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TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean V y W dos espacios vectoriales definidas sobre el mismo cuerpo K ( o ), se
define la transformación lineal T como la función
T : V W
x y T x ( )
tal que se cumpla
a) T u ( v ) T u ( ) T v ( ) u v , V
b) T ( u ) T u ( ) u V , K
La trasformación T también es llamada aplicación lineal u operador lineal, aunque
algunos autores llaman operador lineal a las trasformaciones lineales tales que V W.
Ejemplo.- Verificar si las siguientes transformaciones son lineales o no.
1.- F : / F x ( ) x ,
Solución
a) (^) F u ( v ) ( u v ) u v F u ( ) F v ( ), u v ,
b) (^) F ku ( ) ( ku ) k ( u ) kF u ( ), (^) u , k
^ F^ es una transformación lineal.
Nota.- Toda F : es lineal sólo si es del tipo F u ( ) u , de F x ( ) F x ( .1)
como F es lineal y x escalar entonces F x ( .1) xF (1), llamando F (1) tenemos
F x ( ) ax ; entonces el nombre transformación lineal está inspirado en el caso que
V W porque la gráfica de F x ( ) x es una recta que pasa por el origen.
2.- F : /
2 F u ( ) u
Solución
a)
2 2 2 F u ( v ) ( u v ) u 2 uv v ,
2 2 F u ( ) F v ( ) u v
F u ( v ) F u ( ) F v ( )
^ F^ no es una transformación lineal.
3 2 T : / T x y z ( , , ) ( x y z , y )
Solución
Sean u ( x 1 (^) , y 1 (^) , z 1 ), v ( x 2 (^) , y 2 (^) , z 2 )y entonces
u v ( x 1 (^) , y 1 (^) , z 1 (^) ) ( x 2 (^) , y 2 (^) , z 2 (^) ) ( x 1 (^) x 2 (^) , y 1 (^) y 2 (^) , z 1 (^) z 2 )
u ( x 1 (^) , y 1 (^) , z 1 (^) ) ( x 1 (^) , y 1 (^) , z 1 )
T u ( ) T (( x 1 (^) , y 1 (^) , z 1 (^) )) T x ( 1 (^) , y 1 (^) , z 1 (^) ) ( x 1 (^) y 1 (^) , z 1 (^) y 1 )
T v ( ) T (( x 2 (^) , y 2 (^) , z 2 (^) )) T x ( 2 (^) , y 2 (^) , z 2 (^) ) ( x 2 (^) y 2 (^) , z 2 (^) y 2 )
a) T u ( v ) T x ( 1 (^) x 2 (^) , y 1 (^) y 2 (^) , z 1 (^) z 2 (^) ) (( x 1 (^) x 2 (^) ) ( y 1 (^) y 2 (^) ),( z 1 (^) z 2 (^) ) ( y 1 (^) y 2 ))
(( x 1 (^) y 1 (^) ) ( x 2 (^) y 2 (^) ),( z 1 (^) y 1 (^) ) ( z 2 (^) y 2 ))
( x 1 (^) y 1 (^) , z 1 (^) y 1 (^) ) ( x 2 (^) y 2 (^) , z 2 (^) y 2 )
T u ( v ) T u ( ) T v ( )
b) T ( u ) T ( x 1 (^) , y 1 (^) , z 1 (^) ) ( x 1 (^) y 1 (^) , z 1 (^) y 1 )
( ( x 1 y 1 ), ( z 1 y 1 )) ( x 1 y 1 , z 1 y 1 )
T ( u ) T u ( )
^ T^ es transformación lineal
2 2 T : /
x x T y y
Solución
Sean
2 u v , /
a u b
c v d
y .
a) Para T u ( v ) T u ( ) T v ( )tenemos
( ) ( ) ( ) ( )
a c a c a c a c T u v T T u T v b d b d b d b d
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^
puesto que ( )
a a T u T b b
(^)
c c T v T d d
(^)
b) Para T ( u ) T u ( )tenemos
( ) ( )
a a a a T u T T T u b b b b
(^) (^) (^) (^) (^) (^) (^) (^) ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
puesto que ( )
a a T u T b b
(^)
T es transformación lineal.
Observaciones
1.- De la definición tenemos que T ( ) x también se denota como y T ( ) x.
2.- Los ítems a) y b) de la definición puede ser incluidos en la siguiente única fórmula:
T ( u v ) T u ( ) T v ( ) , u v , V , K
Ejemplos
1.- Sean los espacios vectoriales V y W , definimos la aplicación nula
T V : W
x y
es decir T x ( ) x V ( es el vector nulo)
Para probar que esta aplicación es lineal sean u v , V , K entonces
T ( u v ) … (1)
Como T u ( ) y T v ( ) tenemos que T u ( ) entonces
T u ( ) T v ( ) … (2)
De (1) y (2) tenemos
T ( u v ) T u ( ) T v ( ) , u v , V , K
T es transformación lineal.
2.- Sea
2 2 T : /
x x T X T AX y y
Probamos que T es una transformación lineal de la siguiente manera.
Identificamos que
A
x 2 1 X y
, luego sean
2 ,
a c
b d
2 1 ( )
y , entonces utilizando propiedades de matrices
a c a c a c a c T A A A A A b d b d b d b d
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
De manera similar al ejemplo 2 probamos que T es una trasformación lineal.
En este caso tenemos que
cos( ) sen( )
sen( ) cos( )
A
x 2 1 X y
2 X ), luego
sean
2 ,
a c
b d
y , entonces utilizando propiedades de matrices
a c a c a c a c T A A A A A b d b d b d b d
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
a c a c T T T b d b d
^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
T es transformación lineal.
Observación.- De manera similar al ejemplo anterior tenemos las principales
Transformaciones lineales del plano en el plano, las cuales representan una aplicación
geométrica de las transformaciones lineales, en estas aplicaciones se consideran por
ejemplo una expansión, una rotación y ciertas deformaciones de vectores en el plano
que pueden ser descritas por transformaciones lineales, estas transformaciones son:
1.- Expansión (o contracción) uniforme
2.- Reflexión en torno al eje X o en torno al eje Y
3.- Reflexión en el origen
4.- Rotación de un ángulo (en el sentido anti-horario), visto en el ejemplo anterior
5.- Cizallamiento horizontal y vertical
NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sea la transformación lineal T V : W , donde V , W son espacios vectoriales, sobre un
mismo cuerpo K , definimos:
Núcleo de la transformación T .- Es denotado por ker T o nu( T ) , es el conjunto de los
vectores v V cuya imagen es el vector nulo de W ( 0 W ), es decir
ker T v V / T v ( ) 0 V
Imagen de la transformación T .- Es denotada por Im T , es el conjunto de los vectores
u W tales que u T v ( )para algún v V , es decir
Im T u W / u T v ( ), v V W
Ejemplos.- Hallar el núcleo y la imagen de las siguientes transformaciones lineales
1.- Sea la transformación lineal
2 2 T : / 2
x x y T y x
Solución
Para ker T tenemos
ker / 0
x x T T y y
^ ^ ^ ^
Resolviendo
x x y T y x
^
tenemos
x y 0 , 2 x 0 y x , 2 x 0 , con lo cual x 0 , y 0
x
y
entonces
ker 0
T
Para (^) Im T tenemos
2 2 Im / ,
u u x x T T v v y y
^ ^ ^ ^ ^
u x y
v x
Como
x 2
y
entonces (^) x y , entonces (^) u x y , v 2 x entonces
tenemos
2
2
u x y
v x
^
, con lo cual
2 Im / ,
u T u v v
2.- Sea la transformación lineal
2 T : / T x y ( , ) x y
Solución
En este caso tenemos
2 ker T ( , x y ) / x y 0
De x y 0 y x , esto significa que ker T es la recta y x , dicho de otra
formaker T (^) ( , x x ) / x (^) (^) x (1, 1) / x (^) (^) (1, 1)
Para la imagen tenemos
2 Im T u / u x y ,( , x y )
Como x y , entonces u x y con lo cualIm T
O hallado de otra forma tenemos que dado (^) x , T x ( ,0) x 0 x es decir
Im T (^) ( ,0) / x x (^) (^) x (1,0) / x (^) (1,0)
En la siguiente gráfica observamos las representaciones geométricas del núcleo y la
imagen de la transformación lineal T x y ( , ) x y.
3.- Sea la transformación lineal
3 3 T : / T x y z ( , , ) ( , 2 ,0) x y
Solución
Tenemos que
3 ker T ( , x y z , ) / T x y z ( , , ) (0,0,0)
3 ker T ( , x y z , ) / ( , 2 ,0) x y (0,0,0)
De ( , 2 ,0) x y (0,0,0)tenemos que x y 0 y para cualquier z , entonces
ker T (^) (0,0, ) / z z
ker T (^) z (0,0,1) / z (^) (0,0,1)
Para la imagen de T tenemos
Im T
X 0 X
Y
y x
ker T
Im D (^) g Pn (^) 1 / g D f ( ), si
1 0 1 ...^1
n n f a a x an x a xn
(^) derivando tenemos
1 2 1 ( ) ( 0 1 ... 1 )' 1 2 2 ... ( 1) 1
n n n n g D f a a x an x a xn a a x n an x na xn
(^) (^)
sea kak bk (^) 1 , k 1, n entonces
2 1 0 1 ...^2
n n g b b x bn x bn x
(^) ^ ,^ bk^ ,^ k 0, n 1 es un polinomio general
2 1 1 Im 1 / 0 1 ... 2 1 [1, ,..., ] 1
n n n D g Pn g b b x bn x bn x x x Pn
(^) (^) (^)
es decir Im D Pn (^) 1.
Observaciones
1.- Como T V : W es una transformación lineal, considerando que 1 y 2 son los
vectores nulos de V y de W respectivamente entonces T ( 1 ) 2 , es decir la imagen
del vector 1 V es siempre el vector 2 W ; en efecto usando la condición 1) de la
definición tenemos para x V
T x ( ) T x ( 1 ) T x ( ) T ( 1 ) 2 T ( 1 )
de donde por la unicidad del vector 2 W tenemos que T ( 1 ) 2.
De manera similar se puede probar este hecho utilizando la condición (2) de la
definición haciendo 0.
Tenemos entonces que tanto el núcleo como la imagen de una transformación lineal
son conjuntos no vacíos de V y W respectivamente, pues al menos el vector 1 V
pertenece al núcleo y al menos el vector 2 W pertenece a la imagen.
2.- Otro hecho importante que se deduce de la definición de transformación lineal es
que tanto el núcleo de T como su imagen son subespacios de V y W respectivamente;
en efecto probaremos que ker T es un subespacio de V.
Sea x x , ker T entonces T x ( ) T x ( ) luego T x ( x ) T x ( ) T x ( ) ,
por lo que x^ ^ x^ ker T.
Si c K y x ker T entonces T cx ( ) cT x ( ) c ( ) , por lo que cx ker T.
al cumplirse las 2 condiciones concluimos entonces que ker T es un subespacio de V.
De manera similar se prueba que Im T es también un subespacio de W ( W codominio
de la transformación T ).
Rango y nulidad de una transformación lineal
Sea T V : W una transformación lineal de V en W , entonces definimos:
Nulidad de T .- Se define como la dimensión del núcleo ker T , es denotado por ( T )
( T ) dim(ker T )
Rango de T .- Se define como la dimensión de la imagen Im T , es denotado por ( T )
( T ) dim(Im T )
Observación .- De la notación y el nombre rango de la transformación lineal
observamos que la notación de rango de una matriz coincide con el de rango de una
transformación lineal, luego veremos que en efecto el rango de una matriz también se
define tomando en consideración el concepto de dimensión, así también una
transformación lineal de dimensión finita puede ser representada por una matriz,
entonces en efecto ambos conceptos de rango están relacionados y por eso tienen la
misma notación.
Luego también veremos de la definición de rango y nulidad de una matriz, y
considerando la representación matricial de una transformación lineal, que la nulidad de
una matriz también está relacionada con la nulidad de una transformación lineal.
Teorema de la dimensión. - Sea T V : W una transformación lineal, entonces
dim V dim(ker T ) dim(Im T )
dim V ( T ) ( T )
Ejemplos
1.- En los ejemplos anteriores tenemos, en:
1) ( T ) 0 , ( T ) 2 ,
2 dim 2 0 2
2) ( T ) 1 , ( T ) 1 ,
2 dim 1 1 2
3) ( T ) 1 , ( T ) 2 ,
3 dim 1 2 3
4) ( T ) 0 , ( T ) 3 ,dim P 2 0 3 3
5) ( T ) 1 , ( T ) n ,dim Pn 1 n n 1
2.- Sea la transformación identidad I V : V definida como I x ( ) x con x V.
Esta transformación es lineal puesto que
I x ( cy ) x ( )( ) c y I x ( ) cI y ( ) , c , x y , V.
Verificamos que su núcleo consta solamente del vector nulo V.
En efecto tenemos que ker I (^) x V / I x ( ) como I x ( ) x e I x ( ) entonces
igualando tenemos I x ( ) x , es decir x , con lo cual ker I .
Verificamos que su imagen es todo V
En efecto tenemos que Im I (^) y V / y I x ( ), x V (^) (^) I x ( ) y / x V , como
I x ( ) y e I x ( ) x entonces igualando y x , al tomarse x V un vector general
entonces Im I V.
Por lo tanto tenemos que ker I , Im I V , además si dim V n entonces
tenemos ( ) I 0 , ( ) I n luego en efecto se cumple que dim V 0 n n.
Nota .- Dada la transformación lineal T V : W como V es un espacio vectorial
sobre un cuerpo K y se cumple que u v v u para u v , V , entonces también
podemos probar si T es una trasformación lineal usando
T u ( v ) T u ( ) T v ( ) , u v , V , K ,
Por ejemplo como se ha hecho para verificar que I es una transformación lineal.
3.- La función definida
2 3 T : dada por (^) T x y ( , ) ( x y , 2 ,3 x x 4 ) y es una
transformación lineal, puesto que para
2 ( , x y ),( x ', y ') , c^ tenemos
T (( , x y ) c x ( ', y ')) T x ( cx ', y cy ')
(( x cx ') ( y cy '), 2( x cx '),3( x cx ') 4( y cy '))
(( x y ) c x ( ' y '),(2 ) x c (2 '),(3 x x 4 ) y c (3 ' x 4 y '))
( x y , 2 ,3 x x 4 ) y c x ( ' y ', 2 ',3 ' x x 4 y ')
T (^) ( , x y ) c x ( ', y ') T x y ( , ) cT x ( ', y ')
Ejemplos
1.- Halle la transformación lineal
2 3 T : / T (1,0) (2, 1,0) y T (0,1) (0,0,1).
Solución
Tenemos en este caso que e 1 (^) (1,0) y e 2 (^) (0,1) entonces B^ (0,1),(1,0) es la
base canónica de
2 y u 1 (^) (2, 1,0) y u 2 (^) (0,0,1).
Dado
2 v ( , x y ) arbitrario entonces v x (1,0) y (0,1) xe 1 (^) ye 2 luego
T x y ( , ) T x ( (1,0) y (0,1)) T xe ( 1 (^) ye 2 (^) ) xT e ( 1 (^) ) yT e ( 2 ) xT (1,0) yT (0,1)
x (2, 1,0) y (0,0,1) (2 , x x ,0) (0,0, y )
T x y ( , ) (2 , x x y , ) ,
2 ( , x y ) .
2.- Sea la transformación lineal
3 3 T : / T (1,0,0) (1, 2,3), T (0,1,0) ( 2,0,3),
T (0,0,1) (1,0, 2) , halle T.
Solución
Tenemos que e 1 (^) (1,0,0), e 2 (^) (0,1,0) y e 3 (^) (0,0,1) entonces con estos vectores se
obtiene la base canónica de
3 , también tenemos que u 1 (^) (1, 2,3), u 2 (^) ( 2,0,3),
u 3 (^) (1, 0, 2) , luego dado 3 (^) ( , x y z , ) tenemos
T x y z ( , , ) T x ( (1,0,0) y (0,1,0) z (0,0,1)) xT (1,0,0) yT (0,1,0) zT (0,0,1)
x (1, 2,3) y ( 2,0,3) z (1,0, 2) ( , 2 ,3 ) x x x ( 2 ,0,3 ) y y ( ,0, z 2 ) z
T x y z ( , , ) ( x 2 y z , 2 ,3 x x 3 y 2 ) z ,
3 ( , x y z , )
3.- Sea la transformación lineal
2 T : P 1 tal que (^) T (1) (1,1), (^) T x ( ) (1, 1),
halle explícitamente la regla de correspondencia de T.
Solución
Tenemos que e 1 (^) 1 , e 2 x con estos vectores obtenemos B 1, x que es la base
canónica de (^) P 1 , como también tenemos que u 1 (^) (1,1) y u 2 (^) (1, 1), luego dado el
polinomio general a bx P 1 tenemos
T a ( bx ) T a ( (1) b x ( )) aT (1) bT x ( ) a (1,1) b (1, 1) ( , a a ) ( , b b )
T a ( bx ) ( a b a , b ) , a bx P 1
4.- Sea la transformación lineal T : P 1 (^) P 2 tal que T (1) 1 x ,
2 T x ( ) x x ,
halle explícitamente la regla de correspondencia de T.
Solución
Tenemos que e 1 (^) 1 , e 2 x con estos vectores obtenemos B 1, x que es la base
canónica de P 1 , como también tenemos que u 1 (^) 1 x y
2 u 2 x x , luego dado el
polinomio general a bx P 1 tenemos
T a ( bx ) T a ( (1) b x ( )) aT (1) bT x ( ) 2 2 2 a (1 x ) b x ( x ) a ax bx bx a ( b a x ) bx 2 T a ( bx ) a ( b a x ) bx , a bx P 1
5.- Sea la transformación lineal
2 T : P 1 tal que (^) T (1,0) 1 x , (^) T (0,1) 2 x ,
halle explícitamente la regla de correspondencia de T.
Solución
Tenemos que e 1 (^) (1,0), e 2 (^) (0,1) con estos vectores obtenemos B (1,0),(0,1)
que es la base canónica de
2 , como también tenemos que u 1 (^) 1 x y u 2 (^) 2 x ,
luego dado
2 ( , ) a b tenemos
T a b ( , ) T a ( (1,0) b (0,1)) aT (1,0) bT (0,1)
a (1 x ) b (2 x ) a ax 2 b bx ( a 2 ) b ( a b x )
T a b ( , ) ( a 2 ) b ( a b x ) ,
2 ( , ) a b
6.- Sea la transformación lineal
2 2 T : / T (1,0) (1, 1), T (1,1) ( 2,1), halle
la regla de correspondencia de T.
Solución
Tenemos que e 1 (^) (1,0), e 2 (^) (1,1), con estos vectores obtenemos la base
B (1,0),(1,1) pero no es la base canónica de
2 , de los datos también tenemos
que u 1 (^) (1, 1), u 2 (^) ( 2,1), luego dado (^) ( , x y ) ^2 debemos expresarlo en términos
de la nueva base lo cual se podría hacer utilizando cambio de base, pero en este caso
haremos un artificio que consiste en expresar mediante operaciones simples ( , x y )en
términos de (1,0)y (1,1), para luego poder aplicar los datos
( , x y ) ( ,0) x (0, y ) x (1,0) y (0,1) x (1,0) y ((1,1) (1,0))
( , x y ) x (1,0) y (1,0) y (1,1) ( x y )(1,0) y (1,1)
Luego tenemos
T x y ( , ) T (( x y )(1,0) y (1,1)) T (( x y )(1,0)) T y ( (1,1)) ( x y T ) (1,0) yT (1,1)
( x y )(1, 1) y ( 2,1) (( x y ) 2 , y ( x y ) y )
T x y ( , ) ( x 3 , 2 y y x ) ,
2 ( , x y )
Observación .- De lo mencionado en el ejemplo anterior y de manera similar
procederemos en casos generales cuando se nos den como información la imagen de los vectores pero en bases que no sean las bases canónicas, en ese caso debemos
utilizar cambio de base.
Para el ejemplo tenemos dado
2 ( , x y ) para poder hallar T de manera similar a los
ejemplos anteriores debemos expresar (^) ( , x y ) ^2 en términos de la base B , es decir
debemos hallar el vector coordenado B
x a
y b
^
el cual se obtendrá cambiando de
la base canónica a la base B , hacemos esto para poder reemplazar los valores de u 1 y
u 2 obtenidos de los datos.
De lo visto en cambio de base tenemos que para cambiar de la base canónica a la base B , utilizaremos la fórmula
1 1
B E
x a x x C C y b y y
^ ^
a (^) 1 x C b y
donde E será la base canónica y la matriz de transición C es obtenida tomando como
sus columnas los vectores de la base B , efectuando los cálculos tenemos
1 1
0 1
C
C
^ ^ ^ ^
coordenadas de la imagen de T x ( )son
1
n
i ij j j
c a x
(^) , en otras palabras el vector (^) T x ( ) se
puede presentar como
T x ( ) Ax [ T x ]
donde la matriz A es de orden m n y tiene elementos aij ; entonces decimos que esta
matriz representa a la transformación T en términos de las bases canónicas de los
espacios
n y
m , también observamos que la j -ésima columna de esta matriz tiene las
coordenadas del vector T e ( (^) j )en términos de la base B 2 , es decir
[ T ] T e ( 1 (^) ) T e ( 2 ) T e ( (^) n )
Ejemplos
1.- Sea
2 2 T : dada por T x y ( , ) (2 x y ,5 x 8 ) y , halle la matriz [ T ].
Solución
Tomando la base canónica y cómo T x y ( , ) x (2,5) y ( 1,8) xT (1,0) yT (0,1)
podemos deducir que T e ( 1 ) T (1,0) (2,5), T e ( 2 ) T (0,1) ( 1,8); estos vectores
van a constituir las columnas de la matriz [ T ], entonces
[ ]
T
tenemos entonces que la imagen del vector ( , x y )se puede determinar por
2 1 2 ( , ) 5 8 5 8
x x y T x y y x y
^
2.- Sea
2 3 T : / T x y ( , ) ( x y , 2 ,3 x x 4 ) y , halle la matriz [ T ].
Solución
De manera similar al ejemplo anterior tenemos que T (1,0) (1, 2,3),
T (0,1) (1,0, 4) , luego la matriz que representa a T es la matriz de orden 3 2 dada
por
[ ] 2 0
T
y se cumple que
x y x T x y x y x y
^
3.- Sea la transformación lineal dada por T : P 1 P 2 / ( Tp )( ) x T p x ( ( )) 2 xp x ( ), halle
la matriz de la transformación, luego halle el núcleo y la imagen de T.
Solución
Sea p x ( ) a bx P 1 entonces
2 T p x ( ( )) 2 xp x ( ) 2 ( x a bx ) 2 ax 2 bx P 2 , es
decir la transformación está dada por T : P 1 (^) P 2 /
2 T a ( bx ) 2 ax 2 bx , a bx P 1.
Luego si utilizamos las bases canónicas B 1 (^) 1, x de P 1 y
2 B 2 (^) 1, , x x de P 2 ,
tenemos
2 2 T a ( bx ) T a ( (1) b x ( )) aT (1) bT x ( ) 2 ax 2 bx a (2 ) x b (2 x ),
comparando tenemos que T (1) 2 x ,
2 T x ( ) 2 x
Escritos en forma de vectores coordenados en términos de la base B 2 tenemos
2 T (1) 0(1) 2( ) x 0( x ),
2 T x ( ) 0(1) 0( ) x 2( x )es decir
2 2
[ (1)] [2 ] 2
B B
T x
2 2
2
[ ( )] [2 ] 0
B B
T x x
Según lo mencionado cada uno de estos vectores son columnas de la matriz de
transformación entonces
0 0
[ ] 2 0
0 2
T
Luego como también a bx P 1 ,
2 2 ax 2 bx P 2 escritos en términos de las bases
canónicas obtenidos de manera similar a como se obtuvieron 2
[ (1)]
B
T ,
2
[ ( )]
B
T x son
1
[ ] B
a a bx b
2
2
[2 2 ] 2
ax bx (^) B a
b
, entonces también se cumple que
1
2
( ) [ ][ ] 2 0 2 2 2
B
a a T a bx T T a bx a ax bx b b b
Observamos que
2 Im T [ , x x ] entonces ( T ) 2 , luego por el teorema de la
dimensión como dim P 1 2 tenemos
dim P 1 2 ( T ) ( T ) ( T ) 2
es decir ( T ) 0 lo cual implica que ker T ^ .
Observación.- Si nos fijamos en la matriz de transformación del ejemplo anterior y
calculamos su rango obtenemos que ([ T ]) 2 y coincide también con el rango de la
transformación, este es un hecho general que luego será mencionado.
4.- Sea la transformación lineal
2 2 T : definida por
x x y T y x y
, halle la
matriz de transformación con respecto a las bases 1 2
B B
^
tanto en el
conjunto de partida como en el conjunto de llegada, halle también la imagen de
4
7
con respecto a las bases canónicas, así como con respecto a las bases B 1 y B 2.
Solución
Primero hallamos las imágenes de los vectores que forman la base B 1 y los
expresamos en términos de la base B 2 , efectuando los cálculos respectivos tenemos:
1 1 1 0 1 3 3
1 1 ( 1) 2 1 2 2
a b T a b a b
^ ^
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
Comparando elementos obtenemos un sistema de ecuaciones lineales que al ser
resuelta se obtiene a 6 , b 2 , es decir
de manera similar al ejemplo 4; si tuviéramos combinaciones de ejercicios donde ni los espacios ni las bases para las transformaciones son los supuestos inicialmente, en
ese caso procederemos combinando los procedimientos vistos en los ejemplos 3 y 4.
2.- Algunos autores para indicar las bases que se utilizan en las transformaciones
lineales T V : W si B 1 es la base para V y B 2 es la base para W , denotan la matriz
de transformación como^2 1
[ ]
B TB , algo muy similar a la notación de cambio de base de
espacios vectoriales.
OPERACIONES ENTRE TRANSFORMACIONES
LINEALES
Tenemos las siguientes operaciones que pueden definirse con transformaciones lineales.
Suma de transformaciones
Consideremos las transformaciones lineales T T 1 , 2 : V W definidas sobre un campo K ,
definimos la suma de las trasformaciones denotada por T 1 (^) T 2 , como
( T 1 (^) T 2 (^) )( ) u T u 1 ( ) T 2 ( ) u , u V
la cual se verifica que también es una trasformación lineal, de la siguiente manera
Sean u v , V , K entonces
a)( T 1 (^) T 2 (^) )( u v ) T u 1 ( v ) T 2 (^) ( u v ) ( T u 1 ( ) T v 1 ( )) ( T 2 (^) ( ) u T 2 ( )) v
( T u 1 ( ) T 2 (^) ( )) u ( T v 1 ( ) T 2 (^) ( )) v ( T 1 (^) T 2 (^) )( ) u ( T 1 (^) T 2 )( ) v
( T 1 (^) T 2 (^) )( u v ) ( T 1 (^) T 2 (^) )( ) u ( T 1 (^) T 2 )( ) v
b)( T 1 T 2 )( u ) T 1 ( u ) T 2 ( u ) T u 1 ( ) T 2 ( ) u
( T u 1 ( ) T 2 ( )) u (( T 1 T 2 )( )) u
( T 1 T 2 )( u ) ( T 1 T 2 )( ) u
De a) y b) hemos verificado que T 1 (^) T 2 también es una transformación lineal.
Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales
2 2 T T 1 , 2 : tales que
T x y 1 ( , ) ( x y x , y ) , T 2 (^) ( , x y ) ( x y x , y ); halle la suma T 1 (^) T 2 así como su rango
y su núcleo.
Solución
En este caso tenemos que
( T 1 (^) T 2 (^) )( , x y ) T x y 1 ( , ) T 2 ( , x y ) ( x y x , y ) ( x y x , y )
(( x y ) ( x y ),( x y ) ( x y )) (2 , 2 ) x x
( T 1 (^) T 2 )( , x y ) (2 , 2 ) x x
Para calcular su imagen observamos que
( T 1 T 2 )( , x y ) (2 , 2 ) x x 2 (1,1) x (1,1) , 2 x ,
Lo cual implica que Im( T 1 T 2 ) [(1,1)]con lo cual ( T 1 T 2 ) 1
Para hallar su núcleo debemos hallar ( , x y )/
( T 1 (^) T 2 )( , x y ) (2 , 2 ) x x (0,0) x 0
reemplazando en
^
2 ker( T 1 (^) T 2 ) ( , x y ) / (2 , 2 ) x x (0,0) (0, y ) / y
Como (0, y ) y (0,1), y entonces
ker( T 1 (^) T 2 ) (^) (0, y ) / y (^) [(0,1)]
Entonces también tenemos que ( T 1 (^) T 2 ) 1 y se cumple que
2
dim( ) 2 ( T 1 T 2 ) ( T 1 T 2 ) 1 1
Multiplicación por un escalar
Consideremos la transformación lineal T V : W definida sobre un campo K ,
definimos la multiplicación por un escalar K por la trasformación T , denotada por
T , como
( T )( ) u T u ( )^ ,^ u^ V ,^ K
el cual se verifica que también es una trasformación lineal, de la siguiente manera
Sean u v , V , K entonces
a)( T )( u v ) T u ( v ) ( ( ) T u T v ( )) T u ( ) T v ( )
( T )( u v ) ( T )( ) u ( T )( ) v
b)( T )( u ) ( ( T u )) ( ( ( ))) T u ( T u ( )) (( T )( )) u
( T )( u ) ( T )( ) u
De a) y b) hemos verificado que T también es una transformación lineal.
Ejemplo.- Sean la transformación lineal T : P 1 (^) P 2 / ( Tp )( ) x T p x ( ( )) 2 xp x ( ); halle
T , así como su rango y su núcleo.
Solución
Sea p x ( ) a bx P 1 entonces
2 T p x ( ( )) T a ( bx ) 2 ( x a bx ) 2 ax 2 bx , luego
2 2 ( T )( a bx ) T a ( bx ) (2 ax 2 bx ) 2 ax 2 bx 2
( T )( a bx ) 2 ax 2 bx
Para calcular su imagen observamos que 2 2 ( T )( a bx ) 2 ax 2 bx (2 a )( ) x (2 b )( x ) , como , a b ,
lo cual implica que
2
Im( T ) [ , x x ]con lo cual ( T ) 2
Para hallar su núcleo debemos hallar a bx /
2 2
( T )( a bx ) 2 ax 2 bx 0 0 x 0 x 2 a 0 , 2 b 0
Considerando que 0 porque sino tendríamos la transformación nula que no es de
nuestro interés en este ejemplo, tenemos a b 0 es decir
ker( T ) a bx / a b 0 0 0 x
ker( T )
Entonces también tenemos que ( T ) 0 y se cumple que
dim( P 1 ) 2 ( T ) ( T ) 0 2
Observaciones
1.- En el ejemplo anterior y en forma general se cumple que ker( T ) ker T ,
Im( T ) Im T en consecuencia también se cumple que ( T ) ( T ),
( T ) ( T ).
2.- Si en las operaciones anteriores definidas sobre transformaciones lineales, tenemos
que V , W son espacios de dimensión finita, entonces
mismas transformaciones son los vectores del espacio L V W ( , ) y el vector nulo de
L V W ( , ) , es la transformación nula : V W ; además se verifica que la dimensión
del espacio L V W ( , ) es igual al producto de las dimensiones de V y W , como caso
particular del último resultado mencionado tenemos que
si dim V m y dim W n entoncesdim( ( L V W , )) (dim V )(dim W ) mn
que justamente es el producto de las filas por las columnas de cada representación
matricial.
Homomorfismo.- Un espacio vectorial V definido sobre un cuerpo K es un conjunto
que tiene definida una suma entre elementos del conjunto (+) y un producto de
escalares por elementos del conjunto (. ), la suma tiene un elemento neutro y cada
elemento tiene un elemento opuesto; por lo tanto utilizando la definición de
homomorfismo que es una función f que conserva la misma estructura de sus
operaciones en V en su codominio W ; para que una función f : V W entre los
dos espacios vectoriales V , W definidos sobre un cuerpo K sea un homomorfismo, debe
verificarse las siguientes condiciones:
1.- f v ( 1 (^) v 2 (^) ) f v ( 1 (^) ) f v ( 2 ), v v 1 , 2 V
2.- f (. ) v . f v ( ), v V , K
3.- f (0 ) V (^0) W , (^0) V es el elemento neutro de V , (^0) W es el elemento neutro de W.
4.- f ( v ) f v ( ), v V
Las transformaciones lineales son exactamente las funciones que cumplen estas
condiciones (las condiciones 3 y 4, se deducen de 1 y 2 por lo que se omiten); por lo
tanto los homomorfismos de espacios vectoriales son las transformaciones lineales.
Composición de trasformaciones lineales
Dadas dos transformaciones lineales de dimensión finita T 1 (^) : V U y T 2 (^) : U W ,
donde dim V n , dim U p , dim W m podemos hallar su composición
T 2 (^) T 1 (^) : V W^ , se verifica que esta transformación también es una transformación
lineal; además haciendo uso de las matrices que representan a las trasformaciones T 1 y
T 2 tenemos que se cumple lo siguiente
( T 2 (^) T 1 (^) )( ) u T T u 2 ( 1 ( )) T 2 (^) ([ T u 1 ] ) [ T 2 (^) ]([ T u 1 ] ) [ T 2 (^) ][ T u 1 ]
de donde se observa que la matriz que representa a la composición (^) T 2 (^) T 1 será una
matriz de orden m n , el cual es el producto de la matriz que representa a T 2 que es de
orden m p por la matriz que representa a T 1 que es de orden p n , es decir
[ T 2 (^) T 1 (^) ] [ T 2 (^) ][ T 1 ]
Ejemplo.- Consideremos las transformaciones lineales T x y 1 ( , ) ( x y , 2 ,3 x x 4 ) y y
T 2 (^) ( , x y ) (2 x y ,5 x 8 ) y , como
2 3 T 1 (^) : y
2 2 (^) T 2 (^) : observamos que no es
posible hacer la composición T 2 (^) T 1 , pero si cambiamos el orden
2 2 T 2 (^) : y
2 3 T 1 (^) : entonces sí podemos hacer la composición T 1 (^) T 2 , entonces tenemos
( T 1 (^) T 2 (^) )( , x y ) T T 1 ( 2 (^) ( , x y )) T 1 (2 x y ,5 x 8 ) y
((2 x y ) (5 x 8 ), 2(2 y x y ),3(2 x y ) 4(5 x 8 )) y
( T 1 (^) T 2 )( , x y ) (7 x 7 , 4 y x 2 , y 14 x 35 ) y
Consideramos también que 1
[ ] 2 0
T
y 2
[ ]
T
entonces
1 2 1 2 1 2
( )( , ) [ ] [ ][ ] 2 0
x x x T T x y T T T T y y y
^
x y x x y y x y
^
^
^ ^ ^
( T 1 (^) T 2 )( , x y ) (7 x 7 , 4 y x 2 , y 14 x 35 ) y
el cual es el mismo resultado ya obtenido, además se verifica entonces que
[ T 1 (^) T 2 (^) ] [ T 1 (^) ][ T 2 ]
Observaciones
1.- De la definición de homomorfismo mencionada y que las transformaciones lineales
son homomorfismos entre espacios vectoriales, si precisamos que en una
transformación lineal T V : W , entonces a esta transformación T también se le
suele llamar simplemente homomorfismo entre V y W y también es denotada por
hom( V W , ) ; un caso particular de estos homomorfismos tenemos que si V W
entonces T V : V tenemos los llamados endomorfismos, los cuales también son
llamados endomorfismos en el espacio vectorial V.
2.- Dada una matriz
m n A K
tomando en consideración la representación matricial de
una transformación lineal, podemos definir una transformación lineal a partir de la
matriz A de la siguiente manera, :
n m T K K / T u ( ) Au donde
n u K.
Ejemplo .- Si tenemos
3 2
A
, podemos definir la transformación
lineal asociada a esta matriz, como
2 3 T : / si
x u y
entonces
x y x x T u T Au x y y x y
^
3.- Tomando en consideración la observación 2 tenemos:
a) El espacio nulo de la matriz A .- Denotada por NA , está dada por
/^ ( )
n
N A u K T u Au
Observando esta definición tenemos que para hallar el espacio nulo resolveremos
el sistema homogéneo Au , lo cual resultará ser equivalente a calcular el
núcleo de la transformación :
n m T K K. b) Imagen de la matriz A .- Denotada por (^) Im A , está dada por
