Transformadas de Fourier y Laplace, Apuntes de Señales y Sistemas

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TABLAS

T RANSFORMADA DE FOURIER

PROPIEDADES

DEFINICION f ( t ) 







F  f t e dt

j  t ( ) ( )

DUALIDAD F(t)

2  f ( )

ESCALA f ( at ) 

a

F

a

1 

DESPLAZAMIENTO EN EL

TIEMPO

f ( t  t 0 ) e  j^  t^0 F ( )

DESPLAZAMIENTO EN

FRECUENCIA

e^0 f ( t )

j  t

F (   0 )

DERIVACION EN EL TIEMPO

f t n N

n

()

( j  ) F ( )

n

DERIVACION EN

FRECUENCIA

jt f t n N

n

( ) 

n

F

INTEGRACION EN EL TIEMPO  

t

f ( u ) du ( ) ( 0 ) ( )

F F

j

CONVOLUCION EN EL

TIEMPO

f ( t )* g ( t ) F () G ( )

CONVOLUCION EN

FRECUENCIA f ( t^ ) g ( t ) ( )* ( )

F G

f ( t ) cos(  0 t ) ( )

F   0  F   0

f ( t ) sen(  0 t ) ( )

  0  F   0

j

F

j

Relación de Parseval: E= 





f (t) dt

2

F( ) d

TRANSFORMADA DE LAPLACE

FUNCIÓN TRANSFORMADA

f ( t ), t  0

  

 

0

f ( t ) F ( s ) e f ( t ) dt

st

L

 f ( t )  g ( t )  F ( s )  G ( s )

(^11) / s

  t 1

at e

  s   a s a

Re  Re 

1

n

t n 1

s

n!



Re   s  0

sen (at) 2 2 s a

a



cos (at) 2 2 s a

s



e f ( t )

at F ( s  a ) ,

si F ( s ) L ^ f ( t )

at n

e t

, 1 , 2 ,... ( )

! 1

  ^

n s a

n n

t f ( t )

n (  1 ) F ( s ), n  1 , 2 , 3 ,... ds

d

n

n n

( ) f t

n , n=1,2,3,...

snF(s)- sn-^1 f ( 0 +)- sn-^2 f '( 0 +) - .....-f (n-1)( 0 +)



t

f d

0

Fs

s

 

t

f ( ) d  ( )

F s

s

 

0

f tdt

s

EXISTE t

f t si t

f t

t

( ) , lim

()  0

s

F ( u ) du

f ( at ) , a>0 ( / )

1 F s a a

f ( t  a ) us ( t  a ) e F ( s )

 as

FUNCIÓN TRANSFORMADA



t

f v gt v dv

0

F ( s ) G ( s)

f ( t ) = f ( t+T ) f t e dt

e

T st sT ^

 

senh( at ) 2 2 s a

a

cosh ( at ) 2 2 s a

s

ebt^ senh ( at ) 2 2

( s b ) a

a

ebt^ cosh( at ) 2 2

( s b ) a

s b

e

bt sen ( at ) 2 2 ( s b ) a

a

 

e

bt cos( at ) 2 2

( s b ) a

s b

T. del valor final T. del valor inicial

lim f(t) limsF(s)

t   s  0

 lim f(t) lim sF(s)

t  0 s 



______________________________________________________________________

3) Si f(t) es continua en t 1  t 0  f ( t )( t  t 0 ) f ( t 0 )( t  t 0 )

4. gt escontínuaent t a b sia t b

gt sia t b t t gt dt

b

a



0

0 0

0 1 0 1

2

1

( t ) ( t 0 ) d ( t t ), con t t t

t

t

   ^   ^ 

()

2

1

0

( ) f ( t ) ( t ) dt ( 1 ) f ( t ), con t t t

k k

t

t

k  ^     

  0

0 0 0 0

si t t

si t t u t t t d

t

8. dt a

t t a

at t dt  









0

9)( t ) ( t )

__________________________________________________________________

SERIES DE LAURENT

(z z )

b f(z) a(z z ) n 1

n 0

n

n 0

n  n 0 







  

C

n dz (n 0,1,2,........) (2) (z z

f(z)

2 j

a 0

n (^) 1

dz (n 1,2,.........) (3) (z z

f(z)

2 j

b 0

n  

 (^)   C

n 1  )

Desarrollos en serie más utilizados:

1) Serie binomial:

n!

( 1 )........( n 1 )

n

z , z 1 ;donde n

( 1 z) n 0

n     

 







Casos particulares:

0







 z z ó z z z z z (^) n

n n

0







 z z ó z z z z z (^) n

n

1-3) ............., z 1 3!

m(m 1 )(m 2 )z

2!

m(m 1 )z ( 1 z) 1 mz

2 3 m  

  

    



 (^) 





  , z ( 2 n 1 )!

z sen z ( 1 ) n 1

2 n 1 n 1

3)   





, z ( 2 n)!

z cos z 1 ( 1 ) n 1

2 n n ; 4)   





, z n!

z e 1 n 1

n z

SERIE DE FOURIER

Serie exponencial o compleja de Fourier

f(t) = n

c e^ jnw t^0 n





(^)  donde

T 2

n T 2

(^1) f(t).e jnw t (^0) dt

T

c



  

y 0

2 π w T



Serie trigonométrica de Fourier

 n 0 n 0 

n 1

f(t) a^0 a cos( nw t) b sen( nw t) 2





  (^)   con

T 2

0 T 2

2 a f(t) dt T 

 

T 2

n 0 T 2

2 a f(t) cos (nw t) dt T 

 

T 2

n 0 T 2

2 b f(t) sen(nw t) dt T 

 

Si f(t) es par:

 n 0 

n 1

f(t) a^0 a cos( nw t) 2





  (^)  con :

T 2

0 0

4 a f(t) dt T

 

T 2

n 0 0

4 a f(t)cos (nw t) dt T

 

; bn= 0

Si f(t) es impar:

 n 0 

n 1

f(t) b sen ( nw t)





 (^)  con : a 0 = an = 0 ;

T 2

n 0 0

4 b f(t) sen(nw t) dt T

 

Si f(t) tiene simetría de media onda contiene solamente armónicas impares

 2n 1 0 2n 1 0 

n 1

f(t) a cos(2n 1)w t b sen(2n 1)w t



  

 (^)     con a 0 = 0

T 2

2n 1 0 0

4 a f(t)cos (2n 1)w t dt T

 ^  

T 2

2n 1 0 0

4 b f(t) sen(2n 1)w t dt T

 ^  

Identidad de Parseval

Si utilizamos la serie compleja de Fourier:  



 

n

2 n

2

T

2

T

2 f(t) dt c T

Si utilizamos la serie trigonométrica de Fourier:   



 

   n 1

2 n

2 n

2 0

2

T

2

T

2 a b 2

1

4

a f(t) dt T

1

Funciones hiperbólicas

  h( ) 2

Ch() 1 e  e ^ ^  C     h( ) 2

Sh() 1 e  e ^ ^  S  

Th() S h()/ C h( ) Ch()Ch()/ S h( )

 Ch() Sh( ) e

  

 Ch( ) S h( )  e

Ch ( ) h ( ) 1

2 2   S  

Sh( ) S h ()Ch() S h()Ch( )

Ch()Ch()Ch()Sh()Sh( )

1 Th( )Th( )

Th( ) Th( ) Th( )



  

Ch ( ) Ch( )

Sh()Sh()^1    

Ch ( ) Ch( )

Ch()Ch()^1    

Sh ( ) Sh( )

Sh()Ch()^1    

 Ch() Sh() Ch( n ) Sh( n  )

n   

Sh( xi ) i sen( x ) sen( xi )  i Sh( x )

Ch( xi ) cos( x ) cos( xi ) Ch( x )

Th( xi )  i tg( x ) tg( xi )  i Th( x )

sen ( x  iy )sen (x) Ch( y ) i cos( x )Sh( y )

cos( x  iy )cos (x) Ch( y ) i sen( x )Sh( y )

arc sen( xi )  i ArgSh( x )

arc cos( xi ) i ArgCh( xi )

x

x xi i x 

ln 2

arctg( ) ArgTh( )^1