ÁLGEBRA LINEAL2 A
INGENIERÍA CIVIL
CATEDRATICO:
ALMANZA PEREZ JORGE HERMENEGILDO
TRABAJO 5ta UNIDAD
TRANSFORMACIONES LINEALES
ALUMNO:
AMARO ALARCON JOSUE DAVID
GRADO Y GRUPO: 2 A
FECHA DE ENTREGA: 04/06/2018
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transformaciones de lineas, Apuntes de Electromagnetismo
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Tipo: Apuntes
2019/2020
1 / 13
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ÁLGEBRA LINEAL2 A
INGENIERÍA CIVIL
CATEDRATICO:
ALMANZA PEREZ JORGE HERMENEGILDO
TRABAJO 5ta UNIDAD
TRANSFORMACIONES LINEALES
ALUMNO:
AMARO ALARCON JOSUE DAVID
GRADO Y GRUPO: 2 A
FECHA DE ENTREGA: 04/06/
1.1 INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LIENEALES.
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K- espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales. Las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Se usara el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos será sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio. Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de funciones: inyectividad, suryectividad y biyectividad.
Para resolver el sistema El sistema tiene solución única y es 0. Por tanto, EJEMPLO 2: Determine el núcleo de la transformación de R3 en R2 definida como Un vector v = (a, b, c) 0 pertenece al núcleo de T si T (v) = 0, es decir si: Por lo tanto, par a pertenecer al núcleo debe cumplirse Reduciendo tenemos: Es decir, que el núcleo de T en este caso es un espacio generado: Además, la dimensión de Ker(T) es 2, lo cual corresponde al número de columnas sin pivote de la reducida de la matriz que define a T. Geométricamente, en R3 este generado corresponde a un plano que pasa por el origen y con vector normal n = u1 × u2 = (1, 1, 1)0 que es:
EJEMPLO 3: Determine el núcleo de la transformación de R3 en R3 definida como Un vector v = (a, b, c) 0 pertenece al núcleo Por lo tanto, para pertenecer al núcleo debe cumplirse Observe que el núcleo de T en este caso es un espacio generado: Además, la dimensión de Ker(T) es 1, lo cual coincide con el número de columnas sin pivote en la reducida de A (La matriz que define a la transformación T). Geométricamente en R3 este generado corresponde a la línea que pasa por el origen y con vector de dirección (3/2, −7/2, 1)0 que es: 5.3 MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Si A es una matriz de mn y T: Rn-Rm^ está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn^ en Rm^ existe una matriz A de mn tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NA e Im T = RA. más aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn-Rm^ determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn^ mediante una simple multiplicación de matrices. Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz. Teorema 1: Sea T:Rn^ - Rm^ una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n, AT tal que
EJEMPLO 1: Encuentre la representación matricial de la transformación Lineal T de R4 en R3 definida por Aplicamos T a los vectores base de R4: , , , Entonces la matriz AT es .
EJEMPLO 2:
En el ejemplo 1 se utilizó la base canónica para construir la matriz de representación de la
transformación lineal
Ahora se utilizará la base. , , , Entonces la nueva matriz de transformación queda:
EJEMPLO 3: Encuentre la representación matricial AT de la transformación lineal T definida por Aplicamos T a los vectores base de R^3 : Entonces la matriz de transformación es 5.4 APLICACIÓN DE LAS TRANFORMACIONES LINEAL Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este texto. Su utilización mejora el sentido geométrico de lo escrito. Por ejemplo, en el capítulo 1, las transformaciones lineales proporcionan una visión dinámica y gráfi ca de la multiplicación matriz- vector. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual. EJEMPLO 1: Reflexión en el eje y:
EJEMPLO 2: muestre gráficamente una expansión en x (con c = 2) EJEMPLO 3: muestre gráficamente una expansion en y( con c=0.5) Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8). EJEMPLO 1: Sea V (4,3) aplicar una contracción cuando: C =1/ 3 enelejedelas X C= ½ enelejedelas Y EJEMPLO 2: Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original. Sea V= (2 4) encontrar la contracción horizontal cuando k=1/ EJEMPLO 3 : Sea V= ( 2 4 ) encontrar la expansión vertical cuando k=
Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj. EJEMPLO 1: Sea R(θ) la matriz de rotación sobre el origen, en coordenadas homogéneas la rotación de un punto p alrededor del origen en 2D se puede expresar como el producto matricial p = p ⋅ R , es decir: el efecto de rotación de una figura con θ = 45°. EJEMPLO 2: Sea R3(θ) la matriz de rotación alrededor del eje X3, en coordenadas homogéneas la rotación de un punto p alrededor de dicho eje, se puede expresar como el producto matricial (p) = p ⋅ R3 θ , es decir: el efecto de rotación sobre el eje X3 de una figura con θ = 20°.