TRANSFORMADA DE FOURIER, Diapositivas de Señales y Sistemas

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SEÑALES Y SISTEMAS

Transformada de Fourier

Representación exponencial de señales no periódicas-TF

• Dada la señal no periódica g(t)

lim g ( t ) g ( t ) T p

= →

La serie de Fourier quen representa a gp(t)

tambien representará a g(t), en el límite.

= (^) 

jn t

g p t Gne

 G^ T g t e dt

jn t

T

T

n p

(^1) ( ) 0

− 

= 

T^0 →  ^0 → 



= =

2 2

0

T 0

Cont....

• Aplicando limites

 



 

 → ^

jn t

g t G ( n ) e

( ) lim

g ( t ) =lim T → gp ( t )

  

g t G e d

j t

G n g t e dt

jn t

T

T

T p

(  ) = lim →  ( )

G g t e dt

jn t

Transf. Inversa de

Fourier

Transf. Directa de Fourier

Cont............

• La TF es una función compleja por

lo tanto tiene magnitud y fase.

• La Magnitud es una función par de
• La Fase es una función impar de
• EXISTENCIA DE LA TRANSF. FOURIER

G ( )

| G ( )| 



G ()  | g ( t )| dt

Si el 2do término es finito entonces la existencia de la TF queda garantizada.

G () = finito

[ g ( t )] = G ( )

g ( t )  G ( )

CONT....Ejemplos

• Determinar la TF de la función compuerta:
• En general

 











0 .....| | 1 / 2

1 .....| | 1 / 2 ( ) 



t

t t

e dt

t (^) j t  (^)  −

−  =

/ 2

/ 2

[ ( )]









sin ( / 2 ) / 2

( / 2 )

c

t sen   =

t

• /2 /

1 |(t)|

-0.5-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0

1

2

Si =

• Ejemplos:

Cont....T.F.

(  t^ )=sin^ c (^  /^2 )

-0.5-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0

1

2

-1-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-0.

0

1

2

3

4

Función Impulso

• El impulso se define ( ) = 1 



−

 t dt^ (^ t )=^0  t ^0

 ( )( ) = ( )| = 0 = ( 0 )



−

 t

t t dt t

 ( t^^ − t^1 ) ( t − t^2 ) dt = ( t^2 − t^1 )



−

  





−

( t )( t − t 0 ) dt = ( t 0 )

( )  ( ) = | = 0 = 1 −

− −  t

j t j t t t e dt e

   

Cont....función impulso

• si  



 t e d

j t



−

= 1 2

1 ( )  = x

t e dx t e dx

jtx jtx  



−

−



−

− =  2 ( ) = 2

1 ( )  



1 1. 2 ( )

  = 



−

− e dt

j t





−

− = e dt

j  t 2 (  )

Propiedades de la transformada de fourier

• SIMETRÍA g^ ( t ) ^ G (^ )

G ( t )  2  g (− )

Cont...Propiedades TF

• ESCALAR g ( t )  G ( )

( ) | |

1 ( ) a

G a

g at

 

expansion compresion

Cont...Propiedades TF

• Corrimiento en frecuencia
• Demostrar

g ( t )  G ( )

( ) ( ) 0

0  

 g t e  G −

j t

0 ^ ( 0 ) ( 0  2

1 g ( t )cos t  G  + + G  − 

0 ^ ( 0 ) ( 0  2

( )   G  + − G  − 

j g t sen t

  0 0 0

g ( t − t ) + g ( t + t )  2 G ( )cos t

TEOREMA DE LA MODULACIÓN

Ejemplo de corrimiento en frecuencia

• APLICANDO EL TEOREMA DE LA MODULACIÓN

TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA SEÑAL

PERIÓDICA

• Toda señal periódica:
• Entonces
• Hallar la TF de una secuencia de tren de impulsos unitarios

jn t

n

g t Gne ( )^ ^0 



=−

=

g ( t ) 2  Gn  ( − n  0 )



−

La TF es una secuencia de impulsos en ±nw 0.



=−



=−

= − = n

jn t

n

e T

g t t nT^0

1 ( ) ( 0 )

 

  



=−



=−



=−

−  − = −

n n n

n n T

t nT ( ) ( )

2 ( ) 0 0 0

0

0      ^ 

Cont......Propiedades de la TF

• DERIVACIÓN

g ( t )  G ( )

( )

( ) j  G  dt

dg t 

( j ) G ( )

dt

d g n

n

n



[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )

2

2

t b t a t a t b b a

A

dt

d g

• − + − − + − −

=    

 



 

 −

−

= 2

cos cos

( )

2 ( ) 

  

a b

b a

A G

A/(b-a)