Agradezco a los directores de esta tesis, Francisco Alhama y Carlos F.
González la ayuda que me han prestado en todo momento; sus consejos, ideas y total
disposición han sido decisivos no sólo para llevar a buen fin este trabajo, sino
también para aumentar mi ilusión por la Universidad. Sin su ayuda no hubiera sido
posible conseguir este objetivo.
Índice ii
Índice iii
con la temperatura 94 IV.2.2.3. Estimación de flujos incidentes (condición de contorno) 94 IV.2.2.4. Estimación de focos térmicos (condición de contorno de temperatura en función del tiempo) 95 IV.2.2.5. Estimación de otras funciones 96 IV.2.2.6. Estimación simultánea del calor especifico y de la conductividad térmica 99 IV.2.3. Estimación de funciones lineales 99 IV.3. Referencias 101 Contribuciones y conclusiones 101
V.1. Estimación del flujo de calor en la superficie de un sólido 105 V.1.1. Introducción 105 V.1.2. Estimación del flujo de calor en medios con características térmicas constantes 108 V.1.3. Estimación del flujo de calor en medios con características térmicas dependientes de la temperatura 123 V.2. Estimación de la temperatura 129 V.2.1. Introducción 129 V.2.2. Estimación de temperatura en un medio sometido a convección forzada 130 V.3. Referencias 135 Contribuciones y conclusiones 137
VI.1. Generación interna de calor 140 VI.1.1. Introducción 140 VI.1.2. Aplicaciones 141 VI.2. Coeficiente de convección 144 VI.2.1. Introducción 144
Índice v
A área, m^2 C capacidad de almacenamiento de calor (ce ρ), Jm-3^ ºC- capacidad, F ce calor específico, Jkg-1^ ºC- c (^) mean calor específico medio, Jkg-1^ ºC- D,d constantes E fuente de tensión controlada por tensión F funcional fuente de corriente controlada por corriente f frecuencia, 1/s relativo a un sensor de medida G fuente de corriente controlada por tensión Gr número adimensional Grashof g (^) gen generación interna de calor, Wm- H fuente de tensión controlada por corriente h coeficiente convectivo, Wm-2^ ºC- h entalpía específica, kJkg- h (^) i factores de escala según tipo de coordenadas I fuente de corriente temporal K, K 1 , K 2 factores de reducción en la estimación J flujo de calor, W j densidad de flujo de calor, Wm- correspondencia con la temperatura medida, (1≤ j ≤ n) j (^) est densidad de flujo de calor estimado, Wm- j (^) in densidad de flujo de calor incidente, Wm- j (^) ini densidad de flujo de calor inicial, Wm- j (^) o densidad de flujo de calor constante, Wm- k conductividad térmica, Wm-1^ ºC- L longitud axial, m N número total de celdas n medidas de temperatura medidas en un punto f n vector normal a la superficie Nu número adimensional Nusselt P número total de puntos de medidas P (^) r número adimensional Prandtl q (^) i tipo de coordenadas r número de términos del funcional coordenada radial y cilíndrica, m r (^) z número de térmicos del funcional para el tramo z r (^) z,f número de térmicos del funcional para el tramo z y punto de medida f R resistencia térmica, ºC W- r (^) c resistencia térmica de contacto, ºC W- Ra número adimensional Rayleigh, (Pr Gr ) s error cuadrático medio, [(ζest - ζexa )^2 /Z]1/ S coeficiente de sensibilidad t tiempo, s
Índice vi
T temperatura, ºC T (^) (dir) temperatura del problema directo, ºC T (^) (inv) temperatura del problema inverso, ºC T (^) (med) temperatura afectada del error, ºC T (^) o temperatura inicial, ºC T∞ temperatura ambiente, ºC u iteración actual U número total de iteraciones V potencial eléctrico, V volumen, m^3 x coordenada cartesiana, m x (^) f posición de medida de temperatura, m x (^) s posición de la frontera, m X diferencia de temperatura entre los extremos de una rama y coordenada cartesiana, m z coordenada cartesiana, cilíndrica y esférica, m identificación del tramo actual a estimar Z número de tramos totales a estimar
Letras griegas
∇ T gradiente térmico, ºC m- α difusividad térmica, m^2 s- ∆ operador laplaciana ∆ce variación del calor específico [ce (T) - c (^) mean ], Jkg -1^ ºC- ∆t intervalo de tiempo entre medidas, s ∆Ta intervalo de estimación de temperaturas, ºC ∆ζ, ∆ψ intervalos de paso en estimación de funciones ∆ρ intervalo de paso en estimación de parámetros ∆x espesor de la celda en la dirección axial, m ∆r espesor de la celda en la dirección radial, m δ criterio de convergencia ε error en las medidas ε emisividad η variable dependiente o independiente en estimación de parámetros ϕ coordenada esférica, rad θ coordenada cilíndrica y esférica, rad ρ densidad, kgm- ρi parámetros a estimar en estimación de parámetros, (1≤ i ≤ I) σ desviación típica de los errores de las temperaturas medidas σb constante de Boltzmann υ pendiente en estimación de parámetros ω números aleatorios de distribución N(0,1) ω frecuencia angular, rad s- ψ, ζ funciones a estimar
Subíndices
alm almacenada con relativo a la convección ent entrada est valor estimado
Presentación 1
I.1. Introducción I.2. Antecedentes. El método de simulación por redes I.3. Objetivos y desarrollo I.4. Perspectivas I.5. Referencias
Presentación 3
clasificación general que indica el campo de la ingeniería objeto de estudio: (i) energía nuclear (pruebas de componentes de reactores nucleares), (ii) automoción (calentamiento periódico de las cámaras de combustión de los motores de automoción), (iii) fabricación (solidificación de aleaciones, vidrio, etc), (iv) termometría (calorimetría indirecta), (v) cambio de fase (estudio de las curvas de ebullición), etc.
La determinación de parámetros característicos en un proceso transitorio de transferencia de calor a partir de medidas de temperaturas realizadas en un punto (o en varios) es lo que se conoce como problema inverso de trasferencia del calor (IHCP, inverse heat conduction problem). Por el contrario, el problema clásico o tradicional es la determinación de la distribución de temperatura y flujos de calor en el interior de cuerpos sólidos cuando los parámetros característicos antes citados son conocidos; este es el problema directo de transferencia de calor (DHCP, direct heat conduction problem). Los parámetros o variables de interés más comunes en el IHCP pueden ser: las temperaturas y/o flujos de calor en la superficie, las condiciones de contorno e iniciales (o parte de ellas), la generación de calor interna, la resistencia térmica de contacto entre sólidos, etc. El IHCP puede utilizarse, además, para resolver problemas de radiación, cambio de fase y otros procesos asociados con estudios de transferencia de calor.
Para las solución del problema inverso se precisa de un conjunto de temperaturas o “medidas experimentales” tomadas a intervalos de tiempo regulares en una determinada posición (o varias) del medio, generalmente proporcionadas mediante instrumentos de medida afectados de su error o precisión (termómetros, termopares, etc). Para simular estas medidas, evitando el trabajo de laboratorio, se ha recurrido a modificar los valores obtenidos de la solución (mediante el MESIR) del problema directo, afectándolos de un cierto error aleatorio. Este es un procedimiento común en la literatura científica cuando se trata de verificar los métodos de solución del IHPC.
Por otro lado, es práctica general en estos problemas la definición, mediante mínimos cuadrados, de un funcional que compara iterativamente los resultados parciales del IHCP con las medidas experimentales anteriormente aludidas. Los resultados parciales que hacen mínimo este funcional se retienen para elaborar la solución definitiva del IHCP.
El libro clásico y actual, por excelencia, que aborda extensamente la temática del problema inverso es Inverse Heat Conduction [Beck y col., 1985]. No obstante existen textos especializados en transmisión del calor que incluyen algún capítulo sobre este tema [Necati y Özisik, 1993]. Su interés es indudable y se soporta tanto en las reuniones internacionales específicas [Eurotherm] como en las revistas científicas especializadas en esta temática (Inverse Problem e Inverse Problem Engineering) y otras muchas dentro del campo de transmisión de
Presentación 4
calor que publican frecuentemente artículos relacionados con el problema inverso (International Journal Heat Mass Transfer, Journal Heat Transfer-T ASME, Numerical Heat Transfer, Heat Mass Transfer, etc).
El MESIR aplicado al IPC aúna el potencial existente en la analogía termo-eléctrica con la potencia de los modernos ordenadores y con la posibilidad de desarrollar programas en cualquier lenguaje de programación (Visual C, Visual Basic, Fortram, etc.) que generen, por un lado los ficheros ejecutables en el software de simulación de circuitos y por otro permitan ejecutar la solución completa del IHPC de forma automática sin intervención del usuario. La combinación del MESIR (que permite el diseño de complicadas redes equivalentes del proceso en estudio) con las posibilidades de los programas actuales de resolución de circuitos, que i) trabajan con dispositivos ideales ii) disponen de amplias librerías de componentes iii) aportan soluciones con errores tan pequeños como se soliciten iv) requieren u tiempo de ejecución relativamente pequeño permiten abordar con éxito los tipos de problemas inversos de transmisión de calor estudiados en esta memoria que, prácticamente, cubren todo el espectro de interés.
El software para la programación no requiere más que un pequeño número de reglas en los tipos de problemas que nos ocupan.
El presente trabajo aplica el MESIR a procesos inversos de transferencia de calor, en particular a la obtención de flujos de calor, temperaturas superficiales, flujos de generación interna de calor, coeficientes convectivos, propiedades termofísicas dependientes de la temperatura, resistencia térmica de contacto, emisividades, etc. Se enmarca así dentro de la línea de investigación que utiliza como base el MESIR para la simulación digital de las respuestas del sistema y que ya ha sido aplicada en otros campos, como en el de difusión de membranas [Horno y col., 1990], en procesos electroquímicos [González-Fernández y col., 1995], en la determinación de propiedades de coloides [López-García y col., 1996], en procesos no lineales de conducción del calor [Alhama, 1999], así como en sistemas con aletas [Alarcón, 2001].
Diferentes métodos numéricos se han empleado hasta la fecha para abordar problemas directos de conducción no lineal. Entre estos podemos citar: (i) métodos en diferencias finitas en problemas estacionarios [Crank-Nicolson, 1947; Crandall, 1956; Farnia y Beck, 1977; Wood, 1977, y Orivuri, 1979] y transitorios, [Collatz, 1960]; (ii) métodos de elementos finitos en
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este aspecto del método, ya que son bastante reducidas las agrupaciones de términos de las expresiones matemáticas que se convierten en elementos individuales o partes del circuito (del orden de cuatro o cinco elementos).
En cuanto a la manipulación y elaboración del programa podemos afirmar que las dificultades son mínimas. La presentación en forma esquemática bajo Windows (tanto para PC o estación de trabajo) permite implementar directamente el modelo (componentes eléctricos y sus conexiones), mientras que la elaboración a través de un fichero de texto requiere un mayor esfuerzo de programación. En ambos casos se dispone de una ayuda continua al usuario que advierte de los posibles errores en la elaboración del programa.
El objetivo principal de esta memoria es el estudio de problemas inversos lineales y principalmente no lineales en transferencia de calor: (i) estimación de diferentes flujos aplicados a la superficie de un sólido con propiedades termofísicas constantes o dependientes de la temperatura, (ii) estimación de temperaturas superficiales, (iii) estimación de la generación interna de calor, del coeficiente de convección, emisividad superficial y resistencia térmica de contacto entre sólidos y (iv) estimación de propiedades térmicas (calor específico y conductividad térmica) dependientes de la temperatura. Un segundo objetivo es proponer al MESIR como método de resolución de este tipo de problemas, proporcionando resultados suficientemente precisos (con márgenes de error propios del campo de la ingeniería térmica). El tercer objetivo es, analizar la incidencia en los resultados de diferentes parámetros que afectan a la resolución de este tipo de problemas, errores en las medidas, punto de medida, número de medidas, etc.
El desarrollo de este trabajo comienza en el Capítulo II , donde se presentan los fundamentos teóricos y metodológicos de la ciencia de transmisión de calor por conducción, así como los fundamentos básicos del problema inverso en transferencia de calor, enumerándose los tipos de problemas inversos que existen en el campo de la conducción de calor. Dentro de este capítulo se recoge una síntesis de los conceptos que utiliza el MESIR (método numérico empleado tanto para la solución del problema directo como del inverso).
En el Capítulo III se describe, en primer lugar, los tipos de problemas inversos abordados mediante sus correspondientes modelos matemáticos, incidiendo en la descripción de los múltiples parámetros que intervienen en ellos. A continuación se desarrollan los protocolos de resolución de los problemas de estimación de función y de estimación de parámetros, tanto
Presentación 7
para el caso de variables (incógnita) dependientes de la temperatura como de variables dependientes del tiempo. Se definen los funcionales típicos de estos problemas así como los algoritmos de programación diseñados en esta tesis para ejecutar de forma automática los cálculos numéricos requeridos por el método de simulación por redes. Finalmente se aborda el problema de la estimación simultánea de dos variables y la descripción del procedimiento propuesto para este caso.
El capítulo IV presenta los modelos en red (celda elemental y condiciones de contorno) de los diferentes tipos de problemas inversos abordados en esta memoria, que incluyen modelos para estimación de funciones (lineales o no), estimación de parámetros y estimación simultánea de propiedades térmicas.
En el capítulo V se obtienen estimaciones de flujos incidentes y temperaturas, como condición de contorno, usando los procedimientos y modelos descritos en los capítulos anteriores. Se analiza un amplio espectro de formas de onda que incluyen el flujo incidente en escalón y el triangular, propuesto por Beck [Beck, 1985] para verificar la bondad del método. La influencia en las estimaciones de los diferentes parámetros del problema es analizada en detalle aportando en todos los casos los errores obtenidos gracias al conocimiento de la solución exacta por la forma de plantear el problema.
En el capítulo VI se presentan estimaciones de cuatro magnitudes térmicas de interés en transmisión de calor utilizando diferentes modelos matemáticos. Se trata de la estimación de: generación interna de calor, coeficiente de convección, emisividad superficial y resistencia térmica de contacto. Se estudia la influencia, en los resultados, de diversos parámetros tales como el número de términos del funcional, los errores en las medidas, la posición del punto de medida, el número de medidas, etc.
El capítulo VII abarca las estimaciones de las propiedades térmicas (calor especifico y conductividad térmica), por separado y simultáneamente. Se presentan aplicaciones a productos concretos, estudiando la incidencia de los principales parámetros del problema en la estimación.
El capítulo VIII contiene las aportaciones y conclusiones de esta memnoria. La descripción de cada uno de los símbolos utilizados a lo largo del texto se recoge al principio del trabajo bajo el epígrafe “Simbología”.
Por último, en el apéndice se muestran los códigos fuentes de los programas realizados para algunos de los casos estudiados.
