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Resumen Tema 1
Transformación de la variable independiente
Reflexión o giro y(t)=x(-t ) y[n]=x[-n]
Escalado y(t)=x(at) y[n]=x[an] a entero>
Desplazamiento y(t)=x(t-to) y[n]=x[n-no]
Señales básicas
Definiciones
Escalón unitario:
0 t 0
1 t 0 u ( t ) 𝑢𝑢[𝑛𝑛] = �
Función signe:
1 t 0
1 t 0 sign ( t ) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛[𝑛𝑛] (^) = �
Pulso rectangular:
0 resto
1 t ( )^2
1
t (^) 𝑝𝑝𝐿𝐿[𝑛𝑛] (^) = �
Pulso triangular:
0 resto
1 t 1 ( )
t t
Función sinc: t
sin t sinct
Función delta de Dirac /
Kronecker
o impulso unitario:
∞
−∞
x ( t ) δ ( t ) dt = x ( 0 )
𝜹𝜹[𝒏𝒏]^ = �
Exponencial compleja: (^) e st^ = e (σ + j^2 π f ) t
Propiedades
Señal par x(-t)=x(t ) x[-n]=x[n ]
Señal impar x(-t)=-x(t) x[-n]=-x[n]
Parte par (^) Par {x(t) }= 2
x ( t )+ x (− t ) Par {x[n] }= 2
x [ n ]+ x [− n ]
Parte Impar Impar {x(t) }=^ 2
x ( t )− x (− t ) Impar {x[n] }= 2
x [ n ]− x [− n ]
Periodicidad x(t)=x(t+T) x[n]=x[n+N] N entero
Energía
∞
−∞
E x = xt dt
2
∞
=∞
n
E (^) x xn
2 | [ ]|
Potencia media
−
→∞
/ 2
/ 2
2 ()
T
T
T
x xt dt T
P lim ∑
=
/ 2
/ 2
2 | [ ]| 1
lim
N
nN
N
x xn N
P
Propiedades de la función delta
Definición � 𝒙𝒙(𝒓𝒓)𝜹𝜹(𝒓𝒓)𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝒙𝒙(𝟎𝟎)
∞
−∞
𝜹𝜹[𝒏𝒏]^ = �
Área unitaria (^) ∫ =
∞
−∞
δ( t ). dt 1
Escalado .()
( ) t a
δ at = δ
Simetría par δ ( − t )= δ( t )
Representación de una
señal
∞
−∞
∞
−∞
x ( t ) x (τ ).δ( t τ). d τ x (τ).δ(τ t ). d τ 𝑥𝑥[𝑛𝑛] = � 𝑥𝑥[𝑘𝑘]𝛿𝛿[𝑛𝑛 − 𝑘𝑘]
∞
𝑘𝑘=−∞
Producto por una señal x ( t ).δ ( t − to )= x ( to ).δ( t − to ) x [ n ].δ[ n − no ]= x [ no ].δ[ n − no ]
Relación con la función
escalón
+∞
−∞ 0
u ( t ) δ (τ). d τ δ( t τ). d τ
t
( ) [ u ( t )] t
t ∂
δ =
𝑢𝑢[𝑛𝑛] = � 𝛿𝛿[𝑘𝑘]
𝑛𝑛
𝑘𝑘=−∞
= � 𝛿𝛿[𝑛𝑛 − 𝑘𝑘]
∞
𝑘𝑘=
δ[ n ] = u [ n ] - u [ n -1]
Sistemas y sus propiedades
y(t) = T[x(t)]
y[n] = T[x[n]]
Propiedades
P1: Linealidad
T [ a 1. x 1 ( t )+ a 2. x 2 ( t )]= a 1. T [ x 1 ( t )]+ a 2. T [ x 2 ( t )]
T [ a 1. x 1 [ n ]+ a 2. x 2 [ n ]]= a 1. T [ x 1 [ n ]]+ a 2. T [ x 2 [ n ]]
P2: Invariancia
Si T[x(t)] = y(t) entonces T[x(t-t 0 )] = y(t-t 0 )
Si T[x[n]] = y[n] entonces T[x[n-n 0 ]] = y[n-n 0 ]
P3: Causalidad
La salida no depende de valores futuros de la entrada
P4: Estabilidad
∀ |x(t)| ≤ B 1 entonces |y(t)| ≤ B 2
∀ |x[n]| ≤ B 1 entonces |y[n]| ≤ B 2
P5: Memoria
Para calcular y(t 0 ) (y[n 0 ]) con t0 (n 0 ) arbitrario, se precisan valores de la entrada pasados o futuros
P6: Invertibilidad
Invertible si a partir de la salida y(t) (y[n]) se puede volver a obtener la entrada x(t) (x[n])
